Câu 48: Đáp án A
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcd},$ vì $\overline{abcd}$ chia hết cho 6 $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
d = \left\{ {2,4,6,8} \right\}\\
a + b + c + d:3
\end{array} \right..$
Khi đó, chọn d có 4 cách chọn; b và c đều có 9 cách chọn (từ $1\to 9).$
Nếu $b+c+d\vdots 3$ thì $a=\left\{ 3,6,9 \right\}\Rightarrow $ có 3 cách chọn a
Nếu $b+c+d$ chia 3 dư 1 thì $a=\left\{ 2,5,8 \right\}\Rightarrow $ có 3 cách chọn a
Nếu $b+c+d$ chia 3 dư 2 thì $a=\left\{ 1,4,7 \right\}\Rightarrow $ có 3 cách chọn a
Suy ra a chỉ có 3 cách chọn $\Rightarrow $ có $4.9.9.3=972$ số chia hết cho 6
Vậy xác suất cần tính là $P=\dfrac{972}{{{9}^{4}}}=\dfrac{4}{27}$
Câu 49: Đáp án B
Phương trình đường thẳng có hệ số góc k, đi qua $M\left( m;2 \right)$ là $y-1=k\left( x-m \right)\left( d \right)$
Vì (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}
k = f'\left( x \right)\\
k\left( {x - m} \right) + 2 = - {x^3} + 6{x^2} + 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k = - 3{x^2} + 12x\\
k\left( {x - m} \right) = - {x^3} + 6{x^2}
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left( { - 3{x^2} + 12x} \right)\left( {x - m} \right) + {x^3} - 6{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
\left( { - 3x + 12x} \right)\left( {x - m} \right) + {x^2} - 6x = 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
- 3{x^2} + 3mx + 12x - 12m + {x^2} - 6x = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
2{x^2} - 3\left( {m + 2} \right)x + 12m = 0\left( * \right)
\end{array} \right.$
Để từ M kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) khi và chỉ khi:
TH1. Phương trình (*) có nghiệm kép khác 0 $ \Leftrightarrow \Delta = 9{\left( {m + 2} \right)^2} - 96m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 6\\
m = \frac{2}{3}
\end{array} \right.$
TH2. Phương trình (*) có nghiệm kép bằng 0, nghiệm còn lại khác 0 $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
12m = 0\\
\Delta > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 0$
Vậy $m=\left\{ 0;\frac{2}{3};6 \right\}$ là các giá trị cần tìm $\xrightarrow{{}}\sum{m}=0+\frac{2}{3}+6=\frac{20}{3}$ .
Câu 50: Đáp án D
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
\cot x < 0\\
\cos x > 0
\end{array} \right..$
Ta có $2{{\log }_{3}}\left( \cot x \right)={{\log }_{2}}\left( \cos x \right)\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{\cot }^{2}}x \right)={{\log }_{2}}\left( \cos x \right)=t$
Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}
{\cot ^2}x = {3^t}\\
{\cos ^2}x = {4^t}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}} = {3^t}\\
{\cos ^2}x = {4^t}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{{4^t}}}{{1 - {4^t}}} = {3^t} \Leftrightarrow {4^t} + {12^t} - {3^t} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{3}} \right)^t} + {4^t} - 1 = 0$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{t}}+{{4}^{t}}-1$ trên $\mathbb{R},$ có $f'\left( t \right)={{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{t}}.\ln \dfrac{4}{3}+{{4}^{t}}.\ln 4>0,\forall t\in \mathbb{R}$
$\Rightarrow \,\,f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ mà $f\left( -1 \right)=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow \cos x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{\pi }{3}+k2\pi $
Kết hợp với điều kiện $x\in \left( 0;2018\pi \right)\Rightarrow -\dfrac{1}{6}<k<1008,83\xrightarrow{k\in \mathbb{Z}}$ có 1009 nghiệm.
