Câu 37: Đáp án C.
|
|
Phần thể tích chung của 2 hình nón T1 và T2 là 2 hính nón tạo bởi việc quay 2 tam giác HIB và HIC quanh BC. $\to BC=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=3a\to CD=\sqrt{B{{D}^{2}}-B{{C}^{2}}}=a$ $\to \dfrac{CH}{HB}=\dfrac{DC}{AB}=\dfrac{1}{2}\to \dfrac{IH}{CD}=\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{2}{3}\to IH=\dfrac{2}{3}a$ $\to {{V}_{chung}}=\dfrac{1}{3}\pi .I{{H}^{2}}.\left( BH+CH \right)=\dfrac{4}{9}\pi {{a}^{3}}.$
|
Câu 38: Đáp án B.
$ \to \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 2018\\
{u_2} = {u_1} + {1^2}\\
{u_3} = {u_2} + {2^2}\\
...\\
{u_n} = {u_{n - 1}} + {\left( {n - 1} \right)^2}
\end{array} \right. \to {u_n} = 2018 + \left[ {{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {{\left( {n - 1} \right)}^2}} \right]$
* Chứng minh: ${{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}}=\dfrac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}\text{ }\left( n\in {{N}^{*}} \right)$
$A={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}}=1\left( 2-1 \right)+2\left( 3-2 \right)+3\left( 4-3 \right)+...+n\left[ \left( n+1 \right)-1 \right]$
$A=1.2+2.3+3.4+...+n\left( n+1 \right)-\left( 1+2+3+...+n \right)$
$B=1.2+2.3+3.4+...+n\left( n+1 \right)$
$\to 3B=1.2.\left( 3-0 \right)+2.3.\left( 4-1 \right)+3.4.\left( 5-2 \right)+...+n\left( n+1 \right)\left[ \left( n+2 \right)-\left( n-1 \right) \right]=n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)$
$\to A=\dfrac{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}{3}-\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}=\dfrac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}.$
* Áp dụng:$\to {{u}_{n}}=2018+\dfrac{\left( n-1 \right).n.\left( 2n-1 \right)}{6}\le 330368\to n\le 100\to n\in \left\{ 1;2;3;...;100 \right\}.$
Câu 39: Đáp án B.
$f\left( x \right)=x+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+...+\dfrac{{{x}^{n+1}}}{n+1}\to f'\left( x \right)=1+x+{{x}^{2}}+...+{{x}^{n}}$
$\sqrt{\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( 1+x+{{x}^{2}}+...+{{x}^{n}} \right)=1+2+{{2}^{2}}+...+{{2}^{n}}=1.\dfrac{{{2}^{n}}-1}{2-1}={{2}^{n}}-1$
$\sqrt{\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)}>2018\Leftrightarrow {{2}^{n}}-1>{{2018}^{2}}\Leftrightarrow n>21,96\to {{n}_{\min }}=22.$
Câu 40: Đáp án C.
Ta có Δ1 // Δ3 → Δ1 và Δ3 cùng nằm trên mặt phẳng (P).
$A\left( 2;-2;1 \right)\in {{\Delta }_{1}};B\left( 0;-2;-1 \right)\in {{\Delta }_{2}}\to \overrightarrow{AB}=\left( -2;0;-2 \right)\to {{\vec{n}}_{\left( P \right)}}=\left[ \overrightarrow{AB};{{{\vec{u}}}_{1}} \right]=\left( -2;-4;2 \right)$
$\to \left( P \right):-2\left( x-2 \right)-4\left( y+2 \right)+2\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow x+2y-z+3=0$
${{\Delta }_{2}}\cap \left( P \right)=M\left( 1+t;1+2t;-t \right)\to \left( 1+t \right)+2\left( 1+2t \right)-\left( -t \right)+3=0\to t=-1\to M\left( 0;-1;1 \right)$
${{\Delta }_{4}}\cap \left( P \right)=N\left( 5+m;a+3m;b+m \right)\to \overrightarrow{MN}=\left( 5+m;a+3m+1;b+m-1 \right)$
Không tồn tại đường thẳng nào trong không gian cắt cả 4 đường thẳng đã cho
$\Leftrightarrow $MN // Δ1
$ \Leftrightarrow \frac{{5 + m}}{1} = \frac{{a + 3m + 1}}{{ - 1}} = \frac{{b + m - 1}}{{ - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = \frac{{ - a - 6}}{4}\\
m = \frac{{ - b - 4}}{2}
\end{array} \right. \to \frac{{ - a - 6}}{4} = \frac{{ - b - 4}}{2} \Leftrightarrow a - 2b = 2.$
Câu 41: Đáp án A.
$S=\left( C_{2}^{0}+C_{4}^{0}+...+C_{n}^{0} \right)+\left( C_{2}^{1}+C_{4}^{1}+...+C_{2n-2}^{1}+C_{2n}^{1} \right)+...+\left( C_{2n-2}^{2n-2}+C_{2n}^{2n-2} \right)+C_{2n}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}$
$S=\left( C_{2}^{0}+C_{2}^{1}+C_{2}^{2} \right)+\left( C_{4}^{0}+C_{4}^{1}+C_{4}^{2}+C_{4}^{3}+C_{4}^{4} \right)+...+\left( C_{2n-2}^{0}+C_{2n-2}^{1}+...+C_{2n-2}^{2n-2} \right)+\left( C_{2n}^{0}+C_{2n}^{1}+..+C_{2n}^{2n} \right)$
* Tính: $C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}={{\left( 1+1 \right)}^{n}}={{2}^{n}}$
* Áp dụng:
$S={{2}^{2}}+{{2}^{4}}+...+{{2}^{2n-2}}+{{2}^{2n}}=4+{{4}^{2}}+{{4}^{3}}+...+{{4}^{n-1}}+{{4}^{n}}=4.\dfrac{{{4}^{n}}-1}{4-1}=\dfrac{4}{3}\left( {{4}^{n}}-1 \right)\to T=\dfrac{3}{4}S+1={{4}^{n}}$
T có 2018 chữ số $\Leftrightarrow {{10}^{2017}}\le {{4}^{n}}\le {{10}^{2018}}\Leftrightarrow 2017\le n\log 4\le 2018\Leftrightarrow 3350,2\le n\le 3351,8\xrightarrow{n\in N}n=3351.$
Câu 42: Đáp án A.
$\left| {\frac{{x - 1}}{{x - 2}}} \right| = a > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = a\left( {x - 2} \right)\\
x - 1 = a\left( {2 - x} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{1 - 2a}}{{1 - a}}\\
x = \frac{{1 + 2a}}{{1 + a}}
\end{array} \right.$
Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khác 1 $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{1 - 2a}}{{1 - a}} > 1\\
\frac{{1 + 2a}}{{1 + a}} > 1\\
\frac{{1 - 2a}}{{1 - a}} \ne \frac{{1 + 2a}}{{1 + a}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow a > 1$
$\to {{m}^{2}}+m+1<\dfrac{2017}{2018}\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m+\dfrac{1}{2018}<0$
$\xrightarrow{m\in \left( a;b \right)}$a và b là 2 nghiệm của phương trình: ${{m}^{2}}+m+\dfrac{1}{2018}=0\to T=ab=\dfrac{1}{2018}.$
Câu 43: Đáp án B.
Số X cần tìm tạo bởi 3 chữ số a; b; c thuộc các tập hợp: A = {0; 4; 8}; B = {1; 5; 7}; C = {2; 6}; D = {3; 7}.
+ TH1: a; b; c$\in $ A → có 2.3.3 = 18 số.
+ TH2: a$\in $A; b$\in $ B; c$\in $ D → số cách chọn 2 chữ số b; c và sắp xếp chúng là: 3.2.2! = 12. Với mỗi cách sắp xếp b và c ta có 3 khoảng trống để chèn a → có 12.(2 + 3 + 3) = 96 số.
+ TH3: a$\in $A; b, c$\in $C → số cách chọn 2 chữ số b; c và sắp xếp chúng là: 2.2 = 4 → có 4.(2 + 3 + 3) = 32 số.
+ TH4: a, b$\in $B; c$\in $C → số cách chọn 2 chữ số a; b và sắp xếp chúng là: 3.3 = 9 → có 9.2.3 = 54 số.
+ TH5: a$\in $C; b, c$\in $D → số cách chọn 2 chữ số b; c và sắp xếp chúng là: 2.2 = 4 → có 4.3.2 = 24 số.
$\Rightarrow $có 18 + 96 + 32 + 54 + 24 = 224 số thỏa mãn.
$\Rightarrow $ Xác xuất cần tìm là: $\dfrac{224}{999-100+1}=\dfrac{56}{225}.$
Câu 44: Đáp án D.
$\to y'=m{{x}^{2}}-2x-\left( m-2019 \right)\to \Delta {{'}_{y'}}={{m}^{2}}-2019m+1$
$\xrightarrow{m\in \left[ 1;2018 \right]}\Delta '<0\to y'>0\to {{y}_{\min }}=y\left( 6 \right)=72m-36-\left( m-2019 \right).6+1>69069$
$\to m>863,48\to m\in \left[ 864;2018 \right]\to $có 1155 số m thỏa mãn.
Câu 45: Đáp án A.
|
|
Hình (T) là phần tô màu xanh → S(T) = SABC - Sviên phân (màu cam) B và C là giao điểm của 2 đường thẳng 2y + 1 = 0 và $y+4<2\sqrt{3}\left| x \right|$$\to B\left( \dfrac{7}{4\sqrt{3}};-\dfrac{1}{2} \right);C\left( -\dfrac{7}{4\sqrt{3}};-\dfrac{1}{2} \right)$ $\to {{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}{{d}_{A/BC}}.BC=\dfrac{1}{2}.\left| -4-\left( -\dfrac{1}{2} \right) \right|.2.\dfrac{7}{4\sqrt{3}}=\dfrac{49\sqrt{3}}{24}$ * Tính diện tích hình viên phân:
* Áp dụng: $\widehat{BOC}=\dfrac{2\pi }{3}\to {{S}_{\left( T \right)}}=\dfrac{49\sqrt{3}}{24}-\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{2\pi }{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)=\dfrac{55\sqrt{3}-8\pi }{24}.$.
|
Câu 46: Đáp án D.
|
|
$f\left( 3 \right)-f\left( 1 \right)=\int\limits_{1}^{3}{f'\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{2}{f'\left( x \right)dx}+\int\limits_{2}^{3}{f'\left( x \right)dx}={{S}_{A}}-{{S}_{B}}>0$ $\to f\left( 3 \right)>f\left( 1 \right)>0$ |
|
Đồ thị hàm số y = f(x) có dạng:
|
|
|
Đồ thị hàm số y = |f(x)| có dạng:
|
|
→ Hàm số y = |f(x)| có 3 điểm cực trị.
Câu 47: Đáp án C.
${{\left| \left( {{z}_{1}}-i \right)+\left( {{z}_{2}}-i \right) \right|}^{2}}+{{\left| \left( {{z}_{1}}-i \right)-\left( {{z}_{2}}-i \right) \right|}^{2}}=2\left( {{\left| {{z}_{1}}-i \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}}-i \right|}^{2}} \right)$
$\to {{\left| \left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)-2i \right|}^{2}}+{{10}^{2}}={{4.13}^{2}}\to \left| \left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)-2i \right|=24$
→ quỹ tích các điểm biểu diễn số phức w = z1 + z2 là đường tròn tâm I(0;2); bán kính R = 24
$\to P=2\pi R=48\pi .$
Câu 48: Đáp án D.
Giả sử h = 1.
|
|
$\to {{V}_{{{H}_{2}}O}}=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( \dfrac{2}{3}R \right)}^{2}}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{27}\pi {{R}^{2}}$ |
|
|
$\to \dfrac{h'}{h}=\dfrac{R'}{R}\to R'=\dfrac{Rh'}{h}=Rh'$ $\to {{V}_{{{H}_{2}}O}}=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.1-\dfrac{1}{3}\pi {{\left( Rh' \right)}^{2}}.h'=\dfrac{\pi {{R}^{2}}}{3}\left( 1-h{{'}^{3}} \right)$ |
$\to \dfrac{8}{27}\pi {{R}^{2}}=\dfrac{\pi {{R}^{2}}}{3}\left( 1-h{{'}^{3}} \right)\Leftrightarrow h'=\dfrac{\sqrt[3]{19}}{3}\to \dfrac{{{h}_{{{H}_{2}}O}}}{{{h}_{ly}}}=\dfrac{1-h'}{1}=\dfrac{3-\sqrt[3]{19}}{3}.$
Câu 49: Đáp án
$xf\left( x \right)-f\left( 1+\ln x \right)={{x}^{2}}+x-2-\ln x\Leftrightarrow f\left( x \right)-\dfrac{f\left( 1+\ln x \right)}{x}=x+1-\dfrac{2}{x}-\dfrac{\ln x}{x}$
$\to \int\limits_{1}^{e}{f\left( x \right)dx}-\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{f\left( 1+\ln x \right)}{x}dx}=\int\limits_{1}^{e}{\left( x+1-\dfrac{2}{x}-\dfrac{\ln x}{x} \right)dx}$
$\xrightarrow{t=1+\ln x}\int\limits_{1}^{e}{f\left( x \right)dx}-\int\limits_{1}^{2}{f\left( t \right)dt}=\left. \left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x-2\ln \left| x \right|-\dfrac{{{\ln }^{2}}x}{2} \right) \right|_{1}^{e}$
$\Leftrightarrow \int\limits_{2}^{e}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{1}{2}{{e}^{2}}+e-4\to T=-\dfrac{5}{2}.$
Câu 50: Đáp án A.
|
|
M là trung điểm AB. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (OAB) cắt mặt phẳng trung trực của OC tại I. I chính làm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện OABC $\to I\left( \dfrac{a}{2};\dfrac{b}{2};\dfrac{c}{2} \right)$$a+2b+2c=6\to 2{{x}_{I}}+4{{y}_{I}}+4{{z}_{I}}=6\to {{x}_{I}}+2{{y}_{I}}+2{{z}_{I}}-3=0$ → I luôn thuộc mặt phẳng (P): x + 2y + 2z – 3 = 0 cố định. $\to {{d}_{O/\left( P \right)}}=1.$ . |
