Câu 1: Đáp án A.
Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định $\to y'=\dfrac{ad-bc}{{{\left( cx+d \right)}^{2}}}>0\text{ }\forall \text{x}\ne -\dfrac{d}{c}\to ad-bc>0.$
Câu 2: Đáp án C.
Do $\dfrac{e}{2}>1$nên hàm số $y={{\log }_{\dfrac{e}{2}}}x$đồng biến trên (0;+∞).
Câu 3: Đáp án D.
Câu 4: Đáp án D.
Câu 5: Đáp án A.
Câu 6: Đáp án C.
Câu 7: Đáp án C.
Câu 8: Đáp án B.
Hàm số có điểm cực tiểu $x = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y'\left( {\frac{2}{3}} \right) = 3m.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} - 2m.\frac{2}{3} = 0\\
y''\left( {\frac{2}{3}} \right) = 6m.\frac{2}{3} - 2m > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0$
Câu 9: Đáp án C.
Câu 10: Đáp án A.
$f\left( x \right)=x{{.5}^{x}}\to f'\left( x \right)={{5}^{x}}+x{{.5}^{x}}\ln 5\to {{25}^{x}}+{{5}^{x}}+x{{.5}^{x}}\ln 5-x{{.5}^{x}}\ln 5-2=0\Leftrightarrow {{\left( {{5}^{x}} \right)}^{2}}+{{5}^{x}}-2=0\Leftrightarrow {{5}^{x}}=1\Leftrightarrow x=0.$
Câu 11: Đáp án A.
Hàm số xác định $\Leftrightarrow {{\log }_{9}}\dfrac{2x}{x+1}-\dfrac{1}{2}>0\Leftrightarrow \dfrac{2x}{x+1}>3\Leftrightarrow \dfrac{x+3}{x+1}<0\Leftrightarrow -3<x<-1.$
Câu 12: Đáp án B.
$ \to \overrightarrow {MM'} = \vec v \to \left\{ \begin{array}{l}
a - 1 = 2\\
b + 2 = - 3
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
a = 3\\
b = - 5
\end{array} \right. \to T = a + b = - 2.$
Câu 13: Đáp án C.
$F\left( x \right)=\int{{{\sin }^{2}}2xdx}=\int{\left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos 4x \right)dx}=\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{8}\sin 4x+C.$
Câu 14: Đáp án D.
$\to \int\limits_{1}^{4}{f'\left( x \right)dx}=f\left( 4 \right)-f\left( 1 \right)\to f\left( 4 \right)-12=17\to f\left( 4 \right)=29.$
Câu 15: Đáp án D.
${{\left( 1+i \right)}^{100}}={{\left[ {{\left( 1+i \right)}^{2}} \right]}^{50}}={{\left( 2i \right)}^{50}}={{2}^{50}}.{{\left( {{i}^{4}} \right)}^{12}}.{{i}^{2}}=-{{2}^{50}}.$
Câu 16: Đáp án B.
${{S}_{xq}}=\pi rl=\pi r\sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}=\pi .\dfrac{a}{2}.\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+{{h}^{2}}}=\dfrac{\pi a\sqrt{{{a}^{2}}+4{{h}^{2}}}}{4}.$
Câu 17: Đáp án D.
|
|
Gọi M là trung điểm của BC. ${{S}_{A'BC}}=\dfrac{1}{2}A'M.BC\to \dfrac{1}{2}A'M.4=8\to A'M=4$ $AM=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\to AA'=\sqrt{A'{{M}^{2}}-A{{M}^{2}}}=2$ $\to {{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{ABC}}=2.\dfrac{{{4}^{2}}\sqrt{3}}{4}=8\sqrt{3}$ .
|
Câu 18: Đáp án A.
$\left\{ \begin{array}{l}
\left( R \right) \bot \left( P \right)\\
\left( R \right) \bot \left( Q \right)
\end{array} \right. \to {\vec n_{\left( R \right)}} = \left[ {{{\vec n}_{\left( P \right)}};{{\vec n}_{\left( Q \right)}}} \right] = \left( {1;3;5} \right) \to \left( R \right):x + 3y + 5z + 5 = 0.$
Câu 19: Đáp án C.
PQ lớn nhất $\Leftrightarrow $PQ là đường kính của (S) → PQ đi qua M và tâm I(1;-1;2) của (S).
$\to {{\vec{u}}_{PQ}}=\overrightarrow{IM}=\left( 1;1;-1 \right)$→ loại A và D. PQ đi qua M → đáp án C.
Câu 20: Đáp án C.
|
- Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía dưới trục hoành lên phía trên trục hoành ta được đồ thị hàm số y = |f(x)| (như hình bên). - Số nghiệm của phương trình |f(x)| = m là số giao điểm của đồ thị hàm số y = |f(x)| với đường thẳng y = m. Phương trình |f(x)| = m có 6 nghiệm thực phân biệt $\Leftrightarrow 1<m<2.$ |
|
Câu 21: Đáp án C.
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{\sqrt{{{m}^{2}}-\dfrac{m+2}{{{x}^{2}}}}}=\dfrac{1}{\left| {{m}^{2}} \right|};\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,=\dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{-\sqrt{{{m}^{2}}-\dfrac{m+2}{{{x}^{2}}}}}=\dfrac{-1}{\left| {{m}^{2}} \right|}\to m\ne 0$
Hàm số có 4 đường tiệm cận $\Leftrightarrow $m2x2 – m – 2 có 2 nghiệm phân biệt khác – 1
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
m + 2 > 0\\
{m^2} - m - 2 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \notin \left\{ {0; - 1;2} \right\}\\
m > - 2
\end{array} \right.$
Câu 22: Đáp án B.
$y = - {x^3} + 3\left( {m - 3} \right){x^2} - 3\left( {{m^2} - 6m} \right)x + 1 \to y' = - 3{x^2} + 6\left( {m - 3} \right)x - 3\left( {{m^2} - 6m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = m\\
x = m - 6
\end{array} \right.$
→ Hàm số đồng biến trên (m – 6;m)
→ Hàm số đồng biến trên (1;2) $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m - 6 \le 1\\
m \ge 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le m \le 7m \in \left\{ {2;3;4;5;6;7} \right\}.$
Câu 23: Đáp án A.
$y=\left( m+2 \right){{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+mx-5\to y'=3\left( m+2 \right){{x}^{2}}+6x+m$
Hàm số đã cho có điểm cực đại và điểm cực tiểu đều có hoành độ dương
$\Leftrightarrow $y’ có 2 nghiệm dương phân biệt
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + 2 \ne 0\\
\Delta ' = 9 - 3m\left( {m + 2} \right) > 0\\
S = - \frac{2}{{m + 2}} > 0\\
P = \frac{m}{{3\left( {m + 2} \right)}} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 < m < - 2.$
Câu 24: Đáp án B.
${{3.2}^{x}}+{{4.3}^{x}}+{{5.4}^{x}}={{6.5}^{x}}\Leftrightarrow f\left( x \right)=3.{{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{x}}+4.{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{x}}+5.{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{x}}-6=0$
Hàm số f(x) liên tục và nghịch biến trên R → f(x) có nhiều nhất 1 nghiệm.
Mặt khác, f(1).f(2) < 0 nên f(x) có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1;2).
→ f(x) có 1 nghiệm → phương trình đã cho có 1 nghiệm.
Câu 25: Đáp án C.
$2\log \left( a+b \right)=\log {{\left( a+b \right)}^{2}}=\log \left( 100ab \right)=2+\log a+\log b\to \log \left( a+b \right)=1+\dfrac{\log a+\log b}{2}$
$\log \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)=\log \left( 98ab \right)=\log 98+\log a+\log b$
$2\log \dfrac{a+b}{10}=\log \dfrac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{100}=\log \dfrac{100ab}{100}=\log a+\log b.$
Câu 26: Đáp án C.
${{\log }_{2017}}\left( 1-{{x}^{2}} \right)+{{\log }_{\dfrac{1}{2017}}}\left( x+m-4 \right)=0\Leftrightarrow {{\log }_{2017}}\left( 1-{{x}^{2}} \right)={{\log }_{2017}}\left( x+m-4 \right)$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 - {x^2} > 0\\
1 - {x^2} = x + m - 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 1 < x < 1\\
f\left( x \right) = {x^2} + x + m - 5 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)
\end{array} \right.$
Phương trình đã cho có 2 nghiệm thực phân biệt $\Leftrightarrow $(1) có 2 nghiệm thực phân biệt thỏa mãn -1 < x1 < x2 < 1
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
1f\left( { - 1} \right) > 0\\
1f\left( 1 \right) > 0\\
- 1 < \frac{S}{2} = - \frac{1}{2} < 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
21 - 4m > 0\\
m - 5 > 0\\
m - 3 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow 5 < m < \frac{{21}}{4}.$
Câu 27: Đáp án C.
$m\sqrt{{{x}^{2}}+6}<x+m\Leftrightarrow m<\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+6}-1}\text{=f}\left( x \right)\text{ }\left( \sqrt{{{x}^{2}}+6}\ge \sqrt{6}>1 \right)$
$f'\left( x \right)=\dfrac{6-\sqrt{{{x}^{2}}+6}}{\sqrt{{{x}^{2}}+6}{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+6}-1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{30}$
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=1;\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-1;f\left( \sqrt{30} \right)=\dfrac{\sqrt{30}}{5};f\left( -\sqrt{30} \right)=-\dfrac{\sqrt{30}}{5}\xrightarrow{BBT}-\dfrac{\sqrt{30}}{5}\le f\left( x \right)\le \dfrac{\sqrt{30}}{5}$
Bất phương trình nghiệm đúng với mọi m $\Leftrightarrow m<-\dfrac{\sqrt{30}}{5}\to S=\left( -\infty ;-\dfrac{\sqrt{30}}{5} \right).$
Câu 28: Đáp án B.
$I=\int\limits_{0}^{2}{\left( x-1 \right)\left( 2{{x}^{2}}-x \right){{e}^{{{x}^{2}}-x}}dx}=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-x \right)\left( 2x-1 \right).{{e}^{{{x}^{2}}-x}}dx}=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-x \right).{{e}^{{{x}^{2}}-2}}d\left( {{x}^{2}}-x \right)}$
$I=\int\limits_{0}^{2}{{{e}^{{{x}^{2}}-x}}\left( {{x}^{2}}-x-1 \right)}={{e}^{2}}+1\to a=b=1\to a-b=0.$
Câu 29: Đáp án D.
$ \to S = \int\limits_0^2 {\left( {2 - x} \right)\ln \left( {x + 1} \right)dx} $ $ \to \left\{ \begin{array}{l}
u = \ln \left( {x + 1} \right)\\
dv = \left( {2 - x} \right)dx
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{1}{{x + 1}}dx\\
v = 2x - \frac{{{x^2}}}{2}
\end{array} \right.$
$ \to S = \left. {\left( {2x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\ln \left( {x + 1} \right)} \right|_0^2 - \int\limits_0^2 {\frac{{4x - {x^2}}}{{2\left( {x + 1} \right)}}dx} $
$ \to S = 2\ln 3 + \int\limits_0^2 {\left( {\frac{x}{2} - \frac{5}{2} + \frac{5}{{2\left( {x + 1} \right)}}} \right)dx} = 2\ln 3 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{5}{2}x + \frac{5}{2}\ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^2$
$ \to S = \frac{9}{2}\ln 3 - 4.$
Câu 30: Đáp án C.
$z = a + bi{\rm{ }}\left( {a;b \in R} \right) \to \left( {2 - 3i} \right)\left( {a + bi} \right) + 3\left( {a - bi} \right) = 8 - 4i$
$ \Leftrightarrow \left( {5a + 3b} \right) - \left( {3a + b} \right)i = 8 - 4i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5a + 3b = 8\\
3a + b = 4
\end{array} \right. \to a = b = 1 \to z = 1 + i$
$ \to {\left( {1 + i} \right)^{2017}} = {\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]^{1008}}.\left( {1 + i} \right) = {\left( {2i} \right)^{1008}}\left( {1 + i} \right) = {2^{1008}} + {2^{1008}}i \to \left| {{{\left( {1 + i} \right)}^{2017}}} \right| = {2^{1008}}\sqrt 2 .$
Câu 31: Đáp án B.
${z^3} - 3{z^2} + 12z - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = 1\\
z = 1 \pm 3i
\end{array} \right. \to {z_0} = 1 - 3i \to {\rm{w}} = i{z_0} = 3 + i \to N\left( {3;1} \right).$
Câu 32: Đáp án C.
|
|
M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD $\to SM\bot AB;SN\bot CD;$AB // CD $\to \left( \left( SAB \right);\left( SCD \right) \right)=\left( SM;SN \right)$ $\to \widehat{MSN}={{90}^{0}}\to S{{M}^{2}}+S{{N}^{2}}=M{{N}^{2}}={{a}^{2}}$ ${{S}_{SAB}}+{{S}_{SCD}}=\dfrac{1}{2}.a.\left( SM+SN \right)=\dfrac{17}{26}{{a}^{2}}\to SM+SN=\dfrac{17}{13}a$ $\to SM.SN=\dfrac{{{\left( SM+SN \right)}^{2}}-\left( S{{M}^{2}}+S{{N}^{2}} \right)}{2}=\dfrac{60}{169}$ Kẻ $SH\bot MN\to SH\bot \left( ABCD \right)\to {{h}_{S.ABCD}}=SH$ $\to \dfrac{1}{S{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{N}^{2}}}=\dfrac{S{{M}^{2}}+S{{N}^{2}}}{{{\left( SM.SN \right)}^{2}}}\to SH=\dfrac{60}{169}a$ $\to {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{60}{169}a.{{a}^{2}}=\dfrac{20}{169}{{a}^{3}}.$ |
Câu 33: Đáp án B.
$\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{\pi AB.A{{D}^{2}}}{\pi AD.A{{B}^{2}}}=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{2}.$
Câu 34: Đáp án A.
|
|
Gọi CD = a (0 < a ≤ 1); AM và BN lần lượt là đường cao của tam giác ACD và BCD; AH là chiều cao tứ diện ABCD. $\xrightarrow{Pytago}AM\le \sqrt{1-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}};BN\le \sqrt{1-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}\to AH\le AM\le \sqrt{1-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}$ $\to {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.AH.{{S}_{BCD}}=\dfrac{1}{3}AH.\dfrac{1}{2}BN.CD\le \dfrac{4a-{{a}^{3}}}{24}$ Xét hàm số f(a) = 4a – a3 trên (0;1] $\to f'\left( a \right)=4-3{{a}^{2}}>0\text{ }\forall a\in (0;1]$ $\to f{{\left( a \right)}_{\max }}=f\left( 1 \right)=3\to {{V}_{\max }}=\dfrac{1}{8}$ ${{V}_{\max }}\Leftrightarrow $AC = CD = AD = BC = BD = 1; 2 mặt phẳng (ACD) và (BCD) vuông góc với nhau. Khi đó $AB=\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$ |
Câu 35: Đáp án C.
(α) // (P) nên phương trình của (α) có dạng: 2x – y + 2z + m = 0 (m ≠ 2).
${d_{A/\left( \alpha \right)}} = \frac{{\left| {m + 4} \right|}}{3} = 2 \to \left[ \begin{array}{l}
m = 2\\
m = - 10
\end{array} \right. \to m = - 10 \to a + b + c = - 1 + 2 - 10 = - 9.$
Câu 36: Đáp án B.
$2{\sin ^2}x + \cos 2x + \sin 2x + a = 2a\sin x + \cos x + 1$
$ \Leftrightarrow 2\sin x\cos x + a - 2a\sin x - \cos x = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {\cos x - a} \right)\left( {2\sin x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = a\\
\sin x = \frac{1}{2}
\end{array} \right.$
$b\sin 2x + \sqrt 2 = 2\cos x + b\sqrt 2 \sin x$
$ \Leftrightarrow 2b\sin x\cos x + \sqrt 2 - 2\cos x - b\sqrt 2 \sin x = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {b\sin x - 1} \right)\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
b\sin x = 1\\
\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array} \right.$
Hai phương trình tương đương $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
b = 2
\end{array} \right. \to T = ab = \sqrt 2 .$
