LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án C.
$y'=\dfrac{11}{{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}}>0$ với mọi $x\in \left( -\infty ;-\dfrac{3}{2} \right)\cup \left( -\dfrac{3}{2};+\infty \right).$
Câu 2: Đáp án C.
Chú ý rằng số phức $z=3+5i$ được biểu diễn bởi điểm $M\left( a;b \right)$ trên mặt phẳng tọa độ.
Câu 3: Đáp án C.
Chú ý rằng nếu hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ a;b \right]$, thể tích hình (H) tạo thành khi quay phần giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, đường thẳng x = a và x = b quanh trục hoành là $V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)dx.}$
Câu 4: Đáp án B.
$\int{{{e}^{2x}}dx}-\int{{{x}^{-2}}dx}=\dfrac{{{e}^{2x}}}{2}-\frac{{{x}^{-1}}}{-1}+C=\dfrac{{{e}^{2x}}}{2}+\dfrac{1}{x}+C.$
Câu 5: Đáp án C.
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2}{x-5}=0.$
Câu 6: Đáp án C.
Chú ý rằng hàm số $y=\tan x$ tuần hoàn theo chu kỳ $\pi $.
Câu 7: Đáp án C.
${{\log }_{{{a}^{\alpha }}}}b=\dfrac{1}{\alpha }{{\log }_{a}}b.$
Câu 8: Đáp án B.
$\left. I=\dfrac{{{\left( x+2 \right)}^{4}}}{4} \right|_{0}^{2}=60.$
Câu 9: Đáp án B.
Khi x = 2 thì y = 13 nên D(2;13) thuộc (C).
Câu 10: Đáp án C.
Mặt cầu có tâm $I\left( 4;-2;3 \right)$ và bán kính $IA=\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{4}^{2}}}=\sqrt{21}$ nên phương trình mặt cầu đường kính AB là ${{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=21.$
Câu 11: Đáp án D.
$V={{S}_{d}}.h=\dfrac{\sqrt{3}}{4}.{{\left( 3a \right)}^{2}}.a=\dfrac{9\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}.$
Câu 12: Đáp án C.
Câu 13: Đáp án A.
Chú ý rằng ta loại luôn đáp án B và C vì các điểm có tọa độ rõ ràng chỉ có thể là điểm cực trị của đồ thị hàm số, không phải hàm số.
Xét $y' = -4{{x}^{2}}+16x = -4x\left( x-4 \right).$
Khi $x=0,y'=0$ và đồ thị hàm số đổi dấu từ âm sang dương nên C(0;1) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Câu 14: Đáp án B.
Là các véc tơ cùng phương với véc tơ $\left( -5;8;-2 \right).$
Câu 15: Đáp án A.
$P=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2.3+4.\left( -1 \right)+\left( -2 \right).6=-10.$
Câu 16: Đáp án D.
Chú ý rằng $\lim \dfrac{2a{{n}^{3}}-6{{n}^{2}}+2}{{{n}^{3}}+n}=2a,$ do đó $2a=4\Leftrightarrow a=2,{{a}^{4}}-a=16-2=14.$
Câu 17: Đáp án D.
$\overrightarrow{AB}=\left( -2;1;1 \right);\overrightarrow{AC}=\left( 1;3;-2 \right).$
Do đó $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=\left( -5;-3;-7 \right).$
Phương trình mặt phẳng ABC: $5x+3\left( y+1 \right)+7\left( z-2 \right)=0\Leftrightarrow 5x+3y+7z-11=0.$
Câu 18: Đáp án B.
$y'=6{{x}^{2}}-6x=6x\left( x-1 \right).$ Do đó $M=f\left( 0 \right)=1.$
Câu 19: Đáp án B.
TXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}
x + 2 > 0\\
1 - x > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 < x < 1$
Bất phương trình tương đương: ${{\log }_{3}}\dfrac{x+2}{1-x}\ge 1\Leftrightarrow \dfrac{x+2}{1-x}\ge 3\Leftrightarrow x+2\ge 3-3x\Leftrightarrow x\ge \dfrac{1}{4}.$
Do đó $a=\dfrac{1}{4};b=1$ nên $S={{2}^{2}}+{{1}^{3}}=5.$
Câu 20: Đáp án B.
Phương trình tương đương: $27\left( \dfrac{{{4}^{x}}}{{{9}^{x}}} \right)-30.\dfrac{{{2}^{x}}}{{{3}^{x}}}+8=0.$
Đặt $\dfrac{{{2}^{x}}}{{{3}^{x}}}=t,$ phương trình tương đương với:
$27{t^2} - 30t + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = \dfrac{2}{3}\\
t = \dfrac{4}{9}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0.$
Câu 21: Đáp án B.
Kẻ $BH\bot AC\left( H\in AC \right)$ thì $BH\bot SB$ (Do $SB\bot \left( ABC \right)$), đo đó BH là đường vuông góc chung của 2 đường thằng SB và AC.
Dễ thấy $BH=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}.$
Câu 22: Đáp án B.
Chiều cao khối chóp: $h=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\tan 30{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{6}}{6}.$
Do đó $V=\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}.\dfrac{a\sqrt{6}}{6}=\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{18}.$
Câu 23: Đáp án D.
Đường thẳng đó có véc tơ chỉ phương: $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right]=\left[ \left( 3;-1;-3 \right);\left( -4;1;2 \right) \right]=\left( 1;6;-1 \right).$
Câu 24: Đáp án A.
Nhận thấy $\left( \ln 2x \right)'=\dfrac{1}{2x}.2=\dfrac{1}{x}\Rightarrow I=\int\limits_{1}^{e}{f\left( \ln 2x \right).d\left( \ln 2x \right)}=\int\limits_{\ln 2}^{\ln 2e}{f\left( t \right)dt=\int\limits_{\ln 2}^{1+\ln 2}{f\left( t \right)dt=2018.}}$
Câu 25: Đáp án B.
Số kết quả xảy ra: $C_{1}^{30}.C_{2}^{29}.C_{{}}^{27}=328860.$
Câu 26: Đáp án B.
Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M: $y=4\left( x-1 \right)+2=4x-2.$
$S=\int\limits_{0}^{1}{\left( 2{{x}^{2}}-4x+2 \right)dx=\dfrac{2}{3}.}$
Câu 27: Đáp án D.
Xét hàm $f\left( x \right)=\frac{4}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+1,$ ta có $f'\left( x \right)=4{{x}^{2}}-4x=4x\left( x-1 \right).$ Do đó hàm số $f\left( x \right)$ có các điểm cực trị là $\left( 0;1 \right)$ và $\left( 1;\dfrac{1}{3} \right).$ (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt thì $\dfrac{1}{3}<-m<1\Leftrightarrow -1<m<-\dfrac{1}{3}.$
Câu 28: Đáp án A.
$P={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}={{\left( -1 \right)}^{2}}-2.3=-5.$
Câu 29: Đáp án B.
${{S}_{xq}}=\pi rl$ với $l=2r=\dfrac{h}{\cos 30{}^\circ }=\dfrac{2}{\sqrt{3}}h\Rightarrow S=\pi .\dfrac{{{l}^{2}}}{2}=\pi .\dfrac{2}{3}{{h}^{2}}\simeq 2867,227c{{m}^{3}}.$
Câu 30: Đáp án C.
Ta có: $y' = - 3{x^2} + 4x;y' = 1 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 4x = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = \dfrac{1}{3}
\end{array} \right.$
Khi x = 1, tiếp tuyến có phương trình y = x + 2 trùng với đường thẳng y = x + 2.
Khi x = $\dfrac{1}{3}$, tiếp tuyến có phương trình $y=x+\dfrac{50}{27}.$
Câu 31: Đáp án B.
Gọi $M\left( 2a-3;-2-a;-2-4a \right)$ thuộc ${{d}_{1}}$dvà $N\left( -1+3b;-1+2b;2+3b \right)$ thuộc ${{d}_{2}}$ là 2 giao điểm.
Ta có: $\overrightarrow{MN}=\left( 3b-2a+2;2b+a+1;3b+4a+a \right).$
Vì $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;2;3 \right)$ nên ta có:
$\dfrac{{3b - 2a + 2}}{1} = \dfrac{{2b + a + 1}}{2} = \dfrac{{3b + 4a + 4}}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - 1\\
b = - 2
\end{array} \right.$
$\Rightarrow M\left( -5;-1;2 \right),$ điểm này thuộc đường thẳng ở đáp án B.
Câu 32: Đáp án C.
Ghi nhớ: Công thức đường trung tuyến: $m_{a}^{2}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}.$
Gọi E là giao điểm của OH và MN.
Ta có:
$O{{E}^{2}}=\dfrac{O{{M}^{2}}+O{{N}^{2}}}{2}-\dfrac{M{{N}^{2}}}{4}=17-\dfrac{9}{2}=\frac{25}{2}\Rightarrow O{{H}^{2}}=50.$
$H{{K}^{2}}=\dfrac{H{{N}^{2}}+H{{O}^{2}}}{2}-\dfrac{O{{N}^{2}}}{4}=\dfrac{O{{M}^{2}}+O{{H}^{2}}}{2}-\dfrac{O{{N}^{2}}}{4}=\dfrac{17+50}{2}-\dfrac{17}{4}=\dfrac{117}{4}\Rightarrow HK=\dfrac{3\sqrt{13}}{2}.$
Câu 33: Đáp án D.
Gọi 4 số đó là: a; a + d; a + 2d; a + 3d. Theo đề bài: $4a+6d=32\Rightarrow 2a+3d=16.$
Lại có ${{a}^{2}}+{{\left( a+d \right)}^{2}}+{{\left( a+2d \right)}^{2}}+{{\left( a+3d \right)}^{2}}=336\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}+12ad+14{{d}^{2}}=336.$
$2a=16-3d$ vào, ta tìm được d = 4 hoặc$d=-4$.
Ở cả 2 trường hợp đều ra 4 số cần tìm là 2; 6; 10; 14. Tích 4 số này là 1680.
Câu 34: Đáp án A.
Gọi I là tâm của đường tròn dáy của chỏm cầu. M là 1 đỉnh của hình hộp thuộc đường tròn $\left( I;\frac{R}{2} \right).$
Ta có: $IM=\dfrac{R}{2};OM=R\Rightarrow OI=\sqrt{{{R}^{2}}-\dfrac{{{R}^{2}}}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}R}{2}.$ Do đó khối hộp có chiều cao là $h=\sqrt{3}R=10\sqrt{3}.$
Thể tích của chỏm cầu bị cắt: $V=\int\limits_{\dfrac{h}{2}}^{R}{\pi \left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right)dx=\int\limits_{5\sqrt{3}}^{10}{\pi \left( 100-{{x}^{2}} \right)dx\simeq 53,87.}}$
Thể tích của khối hộp chữ nhật: $V={{S}_{d}}.h={{\left( \dfrac{R}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}.\sqrt{3}.R=\dfrac{\sqrt{3}}{2}{{R}^{3}}\simeq 866,025.$
Thể tích khối cầu ban đầu: $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}\simeq 4188,79.$
Do đó thể tích cần tính: $V\simeq 4188,79-866,025-2.53,87\simeq 3215,023.$
Câu 35: Đáp án D.
Ta có: $\int\limits_{4}^{8}{\dfrac{f'\left( x \right)}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}}dx=}\int\limits_{4}^{8}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{-2}}d\left[ f\left( x \right) \right]=\left. \dfrac{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{-1}}}{-1} \right|_{4}^{8}}=-\dfrac{1}{f\left( 8 \right)}+\dfrac{1}{f\left( 4 \right)}=-2+4=2.$
Gọi k là 1 hằng số thực. Xét
$\int\limits_{4}^{8}{{{\left( \dfrac{f'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}+k \right)}^{2}}dx=}\int\limits_{4}^{8}{\dfrac{{{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{4}}}dx}+2k\int\limits_{4}^{8}{\dfrac{f'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}dx}+{{k}^{2}}\int\limits_{4}^{8}{dx}=1+2k.k+4{{k}^{2}}={{\left( 2k+1 \right)}^{2}}.$
Chọn $k=\dfrac{-1}{2},$ ta có $\int\limits_{4}^{8}{{{\left( \dfrac{f'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}dx=0,}$ mà ${{\left( \dfrac{f'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}\ge 0$ nên ${{\left( \frac{f'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow \dfrac{f'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}=\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow \int{\dfrac{f'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}dx=\dfrac{x}{2}+C\Rightarrow -\dfrac{1}{f\left( x \right)}=\dfrac{x}{2}+C.}$ Với $x=\text{ }4$, ta có
$-\dfrac{1}{f\left( 4 \right)}=2+C\Leftrightarrow -4=2+C\Leftrightarrow C=-6.$
Do đó: $f\left( x \right)=\dfrac{-1}{\dfrac{x}{2}-6}=\dfrac{2}{12-x}.$ Do đó $f\left( 6 \right)=\dfrac{2}{12-6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}.$
