Câu 34: Đáp án B
Hướng dẫn giải:
Ta có điều kiện: $\dfrac{x-2}{x}>0$
Bất phương trình đã cho: ${{5}^{{{\log }_{\dfrac{1}{3}}}\left( \dfrac{x-2}{x} \right)}}<1\Leftrightarrow {{\log }_{\dfrac{1}{3}}}\left( \dfrac{x-2}{x} \right)<0\Leftrightarrow \dfrac{x-2}{x}>1\Leftrightarrow \dfrac{-2}{x}>0\Leftrightarrow x<0$
Câu 35: Đáp án A
Hướng dẫn giải:
Dễ dàng có được ${9^x} - {4.3^x} - 45{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{3^x} = - 5\\
{3^x} = 9
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2$
Câu 36: Đáp án C
Hướng dẫn giải:
Ta có $s\left( t \right)=\int{v\left( t \right)}dt=\int{\left( 10t-{{t}^{2}} \right)}dt=-\dfrac{{{t}^{3}}}{3}+5{{t}^{2}}+C$
Do ta tính thời điểm ban đầu vật tại vị trí 0 nên $C=0$
$-\dfrac{{{t}^{3}}}{3}+5{{t}^{2}}=162\Leftrightarrow t=9\Rightarrow v\left( 9 \right)=9\left( m/p \right)$
Câu 37: Đáp án A
Hướng dẫn giải:
Ta có $\int {f\left( x \right)} = \int {\frac{{{{\sin }^3}x}}{{co{s^4}x}}} dx = \int {\frac{{\left( {1 - co{s^2}x} \right)\sin x}}{{co{s^4}x}}} dx = \frac{1}{{3co{s^3}x}} - \frac{1}{{cosx}} + C$
Câu 38: Đáp án A
Hướng dẫn giải:
Ta có $z={{\left( l-i \right)}^{2}}+{{(l+i)}^{2}}=-2i+2i=0$
Câu 39: Đáp án B
Hướng dẫn giải:
Ta có $\overline{z}=\dfrac{1+3i}{1-i}=-1+2i\Rightarrow z=-1-2i$
Và $w=i.\overline{z}+z=i.\dfrac{1+3i}{1-i}+\left( -1-2i \right)=-3-3i\Rightarrow \left| z \right|=3\sqrt{2}$
Câu 40: Đáp án A
Hướng dẫn giải:
Ta có $C'C//\left( ABB'A' \right)\Rightarrow d\left( CC',AB' \right)=d\left( C'C,\left( ABB'A' \right) \right)=d\left( C',\left( ABB'A' \right) \right)=a$
Lại có $C'A'\bot BB',C'A'\bot A'B'\Rightarrow C'A'\bot \left( ABB'A' \right)\Rightarrow C'A'=a$
Khi đó $B'C'=a\sqrt{2}$
Mà BCC’B’ là hình vuông nên chiều cao của hình lăng trụ $BB'=B'C'=a\sqrt{2}$
Kết luận ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}.a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$
Câu 41: Đáp án D
Hướng dẫn giải:
Ta có ${{S}_{ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2},SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}$
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}a\sqrt{3}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$
Ta lại có $\dfrac{{{V}_{B.NAM}}}{{{V}_{B.CAS}}}=\dfrac{BN}{BC}.\dfrac{BM}{BS}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow {{V}_{B.NAM}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{B.CAS}}$
Kết luận ${{V}_{A.SCNM}}={{V}_{S.ABC}}-{{V}_{B.NAM}}={{V}_{S.ABC}}-\dfrac{1}{4}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{3}{4}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{3}{4}\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$
Câu 42: Đáp án A
Hướng dẫn giải:
Dễ dàng ta tính được $\overrightarrow{AB}=\left( 2;l;l \right);\text{ }\overrightarrow{AC}=\left( -2;-l;-l \right),$ suy ra A là trung điểm cúa BC.
Câu 43: Đáp án A
Hướng dẫn giải:
Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua mặt phẳng $\left( Oxy \right).$
Khi đó $B'\left( 0;l;2 \right)$ và $\left| MA-MB \right|=\left| MA-MB' \right|.$ Ta có $\left| MA-M{B}' \right|\le AB'$
Dấu bằng xảy ra khi $M\equiv I$ (giao điểm của AB' với mặt phẳng $\left( Oxy \right)).$
Khi đó $\left| MA-MB \right|=AB'=\sqrt{{{\left( 1-0 \right)}^{2}}+{{\left( -1-1 \right)}^{2}}+{{\left( 1-2 \right)}^{2}}}=\sqrt{6}$
Câu 44: Đáp án A
Hướng dẫn giải: Lấy 2 điểm $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ bất kì trong mặt phẳng. Xét
$\left\{ \begin{array}{l}
{F_1}\left( A \right) = {A_1}\left( { - {y_1};{x_1}} \right)\\
{F_1}\left( B \right) = {B_1}\left( { - {y_2};{x_2}} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = \left( {{x_2} - {x_1};{y_2} - {y_1}} \right)\\
\overrightarrow {{A_1}{B_1}} = \left( {{y_1} - {y_2};{x_2} - {x_1}} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \\
{A_1}{B_1} = \sqrt {{{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}}
\end{array} \right.$
Dễ suy được ${{A}_{1}}{{B}_{1}}=AB\Rightarrow {{F}_{1}}$ là phép dời hình
Xét tiếp $\left\{ \begin{array}{l}
{F_2}\left( A \right) = {A_2}\left( {2{x_1};2{y_1};} \right)\\
{F_2}\left( B \right) = {B_2}\left( {2{x_2};2{y_2};} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = \left( {{x_2} - {x_1};{y_2} - {y_1}} \right)\\
\overrightarrow {{A_2}{B_2}} = \left( {2{x_2} - 2{x_1};2{y_2} - 2{y_1};} \right)
\end{array} \right.$ khi đó dễ dàng suy ra được $\left\{ \begin{array}{l}
AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}} \\
{A_1}{B_1} = \sqrt {4{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + 4{{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}}
\end{array} \right.$ khi $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} \ne {x_2}\\
{y_1} \ne {y_2}
\end{array} \right.$ thì ${{F}_{2}}$ không là phép dời hình
Câu 45: Đáp án B
Hướng dẫn giải:
Gọi $M\left( {{x}_{M}};{{y}_{M}} \right)\in \left( C \right)\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{M}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{M}}-2 \right)}^{2}}=4\left( * \right)$
Với $F\left( x \right)=M'\left( x';y' \right),$ theo quy tắc $\left\{ \begin{array}{l}
x' = {x_M}\\
y' = - {y_M}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = x'\\
{y_M} = y'
\end{array} \right.$ thay vào (*) ta có được: ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( -y-2 \right)}^{2}}=4\Rightarrow {M}'\in \left( {{C}'} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=4$
Câu 46: Đáp án A
Hướng dẫn giải:
Ta có $\left( Q \right)$ đi qua $A,B,C\Rightarrow \left( Q \right):\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{a}+\dfrac{z}{b}=1,$ mà $D\in \left( Q \right)$ $\Rightarrow \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1\Leftrightarrow 2\left( a+b \right)=ab$
Ta có:$\overrightarrow{AB}\left( 0;-a;b \right),\overrightarrow{AC}\left( 2;-a;0 \right)\Rightarrow \left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right|=\left( ab;2b;2a \right)\Rightarrow S=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( ab \right)}^{2}}+4{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}}$ . Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: $S=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( ab \right)}^{2}}+4{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}}\ge \dfrac{1}{2}\sqrt{9{{\left( ab \right)}^{2}}}$
Ta lại có: $ab=2\left( a+b \right)\ge 4\sqrt{ab}\Rightarrow ab\ge 16.$
Do đó $S\ge \dfrac{1}{2}\sqrt{9{{\left( ab \right)}^{2}}}\ge 24$ tại $a=b=4$
Câu 47: Đáp án A
Hướng dẫn giải:
Vì AB không đổi nên tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất khi $CA+CB$ nhỏ nhất.
Gọi $C\left( t;0;2-t \right).$ Ta có $CA=\sqrt{2{{\left( t-2 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}},CB=\sqrt{2{{\left( 1-t \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}$
Đặt $\overrightarrow{u}=\left( \sqrt{2}t\left( t-2 \right);3 \right),\overrightarrow{v}=\left( \sqrt{2}\left( 1-t \right);2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left( -\sqrt{2};5 \right)$
Áp dụng tính chất $\left| \overrightarrow{u} \right|+\left| \overrightarrow{v} \right|\ge \left| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right|$
Dấu “=” xảy ra khi $\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{v}$
$CA+CB=\left| \overrightarrow{u} \right|+\left| \overrightarrow{v} \right|\ge \left| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right|=\sqrt{2+25}=3\sqrt{3}$
Dấu “=” xảy ra khi $\dfrac{\sqrt{2}\left( t-2 \right)}{\sqrt{2}\left( t-1 \right)}=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow t=\dfrac{7}{5}\Rightarrow a+b+c=2$
Câu 48: Đáp án A
${\rm{w}} = i\left( { - 3 - 4i} \right) + \frac{{25}}{{ - 3 - 4i}} = - 3i - 4{i^2} - \frac{{25\left( {3 - 4i} \right)}}{{\left( {3 + 4i} \right)\left( {3 - 4i} \right)}} $
$\begin{array}{l}
= - 3i + 4 - \frac{{75 - 100i}}{{9 - 16{i^2}}} = - 3i + 4 - \left( {3 - 4i} \right) = 1 + i\\
\Rightarrow \left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2
\end{array}$
Câu 49: Đáp án B
Ta có $a=\int\limits_{1}^{3e}{\frac{1}{x}}dx=\left. \left( \ln \left| x \right| \right) \right|_{1}^{3e}=3$
$ \Rightarrow {x^3} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = - 2
\end{array} \right.$
Câu 50: Đáp án B
Điều kiện ${x^2} + 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x < - 2\\
x > - 1
\end{array} \right.$
Vậy là ta đã xong bài toán!
