Câu 28: Đáp án B
${{S}_{xq}}=2\pi Rh=2\pi .5.7=70\pi \left( c{{m}^{2}} \right)$
Câu 29: Đáp án C
Xét phương trình hoành độ giao điểm: $ - \frac{{{x^4}}}{2} + {x^2} + \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} = - 1\\
{x^2} = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 $
Vậy đồ thị hàm số $y=-\dfrac{{{x}^{4}}}{2}+{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}$ cắt trục hoành tại 2 điểm
Câu 30: Đáp án B
$y=\dfrac{2x+1}{x+1}\Rightarrow y'=\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( -1;+\infty \right)$
Câu 31: Đáp án A
$z={{\left( 1+i \right)}^{2}}\left( 1+2i \right)=-4+2i\Rightarrow z$ có phần ảo là 2.
Câu 32: Đáp án D
${{\log }_{6}}45={{\log }_{6}}\left( 36.\dfrac{5}{4} \right)={{\log }_{6}}36+{{\log }_{6}}\left( \dfrac{5}{4} \right)=2+\dfrac{{{\log }_{2}}\left( \dfrac{5}{4} \right)}{{{\log }_{2}}6}=2+\dfrac{{{\log }_{2}}5-{{\log }_{2}}4}{{{\log }_{2}}\left( 2.3 \right)}=2+\dfrac{{{\log }_{2}}5-2{{\log }_{2}}2}{{{\log }_{2}}3+{{\log }_{2}}2}$
$=2+\dfrac{{{\log }_{2}}5-2}{{{\log }_{2}}3+1}\Rightarrow a=2,b=-2,c=1\Rightarrow a+b+c=1$
Câu 33: Đáp án C
Bài toán đúng với mọi đa diện có mặt là tam giác, vậy để đơn giản, ta chọn đa diện là tứ diện. Tứ diện có 4 mặt và 6 cạnh $\Rightarrow M=4,C=6\Rightarrow 3M=2C$
Câu 34: Đáp án A
Mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x-y+3z-1=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}\left( 2;-1;3 \right).$
Vậy vectơ $\overrightarrow{n}\left( -4;2;-6 \right)$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{{{n}_{1}}}$ cũng là một vectơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$
Câu 35: Đáp án D
Điểm P là hình chiếu vuông góc của $A(3;2;1)$ trên $Ox\Rightarrow P(3;0;0).$
Phương trình mặt phẳng (MNP) là: $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{1}=1$
Câu 36: Đáp án D
${{\left( x-\dfrac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{21}}={{\left( x-2{{x}^{-2}} \right)}^{21}}$ có SH tổng quát: $C_{21}^{k}.{{x}^{21-k}}.{{\left( -2{{x}^{-2}} \right)}^{k}}=C_{21}^{k}.{{x}^{21-k}}.{{\left( -2 \right)}^{k}}.{{x}^{-2k}}=C_{21}^{k}.{{\left( -2 \right)}^{k}}.{{x}^{21-3k}}$
Số hạng không chứa x là $C_{21}^{k}.{{\left( -2 \right)}^{k}}.{{x}^{21-3k}}$ sao cho $21-3k=0\Leftrightarrow k=7\Rightarrow C_{21}^{7}{{\left( -2 \right)}^{7}}=-{{2}^{7}}C_{21}^{7}$
Câu 37: Đáp án B
${{\left( \sqrt[3]{5} \right)}^{x-1}}<{{5}^{x+3}}\Leftrightarrow {{5}^{\dfrac{x-1}{3}}}<{{5}^{x+3}}\Leftrightarrow \dfrac{x-1}{3}<x+3\Leftrightarrow x>-5$
Câu 38: Đáp án B
Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+1}{\sqrt{m{{\left( x-1 \right)}^{2}}+4}}$ có 2 tiệm cận đứng Û phương trình $m{{\left( x-1 \right)}^{2}}+4=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác $ - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 0\\
m{\left( { - 1 - 1} \right)^2} + 4 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 0\\
m \ne - 1
\end{array} \right.$
Câu 39: Đáp án A
$f\left( x \right)$ là hàm chẵn $\Rightarrow \int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right).dx}=2\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=2.2018=4036$
$g\left( x \right)+g\left( -x \right)=1\Leftrightarrow f\left( x \right)\left[ g\left( x \right)+g\left( -x \right) \right]=f\left( x \right)\Leftrightarrow f\left( x \right).g\left( x \right)+f\left( x \right).g\left( -x \right)=f\left( x \right)$
$\Leftrightarrow \int\limits_{-1}^{1}{\left[ f\left( x \right).g\left( x \right)+f\left( x \right).g\left( -x \right) \right]dx}=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)dx}\Leftrightarrow \int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right).g\left( x \right)dx}+\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right).g\left( -x \right)dx}=4036\left( 1 \right)$ để tính $\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right).g\left( x \right)dx},$ đặt $t = - x \Rightarrow dx = - dt,\left\{ \begin{array}{l}
x = - 1 \Rightarrow t = 1\\
x = 1 \Rightarrow t = - 1
\end{array} \right.$
$\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right).g\left( -x \right)dx}=-\int\limits_{1}^{-1}{f\left( -t \right).g\left( t \right)dx}=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( -t \right).g\left( t \right)dx}=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( -x \right).g\left( x \right)dx}=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right).g\left( x \right)dx}\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) $\Rightarrow 2\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right).g\left( x \right)dx}=4036\Leftrightarrow \int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right).g\left( x \right)dx}=2018$
Câu 40: Đáp án B
Gắn hình lập phương $ABCD.ABCD$ vào hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: $\left\{ \begin{array}{l}
A' \equiv O\\
A'B' \equiv Ox\\
A'D' \equiv Oy\\
A'A \equiv Oz
\end{array} \right.$
Vì kết quả không bị ảnh hưởng bởi độ dài cạnh của lập phương nên để thuận tiện tính toán, ta cho $a=1$
$\Rightarrow A'\left( 0;0;0 \right),B\left( 1;0;1 \right),C\left( 1;1;1 \right),D\left( 0;1;1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{A'B}=\left( 1;0;1 \right),\overrightarrow{A'C}=\left( 1;1;1 \right),\overrightarrow{A'D}=\left( 0;1;1 \right)$
Khi đó $mp\left( BA'C \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left[ \overrightarrow{A'B},\overrightarrow{A'C} \right]=\left( -1;0;1 \right),$ $mp\left( DA'C \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ \overrightarrow{A'D},\overrightarrow{A'C} \right]=\left( 0;1;-1 \right)$
Vậy $cos\left( \left( BA'C \right),\left( DA'C \right) \right)=\left| cos\left( \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}=\dfrac{\left| -1 \right|}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \left( \left( BA'C \right),\left( DA'C \right) \right)=60{}^\circ $
Câu 41: Đáp án A
Đặt $A=\int\limits_{3}^{4}{f'\left( x \right)dx}=\int\limits_{3}^{4}{\dfrac{1}{{{x}^{2}}+x-2}dx}=f\left( 4 \right)-f\left( 3 \right)$
$B=\int\limits_{-1}^{0}{f'\left( x \right)dx}=\int\limits_{-1}^{0}{\dfrac{1}{{{x}^{2}}+x-2}dx}=f\left( 0 \right)-f\left( 1 \right)$
$C=\int\limits_{-4}^{-3}{f'\left( x \right)dx}=\int\limits_{-4}^{-3}{\dfrac{1}{{{x}^{2}}+x-2}dx}=f\left( -3 \right)-f\left( -4 \right)$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow f\left( 4 \right) - f\left( 3 \right) + f\left( 0 \right) - f\left( { - 1} \right) + f\left( { - 3} \right) - f\left( { - 4} \right) = A + B + C\\
\Leftrightarrow f\left( { - 3} \right) - f\left( 3 \right) + f\left( 0 \right) - \left( {A + B + C} \right) = f\left( { - 4} \right) + f\left( { - 1} \right) - f\left( 4 \right)\\
\Leftrightarrow f\left( { - 4} \right) + f\left( { - 1} \right) - f\left( 4 \right) = \frac{1}{3} - \left( {A + B + C} \right)
\end{array}$
Dùng máy tính bỏ túi tính A, B, C và so sánh các đáp án $\Rightarrow f\left( -4 \right)+f\left( -1 \right)-f\left( 4 \right)=\dfrac{1}{3}\ln 2+\dfrac{1}{3}$
Câu 42: Đáp án B
Dùng máy tính bỏ túi tính $\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{xdx}{\sqrt{5{{x}^{2}}+4}}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow T={{1}^{2}}+{{5}^{2}}=26}$
Câu 43: Đáp án C
$\begin{array}{l}
2{\sin ^3}2x + m\sin 2x + 2m + 4 = 4co{s^2}2x \Leftrightarrow 2{\sin ^3}2x + m\sin 2x + 2m + 4 = 4\left( {1 - {{\sin }^2}2x} \right)\\
\Leftrightarrow 2{\sin ^3}2x + 4{\sin ^2}2x + m\sin 2x + 2m = 0
\end{array}$
Đặt $t=\sin 2x\Rightarrow t\in \left( 0;\dfrac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow t\in \left( 0;\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right),$ ta được $\Leftrightarrow 2{{t}^{3}}+4{{t}^{2}}+mt+2m=0\Leftrightarrow \left( t+2 \right)\left( 2{{t}^{2}}+m \right)=0$
Vì $t\in \left( 0;\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\Rightarrow t+2>0,$ vậy $\left( t+2 \right)\left( 2{{t}^{2}}+m \right)=0\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}+m=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}=\dfrac{-m}{2}$
Với $t\in \left( 0;\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\Rightarrow 0\le {{t}^{2}}<\dfrac{3}{4},$ vậy để phương trình có nghiệm thì $0<\dfrac{-m}{2}<\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow -\dfrac{3}{2}<m<0$
$\Rightarrow m=-1\left( m\in \mathbb{Z} \right)\Rightarrow $ Có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 44: Đáp án D
Đặt độ dài $AB=b,$ chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: $B\equiv O,$ tia BA trùng với Ox, BC trùng với Oy, tia Bz song song với SA.
Khi đó: $B\left( 0;0;0 \right),A\left( b;0;0 \right),C\left( 0;2\text{a};0 \right),S\left( b;0;2a\sqrt{3} \right).$
M là trung điểm AC $\Rightarrow M\left( \dfrac{b}{2};a;0 \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{BA}=\left( b;0;0 \right),\overrightarrow{MS}=\left( \dfrac{b}{2};-a;2a\sqrt{3} \right),\overrightarrow{BM}=\left( \dfrac{b}{2};a;0 \right)$
Vậy $d\left( AB,SM \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{MS} \right].\overrightarrow{BM} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{MS} \right] \right|}\Rightarrow \dfrac{2a\sqrt{39}}{13}$
Câu 45: Đáp án D
$\left| z-5+3i \right|=3\Leftrightarrow \left| \dfrac{3iz-9-15i}{3i} \right|=3\Leftrightarrow \left| 3iz-9-15i \right|=3\left| 3i \right|=9$
$\left| iw+4+2i \right|=2\Leftrightarrow \left| \dfrac{-i}{2}\left( -2w-4+8i \right) \right|=2\Leftrightarrow \left| \dfrac{-i}{2} \right|.\left| -2w-4+8i \right|=2\Leftrightarrow \left| -2w-4+8i \right|=4$
Gọi A và B lần lượt là điểm biểu diễn của 3iz và $-2w\Rightarrow $ A, B lần lượt thuộc các đường tròn tâm $O(9;15)$ bán kính bằng 9 và đường tròn tâm $I(4;-8)$ bán kính bằng $4\Rightarrow OI=\sqrt{554}\text{ }$
Khi đó $T=\left| 3iz+2w \right|=\left| 3iz-\left( -2w \right) \right|=AB$
Yêu cầu bài toán trở thành tìm $A{{B}_{max}}$
Vì $OI=\sqrt{554}>4+9$
$\Rightarrow A{{B}_{max}}=AO+OI+IB=\sqrt{554}+13$
Câu 46: Đáp án C
$y=\dfrac{x+m}{mx+4}\Rightarrow y'=\dfrac{4-{{m}^{2}}}{{{\left( mx+4 \right)}^{2}}}$
Để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định thì $y'\ge 0\Leftrightarrow \dfrac{4-{{m}^{2}}}{{{\left( mx+4 \right)}^{2}}}\ge 0\Leftrightarrow 4-{{m}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow -2\le m\le 2$
$m=\pm 2\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}$ hoặc $y=-\dfrac{1}{2}$ là hàm hằng, không biến thiên.
Vậy giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $m\in \left\{ -1;0;1 \right\}$
Câu 47: Đáp án A
Gọi $h\left( h>0 \right)$ là chiều cao của lăng trụ.
$\Delta ABC$ vuông cân tại A, cạnh huyền $BC=a\sqrt{6}\Rightarrow AB=AC=a\sqrt{3}$
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: $A\equiv O,$ tia AB trùng với Ox, AC trùng với Oy, AA’ trùng với Oz.
Khi đó: $A\left( 0;0;0 \right),B\left( a\sqrt{3};0;0 \right),C\left( 0;a\sqrt{3};0 \right),$
$B'\left( a\sqrt{3};0;h \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\left( 0;a\sqrt{3};0 \right),\overrightarrow{BC}=\left( -a\sqrt{3};a\sqrt{3};0 \right),$
$\overrightarrow{B'C}=\left( a\sqrt{3};-a\sqrt{3};h \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left[ \overrightarrow{AC};\overrightarrow{B'C} \right]=\left( ha\sqrt{3};0;-3{{a}^{2}} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( AB'C \right)$
$\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ \overrightarrow{BC};\overrightarrow{B'C} \right]=\left( ha\sqrt{3};ha\sqrt{3};0 \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$
Vì $\left( \left( AB'C \right),\left( BCC'B' \right) \right)=60{}^\circ \Rightarrow cos\left( \left( AB'C \right),\left( BCC'B' \right) \right)=\left| cos\left( \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|$
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{3{a^2}{h^2}}}{{\sqrt {3{a^2}{h^2} + 9{a^4}} \sqrt {6{a^2}{h^2}} }} \Leftrightarrow \sqrt {3{a^2}{h^2} + 9{a^4}} \sqrt {6{a^2}{h^2}} = 6{a^2}{h^2} \Leftrightarrow \sqrt {3{a^2}{h^2} + 9{a^4}} = \sqrt {6{a^2}{h^2}} \\
\Leftrightarrow 3{a^2}{h^2} + 9{a^4} = 6{a^2}{h^2} \Leftrightarrow 9{a^4} = 3{a^2}{h^2} \Leftrightarrow {h^2} = 3{a^2} \Leftrightarrow h = a\sqrt 3 \\
\Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = a\sqrt 3 .\frac{1}{2}{\left( {a\sqrt 3 } \right)^2} = \frac{{{a^3}3\sqrt 3 }}{2},{V_{B'.ABC}} = \frac{1}{3}a\sqrt 3 .\frac{1}{2}{\left( {a\sqrt 3 } \right)^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\\
\Rightarrow {V_{AB'CA'C'}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{B'.ABC}} = {a^3}\sqrt 3
\end{array}\]
Câu 48: Đáp án D
$\left| z-1 \right|=5\Leftrightarrow \left| \overline{z}-1 \right|=5.$ Ta có:
$w=\left( 2+3i \right).\overline{z}+3+4i\Leftrightarrow \overline{z}=\frac{\text{w}-3-4i}{2+3i}\Leftrightarrow \overline{z}-1=\frac{\text{w}-5-7i}{2+3i}\Leftrightarrow \left| \overline{z}-1 \right|=\left| \frac{\text{w}-5-7i}{2+3i} \right|=5$
$\Leftrightarrow \frac{\left| \text{w}-5-7i \right|}{\left| 2+3i \right|}=5\Leftrightarrow \frac{\left| \text{w}-5-7i \right|}{\sqrt{13}}=5\Leftrightarrow \left| \text{w}-5-7i \right|=5\sqrt{13}$
Dễ thấy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm $(5;7),$ bán kính $5\sqrt{13}$
Câu 49: Đáp án C
$I=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{{{\left( 2ax+b \right)}^{2}}.{{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}}dx}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{{{\left( 2ax+b \right)}^{2}}.{{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}}\left( 2ax+b \right)dx}$
Đặt $a{x^2} + bx + c = t \Rightarrow \left( {2ax + b} \right)dx = dt,{\left( {2ax + b} \right)^2} = g\left( t \right),\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_1} \Rightarrow t = ax_1^2 + b{x_1} + c = 0\\
x = {x_2} \Rightarrow t = ax_2^2 + b{x_2} + c = 0
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow \int\limits_0^0 {g\left( t \right).{e^t}.dt} = 0$
Câu 50: Đáp án A
Gọi M là trung điểm của AC, E là chân đường phân giác trong góc C. Ta có:
$CE:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 2t\\
y = 4 - t\\
z = 2 - t
\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {2 + 2t;4 - t;2 - t} \right).$
Mà $A(2;3;3),$
$\Rightarrow M\left( 2+t;\dfrac{7-t}{2};\dfrac{5-t}{2} \right).$ Vì M thuộc đường trung tuyến kẻ từ B có phương trình $\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z-2}{-1}$
$\Rightarrow\dfrac{2+t-3}{-1};\dfrac{\dfrac{7-t}{2}-3}{2};\dfrac{\dfrac{5-t}{2}-2}{-1}\Leftrightarrow t=1\Rightarrow C\left( 4;3;1 \right)$
Kẻ AH vuông góc với CE tại H, cắt BC tại $D\Rightarrow \Delta ACD$
cân tại C vậy H là trung điểm của AD.
$H\in CE\Rightarrow H\left( 2+2m;4-m;2-m \right)\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\left( 2m;1-m;-1-m \right),$ vectơ chỉ phương của CE là
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow 4m + m - 1 + m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = 0 \Rightarrow H\left( {2;4;2} \right) \Rightarrow D\left( {2;5;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CD} = \left( { - 2;2;0} \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 4 - 2k\\
y = 3 + 2k\\
z = 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\,M = CD \cap BM \Rightarrow \frac{{4 - 2k - 3}}{{ - 1}} = \frac{{3 + 2k - 3}}{2} = \frac{{1 - 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow k = 1 \Rightarrow D \equiv B\left( {2;5;1} \right)
\end{array}$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 0;2;-2 \right).\overrightarrow{u}=\left( m;n;-1 \right)$ là một vectơ chỉ phương của $AB\Rightarrow \overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{u}$ cùng phương.
$\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left( 0;1;-1 \right)\Rightarrow m=0;n=1.$ Vậy $T={{m}^{2}}+{{n}^{2}}=1$
