Câu 38: Đáp án C
Ta có: $\dfrac{9{{a}^{3}}+a}{b+1}=\sqrt{3b+2}\Leftrightarrow 9{{a}^{3}}+a=\left( b+1 \right)\sqrt{3b+2}$
Đặt $t=\sqrt{3b+2}\Rightarrow b=\dfrac{{{t}^{2}}-2}{3}\Rightarrow $ $9{{a}^{3}}+a=\dfrac{{{t}^{2}}+1}{3}t\Leftrightarrow 27{{a}^{3}}+3a={{t}^{3}}+t\Leftrightarrow {{\left( 3a \right)}^{3}}+3a={{t}^{3}}+t$
Xét hàm số $f\left( u \right)={{u}^{3}}+u\left( u\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow f'\left( u \right)=3{{u}^{2}}+1>0\,\,\forall u\in \mathbb{R}\Rightarrow f\left( u \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Khi đó: $f\left( 3a \right)=f\left( t \right)\Leftrightarrow t=3a\Rightarrow \sqrt{3b+2}=3a\Leftrightarrow b=\dfrac{9{{a}^{2}}-2}{3}$
Suy ra $S=6a-3{{a}^{2}}+\dfrac{2}{3}=-3{{\left( a-1 \right)}^{2}}+\dfrac{11}{3}\le \dfrac{11}{3}$
Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức $S=6a-b$ là $\dfrac{11}{3}$
Câu 39: Đáp án A
Mặt phẳng (P) cắt Ox, Oy, Oz tại M, N, P có phương trình $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$
Vì N thuộc mặt phẳng (P) $\Rightarrow \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}=1\Leftrightarrow \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow bc=2\left( b+c \right).$
Câu 40: Đáp án C
Ta có: $\frac{{{V_{ABC.MNP}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \frac{{\frac{{AM}}{{AA'}} + \frac{{BN}}{{BB'}} + \frac{{CP}}{{CC'}}}}{3} = \frac{{\frac{1}{2} + 2.\frac{2}{3}}}{3} = \frac{{11}}{{18}}{V_{ABC.MNP}} = \frac{{11}}{{18}}6{a^3} = \frac{{11}}{3}{a^3}$
Câu 41: Đáp án D
Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng
+ Đồ thị hàm số $f'\left( x \right)$ cắt Ox tại 3 điểm phân biệt ${{x}_{1}}\left( -1;0 \right),{{x}_{2}}\left( 0;1 \right),{{x}_{3}}\left( 2;3 \right)$
Và $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ $-\xrightarrow{{}}+$ khi đi qua ${{x}_{1}},{{x}_{3}}\Rightarrow $ Hàm số có 2 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại
+ Hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -1;{{x}_{1}} \right),$ đồng biến trên $\left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right)\Rightarrow $ (1) sai
+ Hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {{x}_{2}};{{x}_{3}} \right)$ (chứa khoảng $(1;2)$), đồng biến trên khoảng $\left( {{x}_{3}};5 \right)$ (chứa khoảng $(3;5)$) $\Rightarrow \left( 2 \right),\left( 3 \right)$ đúng
Vậy mệnh đề 2,3 đúng và 1, 4 sai.
Câu 42: Đáp án A
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm $\Rightarrow y\left( 0 \right)=d<0$
Ta có $y' = 3a{x^2} + 3bx + c,y' = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - \frac{{2b}}{{3a}}\\
{x_1}.{x_2} = \frac{c}{{3a}}
\end{array} \right..$ Mà $y'>0,\forall x\in \left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right)\Rightarrow a<0$
Mặt khác $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} > 0\\
{x_1}.{x_2} < 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- \frac{{2b}}{{3a}} > 0\\
\frac{c}{{3a}} < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b > 0\\
c < 0
\end{array} \right..$
Vậy $a<0,b>0,c>0,d<0$.
Câu 43: Đáp án D
Ta có $f'\left( x \right)=-{{e}^{x}}.{{f}^{2}}\left( x \right)\Leftrightarrow -\dfrac{f'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}={{e}^{x}}\Leftrightarrow \int{-\dfrac{f'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}}dx=\int{{{e}^{x}}}dx\Leftrightarrow \dfrac{1}{f\left( x \right)}={{e}^{x}}+C$
Mà $f\left( 0 \right)=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{1}{f\left( 0 \right)}={{e}^{0}}+C\Leftrightarrow C+1=2\Rightarrow C=1\xrightarrow{{}}f\left( x \right)=\dfrac{1}{{{e}^{x}}+1}$
Do đó $f'\left( x \right)=-\dfrac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}\Rightarrow f'\left( \ln 2 \right)=-\dfrac{2}{9}$. Vậy phương trình tiếp tuyến là $2x+9y-2\ln 2-3=0$
Câu 44: Đáp án C
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol có phương trình $y=4-{{x}^{2}}$ và trục hoành
Suy ra $\int\limits_{-2}^{2}{\left( 4-{{x}^{2}} \right)dx}=\frac{32}{3}{{m}^{2}}$
Gọi điểm $C\left( {a;0} \right),a > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
D\left( { - a;0} \right)\\
B\left( {a;4 - {a^2}} \right),A\left( { - a;4 - {a^2}} \right)
\end{array} \right.$
Gọi ${{S}_{1}}$ là diện tích ABCD, suy ra ${{S}_{1}}=AB.BC=2a.\left( 4-{{a}^{2}} \right){{m}^{2}}$
Gọi ${{S}_{2}}$ là diện tích có hoa văn, suy ra ${{S}_{2}}=S-{{S}_{1}}$
${{S}_{2}}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi ${{S}_{1}}$ lớn nhất
Xét hàm số $f\left( a \right)=2a\left( 4-{{a}^{2}} \right),a\in \left( 0;4 \right)$
Ta có $f'\left( a \right)=8-6{{a}^{2}}\Rightarrow f'\left( a \right)=0\Leftrightarrow a=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
Xét bảng biến thiên hàm số $f\left( a \right)$ với $a\in \left( 0;4 \right)$
Suy ra $\underset{\left( 0;4 \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( a \right)=f\left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)=\dfrac{32\sqrt{3}}{9}\Rightarrow {{S}_{1}}\left( \max \right)=\dfrac{32\sqrt{3}}{9}{{m}^{2}}.$ Suy ra ${{S}_{2}}\left( \min \right)=\dfrac{32}{3}-\dfrac{32\sqrt{3}}{9}\approx 4,51{{m}^{2}}$
Suy ra số tiền cần bằng 902.000 đồng
Câu 45: Đáp án B
Ta có $g\left( x \right)=2f\left( x \right)+{{\left( 1-x \right)}^{2}}\xrightarrow{{}}g'\left( x \right)=2f'\left( x \right)-2\left( 1-x \right);g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)=1-x$
Đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ cắt đường thẳng $y=1-x$ tại $x=-4;x=-1;x=-2$
Đồng thời $g'\left( x \right)$ đổi dấu từ $-$ sang + khi đi qua $x=-1\xrightarrow{{}}\underset{\left[ -4;3 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=g\left( -1 \right)$
Câu 46: Đáp án B
Xét hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{4}{{x}^{4}}-\frac{19}{2}{{x}^{2}}+30x+m-20$ trên $\left[ 0;2 \right],$ có $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=2$
Tính $f\left( 0 \right)=m-20;f\left( 2 \right)=m+6\xrightarrow{{}}\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }}\,\left| f\left( x \right) \right|=\left\{ \left| m-20 \right|;\left| m+6 \right| \right\}$
TH1. Với $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = \left| {m - 20} \right| \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {m - 20} \right| \ge \left| {m + 6} \right|\\
\left| {m - 20} \right| \le 20
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le 7\\
- 20 \le m - 20 \le 20
\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le m \le 7$
TH2. Với $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = \left| {m + 6} \right| \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {m - 20} \right| \le \left| {m + 6} \right|\\
\left| {m + 6} \right| \le 20
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ge 7\\
- 20 \le m + 6 \le 20
\end{array} \right. \Leftrightarrow 7 \le m \le 14$
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z},$ ta được $m=\left\{ 0;1;2;...;14 \right\}\xrightarrow{{}}\sum{m}=105$
Câu 47: Đáp án D
Đặt $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow $ Tập hợp điểm M là đường tròn (C) có tâm $I\left( 4;3 \right),$ bán kính $R=\sqrt{5}$
Ta có $P={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}={{\left| x+2+yi \right|}^{2}}-{{\left| x+\left( y-1 \right)i \right|}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{z}^{2}}-{{\left( y-1 \right)}^{2}}$
$={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2y-1=4x+2y+3\xrightarrow{{}}\left( \Delta \right):4x+2y+3-P=0$
Ta cần tìm P sao cho đường thẳng $\left( \Delta \right)$ và đường tròn (C) có điểm chung $\Leftrightarrow d\left( I,\Delta \right)\le R$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| 4.3+2.4+3-P \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}}\le \sqrt{5}\Leftrightarrow \left| 23-P \right|\le 10\Leftrightarrow -10\le 23-P\le 10\Leftrightarrow 13\le P\le 33$
Do đó, $\max P=33.$ Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4x + 2y - 30 = 0\\
{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 5\\
y = - 5
\end{array} \right.$
Vậy $\left| z \right|=5\sqrt{2}$
Câu 48: Đáp án A
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcd},$ vì $\overline{abcd}$ chia hết cho 6 $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
d = \left\{ {2,4,6,8} \right\}\\
a + b + c + d:3
\end{array} \right..$
Khi đó, chọn d có 4 cách chọn; b và c đều có 9 cách chọn (từ $1\to 9).$
Nếu $b+c+d\vdots 3$ thì $a=\left\{ 3,6,9 \right\}\Rightarrow $ có 3 cách chọn a
Nếu $b+c+d$ chia 3 dư 1 thì $a=\left\{ 2,5,8 \right\}\Rightarrow $ có 3 cách chọn a
Nếu $b+c+d$ chia 3 dư 2 thì $a=\left\{ 1,4,7 \right\}\Rightarrow $ có 3 cách chọn a
Suy ra a chỉ có 3 cách chọn $\Rightarrow $ có $4.9.9.3=972$ số chia hết cho 6
Vậy xác suất cần tính là $P=\dfrac{972}{{{9}^{4}}}=\dfrac{4}{27}$
Câu 49: Đáp án B
Phương trình đường thẳng có hệ số góc k, đi qua $M\left( m;2 \right)$ là $y-1=k\left( x-m \right)\left( d \right)$
Vì (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}
k = f'\left( x \right)\\
k\left( {x - m} \right) + 2 = - {x^3} + 6{x^2} + 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k = - 3{x^2} + 12x\\
k\left( {x - m} \right) = - {x^3} + 6{x^2}
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left( { - 3{x^2} + 12x} \right)\left( {x - m} \right) + {x^3} - 6{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
\left( { - 3x + 12x} \right)\left( {x - m} \right) + {x^2} - 6x = 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
- 3{x^2} + 3mx + 12x - 12m + {x^2} - 6x = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
2{x^2} - 3\left( {m + 2} \right)x + 12m = 0\left( * \right)
\end{array} \right.$
Để từ M kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) khi và chỉ khi:
TH1. Phương trình (*) có nghiệm kép khác 0 $ \Leftrightarrow \Delta = 9{\left( {m + 2} \right)^2} - 96m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 6\\
m = \frac{2}{3}
\end{array} \right.$
TH2. Phương trình (*) có nghiệm kép bằng 0, nghiệm còn lại khác 0 $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
12m = 0\\
\Delta > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 0$
Vậy $m=\left\{ 0;\frac{2}{3};6 \right\}$ là các giá trị cần tìm $\xrightarrow{{}}\sum{m}=0+\frac{2}{3}+6=\frac{20}{3}$ .
Câu 50: Đáp án D
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
\cot x < 0\\
\cos x > 0
\end{array} \right..$
Ta có $2{{\log }_{3}}\left( \cot x \right)={{\log }_{2}}\left( \cos x \right)\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{\cot }^{2}}x \right)={{\log }_{2}}\left( \cos x \right)=t$
Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}
{\cot ^2}x = {3^t}\\
{\cos ^2}x = {4^t}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}} = {3^t}\\
{\cos ^2}x = {4^t}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{{4^t}}}{{1 - {4^t}}} = {3^t} \Leftrightarrow {4^t} + {12^t} - {3^t} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{3}} \right)^t} + {4^t} - 1 = 0$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{t}}+{{4}^{t}}-1$ trên $\mathbb{R},$ có $f'\left( t \right)={{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{t}}.\ln \dfrac{4}{3}+{{4}^{t}}.\ln 4>0,\forall t\in \mathbb{R}$
$\Rightarrow \,\,f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ mà $f\left( -1 \right)=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow \cos x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{\pi }{3}+k2\pi $
Kết hợp với điều kiện $x\in \left( 0;2018\pi \right)\Rightarrow -\dfrac{1}{6}<k<1008,83\xrightarrow{k\in \mathbb{Z}}$ có 1009 nghiệm.
