Câu 1: Đáp án D
Từ bảng biến thiên của hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên R
Câu 2: Đáp án D
Ta có: $\int{f(x)dx=\int{x+\dfrac{1}{x}dx=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\ln \left| x \right|+C.}}$
Câu 3: Đáp án A
Ta có: ${{z}^{2}}-3z+4=0\Leftrightarrow z=\dfrac{3\pm i\sqrt{7}}{2}.$
Câu 4: Đáp án D
Ta có: $h=\dfrac{V}{{{S}_{ABCD}}}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}}=3a.$
Câu 5: Đáp án A
Ta có: $R=\sqrt{\dfrac{S}{4\pi }}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{8\pi {{a}^{2}}}{3}}{4\pi }}=a\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
Câu 6: Đáp án A
Ta có: $z=\left( 2-3i \right)\left( 1+i \right)=5-i\Rightarrow \overline{z}=5+i.$
Câu 7: Đáp án C
Ta có: ${{(2+2i)}^{2}}=8i$là số thuần ảo.
Câu 8: Đáp án A
Xét góc phần tư thứ nhất, ta thấy trên hình vẽ, thứ tự đồ thị có nhánh thấp nhất đến cao nhất lần lượt là $({{C}_{4}});({{C}_{3}});({{C}_{2}});({{C}_{1}}).$ Mặt khác:
Với $x = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x} = \sqrt 2 \approx 1,41\\
y = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^x} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \approx 0,71\\
y = {5^x} = 5\\
y = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x} = 0,25
\end{array} \right. \Rightarrow 0,25 < 0,71 < 1,41 < 5.$
Do đó $({{C}_{1}});({{C}_{2}});({{C}_{3}});({{C}_{4}})$ lần lượt là: $y={{5}^{x}}$; $y={{\left( \sqrt{2} \right)}^{x}}$; $y={{\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{x}}$; $y={{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{x}}$.
Câu 9: Đáp án D
Ta có: $I=\int\limits_{0}^{4}{f'(x-2)dx}+\int\limits_{0}^{2}{f'(x+2)dx}=\left. f(x-2) \right|_{0}^{4}+\left. f(x+2) \right|_{0}^{2}$
$\Leftrightarrow I=f(2)-f(-2)+f(4)-f(2)=f(4)-f(-2)=4-(-2)=6.$
Câu 10: Đáp án B
Ta có: $\begin{array}{l}
y' = {x^4} - {x^2};y'' = 4{x^3} - 2x.\\
y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 1\\
x = - 1
\end{array} \right.\\
y(0) = 0;y(1) = 2 > 0;y( - 1) = - 2 < 0.
\end{array}$
Do đó: ${{x}_{CT}}=1\Rightarrow {{y}_{CT}}=\frac{{{1}^{5}}}{5}-\frac{{{1}^{3}}}{3}+2=1\frac{13}{15}.$
Câu 11: Đáp án A
Ta có: $y'=6{{x}^{2}}+2mx+n.$
Do $A(1;-6)$ là điểm cực trị của hàm số nên $\left\{ \begin{array}{l}
y'(1) = 0\\
y(1) = - 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2m + n = - 6\\
m + n = - 9
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 3\\
n = - 12
\end{array} \right..$
Câu 12: Đáp án C
Ta có: $\sqrt {2x + 1} - x = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 1 = {x^2}\\
x \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2 .$
Do đó đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là $x=1+\sqrt{2}$.
Câu 13: Đáp án D
Ta có:
\begin{array}{l}
y' = 6{x^2} - 6x = 6{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{3}{2} \ge \frac{{ - 3}}{2}.\\
\Rightarrow y'\min = \frac{{ - 3}}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \Rightarrow M\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right).
\end{array}
Câu 14: Đáp án A
Xác suất để chọn ra đúng 1 quả đỏ là: $\dfrac{C_{2}^{1}.C_{7}^{4}}{C_{9}^{5}}=\dfrac{5}{9}.$
Câu 15: Đáp án B
Ta có: ${{2}^{x}}+{{2}^{x+1}}+{{2}^{x+2}}=21\Leftrightarrow {{7.2}^{x}}=21\Leftrightarrow {{2}^{x}}=3\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}3.$
Câu 16: Đáp án C
ĐKXĐ:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
3x - 5 > 0\\
x + 1 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{5}{3}\\
pt \Leftrightarrow 3x - 5 < x + 1 \Leftrightarrow 2x < 6 \Leftrightarrow x < 3\\
\Rightarrow S = \left( {\frac{5}{3};3} \right).
\end{array}$
Câu 17: Đáp án C
Ta có: $\left( {{m}^{2}}+2 \right){{\cos }^{2}}x-2m\sin 2x+1=0\Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}+2 \right)\cos 2x-4m\sin 2x+{{m}^{2}}+4=0.$
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
${\left( {{m^2} + 2} \right)^2} + {\left( { - 4m} \right)^2} \ge {\left( {{m^2} + 4} \right)^2} \Leftrightarrow 12{m^2} - 12 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m \ge 1\\
m \le - 1
\end{array} \right..$
Mà $\left\{ \begin{array}{l}
m \in \left[ { - 3;3} \right]\\
m \in
\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;1;2;3} \right\}.$
Câu 18: Đáp án C
Ta có: $C_n^{n - 2} + C_n^{n - 1} + C_n^n = 22 \Leftrightarrow \frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right) + n + 1 = 22 \Leftrightarrow {n^2} + n - 42 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = - 7\\
n = 6
\end{array} \right. \Rightarrow n = 6.$
Khi đó: ${{\left( {{2}^{x}}+{{2}^{\frac{1}{2}-x}} \right)}^{6}}=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{\left( {{2}^{x}} \right)}^{6-k}}{{\left( {{2}^{\frac{1}{2}-x}} \right)}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{.2}^{\frac{k}{2}}}{{.2}^{(6-2k)x}}.}}$
Tổng số hạng thứ 3 và 5 là:
$\begin{array}{l}
C_6^2{.2^{\frac{2}{2}}}{.2^{(6 - 2.2)x}} + C_6^4{.2^{\frac{4}{2}}}{.2^{(6 - 2.4)x}} = 135 \Leftrightarrow {30.2^{2x}} + {60.2^{ - 2x}} = 135\\
\Leftrightarrow {2.2^{4x}} - {9.2^{2x}} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{2^{2x}} = 4\\
{2^{2x}} = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = \frac{{ - 1}}{2}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow {x_1} = 1;{x_2} = \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow T = {x_1} + {x_2} = \frac{1}{2}.
\end{array}$
Câu 19: Đáp án A
Từ đồ thị của $f'(x)$ ta thấy:
+$f'(x)\ge 0$trên các khoảng $\left( -\infty ;2 \right)\cup \left( 3;+\infty \right)$ nên $f(x)$ đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;2 \right)\cup \left( 3;+\infty \right).$
+$f'(x)<0$trên khoảng $\left( 2;3 \right)$ nên $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 2;3 \right).$
Câu 20: Đáp án C
Ta có: \[\int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{2x + 1}} - \frac{1}{{3x + 1}}} \right)dx = } \left. {\left( {\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| - \frac{1}{3}\ln \left| {3x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1\]\[ = \frac{1}{2}\left( {\ln 3 - \ln 1} \right) - \frac{1}{3}\left( {\ln 4 - \ln 1} \right)\]
\[ = \frac{1}{2}\ln 3 - \frac{1}{3}\ln 4 = \frac{1}{6}\ln 27 - \frac{1}{6}\ln 16 = \frac{1}{6}\ln \frac{{27}}{{16}}.\]
$\Rightarrow a=27;b=16\Rightarrow a+b=27+16=43>22.$
Câu 21: Đáp án C
$V=\pi \int\limits_{-2}^{2}{\left( 4-{{x}^{2}} \right)dx=\pi \int\limits_{-2}^{2}{\left( {{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+16 \right)dx}}=\pi \left. \left( \dfrac{1}{5}{{x}^{5}}-\dfrac{8}{3}{{x}^{3}}+16x \right) \right|_{-2}^{2}=\dfrac{512}{15}\pi .$
Câu 22: Đáp án A
Ta có: $z=\dfrac{{{\left( 2+i \right)}^{2}}}{i}=4-3i\Rightarrow \left| z \right|=5.$
Câu 23: Đáp án D
Giả sử $z=a+bi$, với $a;b\in \mathbb{R}$, ta có:
$2z = i\left( {\overline z + 3} \right) \Leftrightarrow 2a + 2bi = i(a + 3 - bi) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2a = b\\
2b = a + 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 2
\end{array} \right. \Rightarrow z = 1 + 2i.$
Câu 24: Đáp án B
Kẻ CH vuông góc với AB
=> CH chính là khoảng cách của C đến (ABB’A’)
$\begin{array}{l}
{S_{ACB}} = \frac{1}{2}AB.CH = \frac{1}{2}AC.BC.sin120\\
A{B^2} = C{A^2} + C{B^2} - 2.CA.CB.c{\rm{os120 = }}7{a^2} = > AB = a\sqrt 7 \\
= > CH = \frac{{AC.BC.sin120}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}
\end{array}$
Câu 25: Đáp án C
Gắn hệ trục tọa độ $Bxyz$với $B$ là gốc tọa độ; tia $Bx$ trùng với tia $BA$; tia $By$ trùng với tia $BC$; tia $Bz$ cùng hướng với tia $AS$. Chuẩn hóa a=1. Khi đó:
$B\left( 0;0;0 \right);A\left( 1;0;0 \right);C\left( 0;1;0 \right);S\left( 1;0;\sqrt{6} \right).$
$\Rightarrow \overrightarrow{AC}\left( -1;1;0 \right);\overrightarrow{BC}\left( 0;1;0 \right);\overrightarrow{BS}\left( 1;0;\sqrt{6} \right)\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{(SBC)}}=\left[ \overrightarrow{BC};\overrightarrow{BS} \right]=\left( \sqrt{6};0;-1 \right).$
Do đó: $\sin \left( AC;(SBC) \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{AC}.{{\overrightarrow{n}}_{(SBC)}} \right|}{\left| \overrightarrow{AC} \right|.\left| {{\overrightarrow{n}}_{(SBC)}} \right|}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.$
Câu 26: Đáp án D
Ta có: ${{u}_{n+1}}=2{{\left( -\sqrt{3} \right)}^{n+2}}=-\sqrt{3}.\left[ 2.{{\left( -\sqrt{3} \right)}^{n+1}} \right]=-\sqrt{3}{{u}_{n}}.$
Câu 27: Đáp án A
Ta có:$\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;2;-5 \right);\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 2;-1;3 \right)\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left( 1;-13;-5 \right).$
Câu 28: Đáp án A
Gọi $M\left( x;0;0 \right)\in Ox.$
Ta có:
$M{{A}^{2}}=M{{B}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}+{{2}^{2}}\Leftrightarrow 10x=-10\Leftrightarrow x=-1\Rightarrow M\left( -1;0;0 \right).$
Câu 29: Đáp án C
Gọi $M\left( t-3;t+2;2t-7 \right).$ Có $\overrightarrow{AB}\left( -6;2;-6 \right)//(3;-1;3)$ nên $OM\bot AB$ khi và chỉ khi: $\left( t-3 \right).3+\left( t+2 \right)\left( -1 \right)+\left( 2t-7 \right).3=0\Leftrightarrow 8t-32=0\Leftrightarrow t=4\Rightarrow M\left( 1;6;1 \right).$
Câu 30: Đáp án A
Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( 1;-1;2 \right);\overrightarrow{{{u}_{2}}}\left( 1;m;4 \right)$ không cùng phương $,\forall m\Rightarrow {{d}_{1}};{{d}_{2}}$ chéo nhau khi và chỉ khi ${{d}_{1}};{{d}_{2}}$ không cắt nhau. Do đó, hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
- 1 + t = 1 + s\\
1 - t = - 1 + ms\\
1 + 2t = 3 + 4s
\end{array} \right.$ vô nghiệm $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = 3\\
s = 1\\
ms + t = 2
\end{array} \right.$ vô nghiệm $ \Leftrightarrow m + 3 \ne 2 \Leftrightarrow m \ne - 1.$
Câu 31: Đáp án A
${{x}^{2}};\frac{1}{2};{{y}^{2}}$lập thành một cấp số cộng nên ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2.\frac{1}{2}=1.$
Do $x=0$không thỏa mãn điều kiện trên nên đặt $y=tx\left( t\ne 0 \right).$ Ta có:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\Rightarrow \left( {{t}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}=1\Rightarrow {{x}^{2}}=\frac{1}{{{t}^{2}}+1}.$
Khi đó:$P=\sqrt{3}xy+{{y}^{2}}=\sqrt{3}t{{x}^{2}}+{{t}^{2}}{{x}^{2}}=\left( \sqrt{3}t+{{t}^{2}} \right){{x}^{2}}=\frac{\sqrt{3}t+{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}+1}$
$\Leftrightarrow \left( 1-P \right){{t}^{2}}+\sqrt{3}t-P=0$ có nghiệm
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \Delta = - 4{P^2} + 4P + 3 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{2} \le P \le \frac{3}{2}.\\
\Rightarrow M = P\max = \frac{3}{2};m = P\min = \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow S = M + m = \frac{3}{2} + \frac{{ - 1}}{2} = 1.
\end{array}$
Câu 32: Đáp án A
Ta có $2f(x) - m = 0 \Leftrightarrow f(x) = \frac{m}{2}$ có nghiệm $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{m}{2} > 3\\
\frac{m}{2} < - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 6\\
m < - 2
\end{array} \right..$
