Câu 1:
Chọn đáp án B
Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-1 ;0) ,(1 ;0),(0; -3) suy ra chọn B
Câu 2:
Chọn đáp án D
Ta có ${y}'=\dfrac{2\text{x}}{{{\left( {{x}^{2}}+10 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=0;y\left( 0 \right)=-1/10;y\left( 1 \right)=-1/11$.
Lập bảng biến thiên ta có đáp án D đúng.
Câu 3:
Chọn đáp án A
TXĐ: $1\le x\le 7$.
Ta có ${y}'=\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}-\dfrac{1}{2\sqrt{7-x}}=0\Leftrightarrow x=4$
Xét $y\left( 1 \right)=y\left( 7 \right)=\sqrt{6},y\left( 4 \right)=2\sqrt{3}$, suy ra $2,44<\operatorname{k}<3,464$ suy ra $\operatorname{k}=3$, tức có 1 số nguyên dương k.
Câu 4:
Chọn đáp án A
Ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( {{3}^{{{\log }_{a}}8}} \right)}^{2}}=64\Leftrightarrow a=3$
Câu 5:
Chọn đáp án B
+ Xét hàm số $y={{a}^{x}}$ đi qua $\left( 0;1 \right)$ suy ra đồ thị hàm số (1) là đường nghịch biến, suy ra $0<a<1$.
+ Xét hàm số $y={{\log }_{b}}x$ đi qua (1;0) suy ra đồ thị hàm số (2) là đường đồng biến suy ra b>1.
Suy ra $0<a<1<b.$
Câu 6:
Chọn đáp án A
Vì $a>0$ nên $I=-\int\limits_{-1}^{0}{xd\text{x}}+\int\limits_{0}^{a}{xd\text{x}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{2}}+1}{2}$
Câu 7:
Chọn đáp án A
$z=1+i$ là một nghiệm của phương trình nên ta có: ${\left( {1 + i} \right)^2} + a\left( {1 + i} \right) + b = 0 \Leftrightarrow \left( {a + 2} \right)i + a + b = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - 2\\
b = 2
\end{array} \right.$
Câu 8:
Chọn đáp án B
Bởi vì một hình lăng trụ muốn có mặt cầu ngoại tiếp thì nó phải là lăng trụ đứng và đáy có đường tròn ngoại tiếp. Các đáp án A, B, D đáy đều là hình bình hành nên không có đường tròn ngoại tiếp. Vậy chỉ có đáp án B đúng.
Câu 9:
Chọn đáp án B
$\overrightarrow{OA}=\left( 2;-1;1 \right),\overrightarrow{OB}=\left( 1;1;-3 \right)\Rightarrow M\left( \dfrac{3}{2};0;-1 \right)$
Câu 10:
Chọn đáp án B
H là hình chiếu của M lên $\Delta $ nên tọa độ của H có dạng: $H\left( 1-t;-2+3t;-2t \right)$ và
$\overrightarrow{MH}\bot \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}$, (với $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( -1;3;-2 \right)$ là vecto chỉ phương của $\Delta $ )
$\Leftrightarrow \overrightarrow{MH}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0\Leftrightarrow 14t-11=0\Leftrightarrow t=\dfrac{11}{14}\Rightarrow H\left( \dfrac{3}{14};\dfrac{5}{14};\dfrac{-22}{14} \right)$
$\Rightarrow a+b+c=-1$
Câu 11:
Chọn đáp án D
${y}'=3{{x}^{2}}+4\left( m-1 \right)x+\left( m-1 \right)$
Hàm số đồng biến trên R khi ${\Delta }'=4{{\left( m-1 \right)}^{2}}-3\left( m-1 \right)\le 0\Leftrightarrow 1\le m\le \dfrac{7}{4}$. Suy ra $m\in \left[ 1;\dfrac{7}{4} \right]$
Câu 12:
Chọn đáp án A
${y}'=3{{x}^{2}}-6x+m;{y}'\left( 2 \right)=0\Leftrightarrow m=0$
+ Với m=0, suy ra $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 2
\end{array} \right.$ . Lập bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực tiểu tại x=2.
Câu 13:
Chọn đáp án A
+ Để $\left( {{C}_{m}} \right)$ có tiệm cận ngang thì $m\left( {m - 1} \right) - 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne - 1\\
m \ne 2
\end{array} \right.$
Khi đó phương trình đường tiệm cận ngang là $d:y=m$.
+ $d$ tiếp xúc với Parabol $y={{x}^{2}}+7\Leftrightarrow m=7$
Câu 14:
Chọn đáp án A
$pt\Leftrightarrow {{3}^{2x-1}}=-2m+m+3$
Phương trình có nghiệm khi $-2m+m+3>0\Leftrightarrow -1<m<\frac{3}{2}$.
Câu 15:
Chọn đáp án D
TXĐ của (1): x>0
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \log _{\sqrt 2 }^2\left( {2x} \right) - 2{\log _{\sqrt 2 }}\left( {2x} \right) - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\log _{\sqrt 2 }}\left( {2x} \right) = 4\\
{\log _{\sqrt 2 }}\left( {2x} \right) = - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = 1/4
\end{array} \right.$
Thử xem phương trình nào trong 4 đáp án cũng chỉ có 2 nghiệm là x=2 và x=1/4 thì đó là đáp án đúng, suy ra chọn D.
Câu 16:
Chọn đáp án D
$y' = {2^{x + 1}}\ln 2 - \frac{4}{3}{.8^x}\ln 8 = 0 \Leftrightarrow {2^x} - 2.{\left( {{2^x}} \right)^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{2^x} = 0\\
{2^x} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = - 1/2
\end{array} \right.$
Xét y(-1)= 5/6 ; y(-1/2)=0,9428 ; y(0)=2/3. Ta có ${{y}_{\min }}=\dfrac{2}{3}$
Câu 17:
Chọn đáp án A
$\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} - 2}}{{x + 1}}} dx = \int\limits_0^1 {\left( {x - 1} \right)dx} - \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{x + 1}}} = $ $\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}
^1\\
_0
\end{array} \right. - \ln \left| {x + 1} \right|\left| {_0^1} \right. = \frac{{ - 1}}{2} - \ln 2$
$\Rightarrow m=2,n=-1\Rightarrow m+n=1$
Câu 18:
Chọn đáp án A
Sử dụng phân tích $\int\limits_{-\pi }^{\pi }{\dfrac{{{\cos }^{2}}x}{1+{{3}^{-x}}}dx}+\int\limits_{-\pi }^{\pi }{\dfrac{{{\cos }^{2}}x}{1+{{3}^{x}}}dx}=\int\limits_{-\pi }^{\pi }{{{\cos }^{2}}xdx}=\pi $
Câu 19:
Chọn đáp án C
A.$z.\overline{z}=\left( a+bi \right)\left( a-bi \right)={{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left| z \right|}^{2}}\Rightarrow $ đúng
B. ${z_1}.{z_2} = ({a_1} + {b_1}i)({a_2} + {b_2}i) = {a_1}.{a_2} - {b_1}.{b_2} + ({a_1}{b_2} + {a_2}{b_1}).i$
$ \Rightarrow {z_1}.{z_2} = \sqrt {{{({a_1}.{a_2} - {b_1}.{b_2})}^2} + {{({a_1}{b_2} + {a_2}{b_1})}^2}} = \sqrt {({a_1}^2 + {b_1}^2)({a_2}^2 + {b_2}^2)} $ đúng
C. $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{b}_{1}}+{{b}_{2}} \right)}^{2}}}\ne \sqrt{{{a}_{1}}^{2}+{{b}_{1}}^{2}}+\sqrt{{{a}_{2}}^{2}+{{b}_{2}}^{2}}=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|\Rightarrow $ sai
D. $\left| \overline{z} \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\left| z \right|\Rightarrow $ đúng
Câu 20:
Chọn đáp án B
+ Ta có $M\left( 12;-5 \right)$
+ ${z}'=\frac{17}{2}+\frac{7}{2}i\Rightarrow {M}'\left( \frac{17}{2};\frac{7}{2} \right)\Rightarrow \overrightarrow{O{M}'}=\left( \frac{17}{2};\frac{7}{2} \right),\overrightarrow{M{M}'}=\left( \frac{-7}{2};\frac{17}{2} \right)\Rightarrow \overrightarrow{O{M}'}\overrightarrow{M{M}'}=0$
$\Rightarrow \Delta OM{M}'$ vuông tại ${M}'\Rightarrow {{S}_{\Delta OM{M}'}}=\frac{1}{2}M{M}'.O{M}'=\frac{169}{4}$
Câu 21:
Chọn đáp án C
Ta có
$\operatorname{SA}=a.\tan 30{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{3},SMA=30{}^\circ $
$V=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{1}{2}.a.2a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$
Câu 22:
Chọn đáp án D
Gọi tổng số các mặt của $\left( H \right)$ là m và tổng số các cạnh của $\left( H \right)$ là c. Ta có $2\left( {{p}_{1}}+{{p}_{2}}+...+{{p}_{m}} \right)+m=2c$. Trong đó, một mặt nào đó có số cạnh là $2{{p}_{i}},+1,i=1,...m$. Do đó m chia hết cho 2. Hơn nữa có ít nhất một mặt là ngũ giác nên tổng số mặt lớn hơn 5, do đó tổng số cạnh lớn hơn 9 và tổng số đỉnh lớn hơn 5.
Chú ý: lấy 1 ví dụ cụ thể để ra đáp án. Ví dụ hình chóp có đáy là ngũ giác có tổng số cạnh là một số chẵn.
Câu 23:
Chọn đáp án B
+ $\Delta $ nằm trong (P) và vuông góc với d nên có vecto chỉ phương là: $\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( 4;-5;-7 \right)$
+ $\Delta $ cắt d nên gọi $A=d\cap \Delta $ thì $A=d\cap \left( P \right)\Rightarrow A\left( 1;0;-3 \right)$
+ Vậy phương trình tham số của $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 4t\\
y = - 5t\\
z = - 3 - 7t
\end{array} \right.{\rm{hay}}\left\{ \begin{array}{l}
x = - 3 + 4t\\
y = 5 - 5t\\
z = 4 - 7t
\end{array} \right.$
Câu 24:
Chọn đáp án D
+ Véc tơ chỉ phương của $\Delta $ là $\overrightarrow{u}=\left( 3;1;-4 \right)$, véc tơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n}$
+ Mặt cầu (S) có tâm I(3; -3; 1) và bán kính R=3
+ Vì (P) chứa $\Delta $ nên $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=0$ và (P) tiếp xúc với (S) nên $d\left( I,\left( P \right) \right)=R=3$
Ta chỉ xét những phương trình có $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=0$. Lấy 2 điểm nằm trên đường thẳng d là M(4;0;-4) và N(1;-1;0)
A. (Q) có phương trình: 3x – y + 2z =0
Nhưng điểm M, N không thuộc (Q) nên $\Rightarrow $ không thỏa mãn.
B. (Q) có phương trình: -2x + 2y – z + 4 =0 vì điểm M, N không thuộc (Q) kết hợp với $d\left( I,\left( Q \right) \right)=3=R$ nên (P) trùng (Q) $\Rightarrow $ không thỏa mãn.
C. (Q) có phương trình: x + y + z = 0. Nhưng điểm M, N không thuộc (Q) nên $\Rightarrow $ không thỏa mãn.
D. Đáp án là D.
Câu 25:
Chọn đáp án C
Cách 1: Gọi $x=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{6}}},{{a}_{i}}\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}$ là số cần lập
Theo bài ra ta có: ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+1={{a}_{4}}+{{a}_{5}}+{{a}_{6}}\left( 1 \right)$
Mà ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}},{{a}_{5}},{{a}_{6}}\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}$ và đôi một khác nhau nên
${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}+{{a}_{5}}+{{a}_{6}}=1+2+3+4+5+6=21\left( 2 \right)$
Từ (1), (2) suy ra: ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}=10$
Phương trình này có các bộ nghiệm là: $\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}} \right)=\left( 1,3,6 \right);\left( 1,4,5 \right);\left( 2,3,5 \right)$
Với mỗi bộ ta có $3!.3!=36$ số.
Vậy có cả thảy $3.36=108$ số cần lập.
Cách 2: Gọi $x=\overline{abcdef}$ là số cần lập
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
a + b + c + d + e + f = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21\\
a + b + c = d + e + f + 1
\end{array} \right.$
$\Rightarrow a+b+c=11$. Do $a,b,c\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}$
Suy ra ta có các cặp sau: $\left( a,b,c \right)=\left( 1,4,6 \right);\left( 2,3,6 \right);\left( 2,4,5 \right)$
Với mỗi bộ như vậy ta có 3! cách chọn $a,b,c$ và 3! cách chọn $d,e,f$
Do đó: $3.3!.3!=108$ số thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 26:
Chọn đáp án A
Ta có: ${{a}_{k}}=C_{n}^{k}$, suy ra hệ $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{2}\frac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - k + 1} \right)!}} = \frac{1}{9}\frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}\\
\frac{1}{9}\frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}} = \frac{1}{{24}}\frac{{n!}}{{\left( {n - k - 1} \right)!(k + 1)!}}
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
9k = 2\left( {n - k + 1} \right)\\
24\left( {k + 1} \right) = 9\left( {n - k} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2n - 11k = - 2\\
9n - 33k = 24
\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 10,k = 2$
Câu 27:
Chọn đáp án A
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\
\sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\\
2\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) \ne 0
\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}
x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\\
2x - \frac{\pi }{6} \ne k\pi
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\\
x \ne \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2}
\end{array} \right.$
TXĐ: TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{2};k\in \mathbb{Z} \right\}$.
Câu 28:
Chọn đáp án B
Ta có để f là phép đồng nhất thì $\left\{ \begin{array}{l}
x' = x\\
y' = y
\end{array} \right.$ nên $ax+by=y$. Vậy $a=0;b=1$.
Câu 29:
Chọn đáp án A
Gọi $x\left( 0<x\le 15 \right)$ là số máy in cần sử dụng để in lô hàng
Chi phí cài đặt và bảo dưỡng là: 48000x
Số giờ in hết số ấn phẩm là $\dfrac{6000}{30\text{x}}$, chi phí giám sát là: $\dfrac{6000}{30\text{x}}.24000=\dfrac{4800000}{x}$
Tổng chi phí in là
\[\begin{array}{l}
{\mathop{\rm P}\nolimits} \left( x \right) = 48000{\rm{x}} + \frac{{4800000}}{x}\\
P'\left( x \right) = 48000 - \frac{{4800000}}{{{{\mathop{\rm x}\nolimits} ^2}}}
\end{array}\] \[P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {{\mathop{\rm x}\nolimits} ^2} = 100 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\mathop{\rm x}\nolimits} = - 10({\mathop{\rm L}\nolimits} )\\
{\mathop{\rm x}\nolimits} = 10
\end{array} \right.\]
BBT
Vậy chi phí in nhỏ nhất khi số máy in sử dụng là 10 máy.
Câu 30:
Chọn đáp án C
Tiệm cận đứng: ${{\operatorname{d}}_{1}}:x=-1$, tiệm cận ngang ${{\operatorname{d}}_{2}}:y=1$ suy ra tâm đối xứng là $I\left( -1;1 \right)$. Phương trình tiếp tuyến tại $\operatorname{M}\left( a;\dfrac{a+2}{a+1} \right)\in \left( C \right)\left( \operatorname{a}\ne -1 \right)$ là: $y=\dfrac{-1}{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}\left( \operatorname{x}-\operatorname{a} \right)+\dfrac{a+2}{a+1}\left( \operatorname{d} \right)$
Khi đó
${\mathop{\rm d}\nolimits} \left( {I;d} \right) = \frac{{\left| {\frac{{ - 1}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\left( { - 1 - {\mathop{\rm a}\nolimits} } \right) - 1 + \frac{{a + 2}}{{a + 1}}} \right|}}{{\sqrt {\frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^4}}} + 1} }} = \frac{{\left| {\frac{2}{{a + 1}}} \right|}}{{\sqrt {\frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^4}}} + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {\frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + {{\left( {a + 1} \right)}^2}} }} \le \frac{2}{{\sqrt {2\sqrt {\frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}.{{\left( {a + 1} \right)}^2}} } }}$
Hay Hay $d\le \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.
