Câu 1: Đáp án D
Ta có: $y' = 3{x^2} - 3 \Rightarrow y'' = 6x,y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\left\{ \begin{array}{l}
y''\left( 1 \right) > 0\\
y''\left( { - 1} \right) < 0
\end{array} \right. \Rightarrow $
hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$. $\Rightarrow $ Điểm cực tiểu $A\left( 1;0 \right)$
Câu 2: Đáp án A
Ta có $z=\dfrac{\left( 2-3i \right)\left( 4-i \right)}{3+2i}=\dfrac{5-14i}{3+2i}=\dfrac{\left( 5-14i \right)\left( 3-2i \right)}{\left( 3+2i \right)\left( 3-2i \right)}=\dfrac{-13-52i}{13}=-1-4i\Rightarrow \left( -1;-4 \right)$ là điểm biểu diễn của số phức z.
Câu 3: Đáp án C
Ta có $\sin x=0\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x=0\Leftrightarrow 1-co{{s}^{2}}x=0\Leftrightarrow \cos x=\pm 1$
+) $\tan x=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& \cos x\ne 0 \\
& \sin x=0 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow \sin x=0$
Câu 4: Đáp án B
$F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)}dx=\int{\sqrt{x}}dx=\dfrac{2}{3}{{x}^{\dfrac{3}{2}}}+C$ mà $F\left( 1 \right)=1\Rightarrow C=\dfrac{1}{3}\Rightarrow F\left( x \right)=\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+\dfrac{1}{3}$
Câu 5: Đáp án B
Điều kiện $x\ne 1$.
Phương trình hoành độ giao điểm $\dfrac{2{{x}^{2}}-x+1}{x-1}=x-1$
$ \Leftrightarrow 2{x^2} - x + 1 = {\left( {x - 1} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} + x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow y = - 1 \Rightarrow A\left( {0; - 1} \right)\\
x = - 1 \Rightarrow y = - 2 \Rightarrow B\left( { - 1; - 2} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow AB = \sqrt 2 $
Câu 6: Đáp án B
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=\dfrac{2}{3},$ tiệm cận ngang là $y=-\dfrac{2}{3}\Rightarrow $ $I\left( \dfrac{2}{3};-\dfrac{2}{3} \right)$
Câu 7: Đáp án B
Ta có $y'={{e}^{2x}}+2\left( x+2 \right){{e}^{2x}}=\left( 2x+5 \right){{e}^{2x}}$.
Câu 8: Đáp án D
Ta có ${{\log }_{4}}\sqrt{a}=5\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}{{\log }_{2}}a=5\Leftrightarrow {{\log }_{2}}a=20\Rightarrow {{\log }_{a}}2=\dfrac{1}{20}$
Câu 9: Đáp án C
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại $x=2,$ cực đại tại $x=0$
Câu 10: Đáp án D
Ta có: ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.4.2=\dfrac{8}{3}$
Câu 11: Đáp án B
Ta có $\overrightarrow{u}=-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}=\left( -7;6;10 \right)$
Câu 12: Đáp án A
Ta có $\cos x + \sin 2x = 0 \Leftrightarrow \cos x + 2\sin x\cos x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\sin x = - \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.$
Mà $x\in \left( -\pi ;\pi \right)\Rightarrow x\in \left\{ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2};-\dfrac{\pi }{6};-\dfrac{5\pi }{6} \right\}$
Câu 13: Đáp án B
Ta có: ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{5}}{2}\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{2}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}a\sqrt{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{5}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$
Câu 14: Đáp án A
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AB\\
BC \bot SA
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$
Ta có $SC\cap \left( SAB \right)=\left\{ S \right\};BC\bot \left( SAB \right)$
$\Rightarrow $ $\widehat{\left( SC;\left( SAB \right) \right)}=\widehat{\left( SC,SB \right)}=\widehat{BSC}$
Ta có $SB=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=a\sqrt{3}$
Ta có $\tan \widehat{BSC}=\dfrac{BC}{SB}=\dfrac{a}{a\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{BSC}=30{}^\circ $
Câu 15: Đáp án C
Mặt cầu có tâm $J\left( 1;2;-3 \right),$ bán kính $R=4$
Tâm của đường tròn là hình chiếu của J lên Oxy $\Rightarrow I\left( 1;2;0 \right)$
Ta có $d\left( J;\left( Oxy \right) \right)=3\Rightarrow r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( J;\left( Oxy \right) \right)}=\sqrt{7}$
Câu 16: Đáp án C
Ta có ${{\left( {{x}^{2}}+\dfrac{2}{x} \right)}^{7}}=\sum\limits_{k=0}^{7}{C_{7}^{k}{{x}^{2k}}{{\left( \dfrac{2}{x} \right)}^{7-k}}}=\sum\limits_{k=0}^{7}{C_{7}^{k}{{x}^{7-k}}{{2}^{3k-7}}}$
Hệ số của ${{x}^{5}}$ khi $3k-7=5\Leftrightarrow k=4\Rightarrow $ hệ số là $C_{7}^{4}{{2}^{3}}=280$
Câu 17: Đáp án B
Vì ABCD là hình vuông $\Rightarrow AB\bot AD\left( 1 \right)$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\
\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB\left( 2 \right)$
Từ (1), (2) suy ra $AB\bot \left( SAD \right)$ $\Rightarrow \widehat{SB;\left( SAD \right)}=\widehat{\left( SB;SA \right)}=\widehat{BSA}$
Tam giác SAB vuông tại A, có $cos\widehat{BSA}=\dfrac{SA}{SB}=\dfrac{SA}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
Câu 18: Đáp án A
ĐK: $m\ne 2x.$ Ta có: $y=\dfrac{mx-2}{m-2x}\Rightarrow y'=\dfrac{{{m}^{2}}-4}{{{\left( m-2x \right)}^{2}}}$
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 2x\\
\frac{{{m^2} - 4}}{{{{\left( {m - 2x} \right)}^2}}} < 0
\end{array} \right.\left( {\forall x > \frac{1}{2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le 1\\
- 2 < m < 2
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow -2<m\le 1$
Câu 19: Đáp án D
Câu 20: Đáp án A
Ta có $z=\dfrac{\left( 5-i \right)\left( 1+i \right)+i-1}{\left( 1-i \right)\left( 2+i \right)}=1+2i\Rightarrow \text{w}=8i\Rightarrow \left| \text{w} \right|=8$
Câu 21: Đáp án B
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
OC \bot OA\\
OC \bot OB
\end{array} \right. \Rightarrow OC \bot \left( {OAB} \right)$
Kẻ $OH\bot AB\Rightarrow OC\bot OH\Rightarrow d\left( AB;OC \right)=OH=\dfrac{OA}{\sqrt{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Câu 22: Đáp án C
Ta có $f'\left( x \right)>0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( x+2 \right)>0\Leftrightarrow x>-2$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -2;+\infty \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-2 \right)$
Câu 23: Đáp án D
Gọi $M\left( a;b;c \right)\Rightarrow d\left( M;Oxz \right)=\left| b \right|=2;d\left( M;Oyz \right)=\left| a \right|=3$
Do $OM=7\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=49\Rightarrow \left| c \right|=\sqrt{49-{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=6$
Vậy $d\left( M;\left( Oxy \right) \right)=6$
Câu 24: Đáp án A
Đặt $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \overline{z}=a-bi$
Khi đó $3z.\overline{z}+2017\left( z-\overline{z} \right)=48-2016i\Leftrightarrow 3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+2017.2bi=48-2016i$
$\Rightarrow 3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)=48\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=4$
Câu 25: Đáp án B
Ta có: $\int\limits_{0}^{1.}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1.}{6{{x}^{2}}.f\left( {{x}^{3}} \right)dx}-\int\limits_{0}^{1.}{\frac{6}{\sqrt{3x+1}}dx}=A-B$
Đặt $t={{x}^{3}}\Rightarrow dt=3{{x}^{2}}dx,$ đổi cận $\left| \begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow t = 0\\
x = 1 \Rightarrow t = 1
\end{array} \right. \Rightarrow A = 2\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} $
Mặt khác $B=\int\limits_{0}^{1.}{\dfrac{6}{\sqrt{3x+1}}dx}=\left. 4\sqrt{3x+1} \right|_{0}^{1}=4$
Suy ra $\int\limits_{0}^{1.}{f\left( x \right)dx}=2\int\limits_{0}^{1.}{f\left( x \right)dx}-4\Rightarrow \int\limits_{0}^{1.}{f\left( x \right)dx}=4$
Câu 26: Đáp án A
Ta có: $x=1\Rightarrow y=-2\Rightarrow -2=\dfrac{1+b}{a-2}\Leftrightarrow -2a+4=b+1\Leftrightarrow 2a+b=3$
Do tiếp tuyến A song song với đường thẳng $d:3x+y-4=0$ hay $y=-3x+4$ nên
$y'\left( 1 \right) = \frac{{ - 2 - ab}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}} = - 3 \Rightarrow \frac{{ - 2 - a\left( {3 - 2a} \right)}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}} = - 3 \Leftrightarrow \frac{{ - 2{a^2} + 3a + 2}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}} = - 3 \Leftrightarrow \frac{{\left( {a - 2} \right)\left( { - 2a - 1} \right)}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}} = - 3$
$\Leftrightarrow -2a-1=-3\Leftrightarrow a=1\Rightarrow b=1\Rightarrow a-3b=-2$
Câu 27: Đáp án A
Ta có $u_{n+1}^{2}=u_{n}^{2}+2=u_{n-1}^{2}+2.2=u_{n-2}^{2}+2.3=u_{1}^{2}+2n$
Do đó $S=1001u_{1}^{2}+2\left( 0+1+2+...+1000 \right)=1001+2.\dfrac{1001.1000}{2}=1002001$
Câu 28: Đáp án D
Ta có: $d\left( B;\left( P \right) \right)\le AB$, dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow AB\bot \left( P \right)$
Khi đó $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\overrightarrow{AB}\left( 1;-1;1 \right)\Rightarrow \left( P \right):x-y+z-1=0\Rightarrow d\left( O;\left( P \right) \right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Câu 29: Đáp án B
Ta có: $y'={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+2}}\left( 3{{x}^{2}}-12x+m \right).\ln \dfrac{1}{2}=-{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+2}}\left( 3{{x}^{2}}-12x+m \right).\ln 2$
Hàm số $y={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+2}}$ luôn đồng biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)\Rightarrow y'>0\left( \forall x\in \left( 1;3 \right) \right)$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-12x+m\le 0\left( \forall x\in \left( 1;3 \right) \right)\Leftrightarrow m\le 12x-3{{x}^{2}}=g\left( x \right)\left( \forall x\in \left( 1;3 \right) \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 1;3 \right)}{\mathop{Min}}\,g\left( x \right)$
Lại có $g'\left( x \right)=12-6x\Leftrightarrow x=2\Rightarrow g\left( 2 \right)=12;\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=9$
Lập bảng biến thiên suy ra $m\le 9$ là giá trị cần tìm. Vậy có 9 giá trị nguyên dương của m.
Câu 30: Đáp án C
Ta có $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{3x+1}-2}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{3}{\sqrt{3x+1}+2}=\dfrac{3}{4},$ vì $3x-3=\left( \sqrt{3x+1}-2 \right)\left( \sqrt{3x+1}+2 \right)$
Để hàm số liên tục tại điểm ${{x}_{0}}=1\Leftrightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{4}$
Câu 31: Đáp án A
Ta có ${{2}^{x}}{{.15}^{x+1}}={{3}^{x+3}}\Leftrightarrow {{2}^{x}}{{.5}^{x+1}}={{3}^{2}}\Leftrightarrow \log \left( {{2}^{x}}{{.5}^{x+1}} \right)=\log {{3}^{2}}\Leftrightarrow x\log 2+\left( x+1 \right)\log 5=2\log 3$
$ \Leftrightarrow x\left( {\log 2 + \log 5} \right) = 2\log 3 - \log 5 \Leftrightarrow x = \frac{{2\log 3 - \log 5}}{{\log 2 + \log 5}} = 2\log 3 - \log 5 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 3\\
b = 5
\end{array} \right..$
Vậy $S=4009.$
Câu 32: Đáp án D
Ta có $y={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-mx+2m-3\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}-2mx-m;\forall x\in \mathbb{R}$
Yaau cầu bài toán $\Leftrightarrow y'>0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-2mx-m>0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow $ $\Delta '={{m}^{2}}+3m<0\Leftrightarrow -3<m<0$ mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ -2;-1 \right\}$
Câu 33: Đáp án A
Ta có ${{\sin }^{2}}2x+3\sin 2x+2=0\Leftrightarrow \left( \sin 2x+1 \right)\left( \sin 2x+2 \right)=0\Leftrightarrow \sin 2x=-1\Leftrightarrow 2x=-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi $
$\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi }{4}+k\pi $ mà $x\in \left[ 0;10\pi \right]$ suy ra $0\le -\dfrac{\pi }{4}+k\pi \le 10\pi \Leftrightarrow \dfrac{1}{4}\le k\le \dfrac{41}{4}\xrightarrow{k\in \mathbb{Z}}k=\left\{ 1;2;...;10 \right\}$
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là $T=10.\left( -\dfrac{\pi }{4} \right)+\left( 1+2+...+10 \right)\pi =\dfrac{105}{2}\pi $
Câu 34: Đáp án B
Đặt $SO'=x$. Theo định lí Talet ta có: $\dfrac{x}{h}=\dfrac{r'}{r}\left( 0<x<h \right)$
Thể tích khối trụ là $V=\pi r{{'}^{2}}\left( h-x \right)=\pi \dfrac{{{\left( xr \right)}^{2}}}{{{h}^{2}}}\left( h-x \right)=f\left( x \right)$
Ta có $f\left( x \right)=\dfrac{\pi {{r}^{2}}}{{{h}^{2}}}{{x}^{2}}\left( h-x \right)$
Cách 1. Xét $M\left( x \right)={{x}^{2}}\left( h-x \right)$
Cách 2. Ta có $M\left( x \right)=4.\dfrac{x}{2}.\dfrac{x}{2}\left( h-x \right)\le 4{{\left( \dfrac{\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}+h-x}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{4{{h}^{3}}}{27}$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{x}{2}=h-x\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}h\Rightarrow MN=h-x=\dfrac{h}{3}$
Câu 35: Đáp án D
Ta có $3C_{n+1}^{3}-3A_{n}^{2}=52\left( n-1 \right)\Leftrightarrow 3\dfrac{\left( n+1 \right)!}{\left( n-2 \right)!.3!}-3\dfrac{n!}{\left( n-2 \right)!}=52\left( n-1 \right)$
$\Leftrightarrow 3\dfrac{n\left( {{n}^{2}}-1 \right)}{2}-3n\left( n-1 \right)=52\left( n-1 \right)\Leftrightarrow {{n}^{2}}+n-6n=104\Leftrightarrow {{n}^{2}}-5n-104=0\Leftrightarrow n=13$
Khi đó ${{\left( {{x}^{3}}+2{{y}^{2}} \right)}^{n}}={{\left( {{x}^{3}}+2{{y}^{2}} \right)}^{13}}=\sum\limits_{k=0}^{13}{C_{13}^{k}{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{13-k}}.{{\left( 2{{y}^{2}} \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{13}{C_{13}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{39-3k}}.{{y}^{2k}}}$
Vì tổng số mũ của x và y bằng $34\xrightarrow{{}}39-3k+2k=34\Leftrightarrow k=5$
Vậy hệ số cần tìm ứng với $k=5\xrightarrow{{}}{{T}_{5}}=C_{13}^{5}{{2}^{5}}=41184$
Câu 36: Đáp án C
Đặt$t={{5}^{x}}\left( t>0 \right)$
Khi đó $PT\Rightarrow {{t}^{2}}-\left( m+2 \right)t+2m+1=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t+1=m\left( t-2 \right)\left( * \right)$
Rõ ràng $t=2$ không là nghiệm của phương trình
Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow m=\dfrac{{{t}^{2}}-2t+1}{t-2}=t+\dfrac{1}{t-2}=f\left( t \right)$
Xét $f\left( t \right)$ trên tập $\left( 0;2 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$ ta có:$f'\left( t \right) = 1 - \frac{1}{{{{\left( {t - 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t = 3
\end{array} \right.$
Mặt khác $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=-\dfrac{1}{2};f\left( 1 \right)=0;\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=-\infty ;\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=+\infty ;f\left( 3 \right)=2;\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=+\infty $
Lập bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi $m\in \left( -\infty ;0 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right)$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}$ và $m \in [0;2018]$ suy ra có 2018 giá trị của tham số m.
Câu 37: Đáp án C
Do góc giữa hai mặt phẳng $\left( AB'C' \right)$ và dfrac(ABC)dfrac bằng $60^\circ $
Suy ra $\left( {\widehat {(AB'C');(ABC)}} \right) = 60^\circ $
Dựng $HK\bot B'C',$ do $AH\bot B'C'\Rightarrow B'C'\bot \left( AKH \right)$
Do đó: $\widehat {AKH} = 60^\circ $
Mặt khác $B'C'=a\sqrt{3},\sin \widehat{A'B'C'}=\dfrac{A'C'}{B'C'}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
Suy ra $HK=HB'\sin \widehat{B'}=\dfrac{a}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}};AH=HK\tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Do $C'H=\sqrt{A'{{H}^{2}}+A'C{{'}^{2}}}=\dfrac{3a}{2}\Rightarrow {{r}_{HB'C'}}=\dfrac{HC'}{2\sin \widehat{HB'C'}}=\dfrac{3a\sqrt{6}}{8}$
Áp dụng công thức tính nhanh $R=\sqrt{{{r}^{2}}+\dfrac{A{{H}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{62}}{8}$
