Câu 1: Đáp án D
Ta có: $y’ = 3{x^2} – 3 Rightarrow y” = 6x,y’ = 0 Leftrightarrow x = pm 1left{ begin{array}{l}
y”left( 1 right) > 0\
y”left( { – 1} right) < 0
end{array} right. Rightarrow $
hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$. $Rightarrow $ Điểm cực tiểu $Aleft( 1;0 right)$
Câu 2: Đáp án A
Ta có $z=dfrac{left( 2-3i right)left( 4-i right)}{3+2i}=dfrac{5-14i}{3+2i}=dfrac{left( 5-14i right)left( 3-2i right)}{left( 3+2i right)left( 3-2i right)}=dfrac{-13-52i}{13}=-1-4iRightarrow left( -1;-4 right)$ là điểm biểu diễn của số phức z.
Câu 3: Đáp án C
Ta có $sin x=0Leftrightarrow {{sin }^{2}}x=0Leftrightarrow 1-co{{s}^{2}}x=0Leftrightarrow cos x=pm 1$
+) $tan x=0Leftrightarrow left{ begin{align}
& cos xne 0 \
& sin x=0 \
end{align} right.Leftrightarrow sin x=0$
Câu 4: Đáp án B
$Fleft( x right)=int{fleft( x right)}dx=int{sqrt{x}}dx=dfrac{2}{3}{{x}^{dfrac{3}{2}}}+C$ mà $Fleft( 1 right)=1Rightarrow C=dfrac{1}{3}Rightarrow Fleft( x right)=dfrac{2}{3}xsqrt{x}+dfrac{1}{3}$
Câu 5: Đáp án B
Điều kiện $xne 1$.
Phương trình hoành độ giao điểm $dfrac{2{{x}^{2}}-x+1}{x-1}=x-1$
$ Leftrightarrow 2{x^2} – x + 1 = {left( {x – 1} right)^2} Leftrightarrow {x^2} + x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0 Rightarrow y = – 1 Rightarrow Aleft( {0; – 1} right)\
x = – 1 Rightarrow y = – 2 Rightarrow Bleft( { – 1; – 2} right)
end{array} right. Rightarrow AB = sqrt 2 $
Câu 6: Đáp án B
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=dfrac{2}{3},$ tiệm cận ngang là $y=-dfrac{2}{3}Rightarrow $ $Ileft( dfrac{2}{3};-dfrac{2}{3} right)$
Câu 7: Đáp án B
Ta có $y’={{e}^{2x}}+2left( x+2 right){{e}^{2x}}=left( 2x+5 right){{e}^{2x}}$.
Câu 8: Đáp án D
Ta có ${{log }_{4}}sqrt{a}=5Leftrightarrow dfrac{1}{4}{{log }_{2}}a=5Leftrightarrow {{log }_{2}}a=20Rightarrow {{log }_{a}}2=dfrac{1}{20}$
Câu 9: Đáp án C
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại $x=2,$ cực đại tại $x=0$
Câu 10: Đáp án D
Ta có: ${{V}_{S.ABC}}=dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=dfrac{1}{3}.4.2=dfrac{8}{3}$
Câu 11: Đáp án B
Ta có $overrightarrow{u}=-2overrightarrow{a}+3overrightarrow{b}=left( -7;6;10 right)$
Câu 12: Đáp án A
Ta có $cos x + sin 2x = 0 Leftrightarrow cos x + 2sin xcos x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
cos x = 0\
sin x = – frac{1}{2}
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = frac{pi }{2} + kpi \
x = – frac{pi }{6} + k2pi \
x = frac{{7pi }}{6} + k2pi
end{array} right.$
Mà $xin left( -pi ;pi right)Rightarrow xin left{ -dfrac{pi }{2};dfrac{pi }{2};-dfrac{pi }{6};-dfrac{5pi }{6} right}$
Câu 13: Đáp án B
Ta có: ${{S}_{ABC}}=dfrac{1}{2}AB.AC=dfrac{{{a}^{2}}sqrt{5}}{2}Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=dfrac{1}{2}SA.{{S}_{ABC}}=dfrac{1}{2}asqrt{3}.dfrac{{{a}^{2}}sqrt{5}}{2}=dfrac{{{a}^{3}}sqrt{15}}{6}$
Câu 14: Đáp án A
Ta có: $left{ begin{array}{l}
BC bot AB\
BC bot SA
end{array} right. Rightarrow BC bot left( {SAB} right)$
Ta có $SCcap left( SAB right)=left{ S right};BCbot left( SAB right)$
$Rightarrow $ $widehat{left( SC;left( SAB right) right)}=widehat{left( SC,SB right)}=widehat{BSC}$
Ta có $SB=sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=asqrt{3}$
Ta có $tan widehat{BSC}=dfrac{BC}{SB}=dfrac{a}{asqrt{3}}=dfrac{1}{sqrt{3}}Rightarrow widehat{BSC}=30{}^circ $
Câu 15: Đáp án C
Mặt cầu có tâm $Jleft( 1;2;-3 right),$ bán kính $R=4$
Tâm của đường tròn là hình chiếu của J lên Oxy $Rightarrow Ileft( 1;2;0 right)$
Ta có $dleft( J;left( Oxy right) right)=3Rightarrow r=sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}left( J;left( Oxy right) right)}=sqrt{7}$
Câu 16: Đáp án C
Ta có ${{left( {{x}^{2}}+dfrac{2}{x} right)}^{7}}=sumlimits_{k=0}^{7}{C_{7}^{k}{{x}^{2k}}{{left( dfrac{2}{x} right)}^{7-k}}}=sumlimits_{k=0}^{7}{C_{7}^{k}{{x}^{7-k}}{{2}^{3k-7}}}$
Hệ số của ${{x}^{5}}$ khi $3k-7=5Leftrightarrow k=4Rightarrow $ hệ số là $C_{7}^{4}{{2}^{3}}=280$
Câu 17: Đáp án B
Vì ABCD là hình vuông $Rightarrow ABbot ADleft( 1 right)$
Ta có $left{ begin{array}{l}
left( {SAB} right) bot left( {ABCD} right)\
left( {SAC} right) bot left( {ABCD} right)
end{array} right. Rightarrow SA bot left( {ABCD} right) Rightarrow SA bot ABleft( 2 right)$
Từ (1), (2) suy ra $ABbot left( SAD right)$ $Rightarrow widehat{SB;left( SAD right)}=widehat{left( SB;SA right)}=widehat{BSA}$
Tam giác SAB vuông tại A, có $coswidehat{BSA}=dfrac{SA}{SB}=dfrac{SA}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}=dfrac{2sqrt{5}}{5}$
Câu 18: Đáp án A
ĐK: $mne 2x.$ Ta có: $y=dfrac{mx-2}{m-2x}Rightarrow y’=dfrac{{{m}^{2}}-4}{{{left( m-2x right)}^{2}}}$
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $left( {frac{1}{2}; + infty } right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m ne 2x\
frac{{{m^2} – 4}}{{{{left( {m – 2x} right)}^2}}} < 0
end{array} right.left( {forall x > frac{1}{2}} right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m le 1\
– 2 < m < 2
end{array} right.$
$Leftrightarrow -2<mle 1$
Câu 19: Đáp án D
Câu 20: Đáp án A
Ta có $z=dfrac{left( 5-i right)left( 1+i right)+i-1}{left( 1-i right)left( 2+i right)}=1+2iRightarrow text{w}=8iRightarrow left| text{w} right|=8$
Câu 21: Đáp án B
Ta có $left{ begin{array}{l}
OC bot OA\
OC bot OB
end{array} right. Rightarrow OC bot left( {OAB} right)$
Kẻ $OHbot ABRightarrow OCbot OHRightarrow dleft( AB;OC right)=OH=dfrac{OA}{sqrt{2}}=dfrac{asqrt{2}}{2}$
Câu 22: Đáp án C
Ta có $f’left( x right)>0Leftrightarrow {{x}^{2}}left( x+2 right)>0Leftrightarrow x>-2$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $left( -2;+infty right)$ và nghịch biến trên khoảng $left( -infty ;-2 right)$
Câu 23: Đáp án D
Gọi $Mleft( a;b;c right)Rightarrow dleft( M;Oxz right)=left| b right|=2;dleft( M;Oyz right)=left| a right|=3$
Do $OM=7Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=49Rightarrow left| c right|=sqrt{49-{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=6$
Vậy $dleft( M;left( Oxy right) right)=6$
Câu 24: Đáp án A
Đặt $z=a+bileft( a,bin mathbb{R} right)Rightarrow overline{z}=a-bi$
Khi đó $3z.overline{z}+2017left( z-overline{z} right)=48-2016iLeftrightarrow 3left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} right)+2017.2bi=48-2016i$
$Rightarrow 3left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} right)=48Rightarrow left| z right|=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=4$
Câu 25: Đáp án B
Ta có: $intlimits_{0}^{1.}{fleft( x right)dx}=intlimits_{0}^{1.}{6{{x}^{2}}.fleft( {{x}^{3}} right)dx}-intlimits_{0}^{1.}{frac{6}{sqrt{3x+1}}dx}=A-B$
Đặt $t={{x}^{3}}Rightarrow dt=3{{x}^{2}}dx,$ đổi cận $left| begin{array}{l}
x = 0 Rightarrow t = 0\
x = 1 Rightarrow t = 1
end{array} right. Rightarrow A = 2intlimits_0^1 {fleft( t right)dt} = 2intlimits_0^1 {fleft( x right)dx} $
Mặt khác $B=intlimits_{0}^{1.}{dfrac{6}{sqrt{3x+1}}dx}=left. 4sqrt{3x+1} right|_{0}^{1}=4$
Suy ra $intlimits_{0}^{1.}{fleft( x right)dx}=2intlimits_{0}^{1.}{fleft( x right)dx}-4Rightarrow intlimits_{0}^{1.}{fleft( x right)dx}=4$
Câu 26: Đáp án A
Ta có: $x=1Rightarrow y=-2Rightarrow -2=dfrac{1+b}{a-2}Leftrightarrow -2a+4=b+1Leftrightarrow 2a+b=3$
Do tiếp tuyến A song song với đường thẳng $d:3x+y-4=0$ hay $y=-3x+4$ nên
$y’left( 1 right) = frac{{ – 2 – ab}}{{{{left( {a – 2} right)}^2}}} = – 3 Rightarrow frac{{ – 2 – aleft( {3 – 2a} right)}}{{{{left( {a – 2} right)}^2}}} = – 3 Leftrightarrow frac{{ – 2{a^2} + 3a + 2}}{{{{left( {a – 2} right)}^2}}} = – 3 Leftrightarrow frac{{left( {a – 2} right)left( { – 2a – 1} right)}}{{{{left( {a – 2} right)}^2}}} = – 3$
$Leftrightarrow -2a-1=-3Leftrightarrow a=1Rightarrow b=1Rightarrow a-3b=-2$
Câu 27: Đáp án A
Ta có $u_{n+1}^{2}=u_{n}^{2}+2=u_{n-1}^{2}+2.2=u_{n-2}^{2}+2.3=u_{1}^{2}+2n$
Do đó $S=1001u_{1}^{2}+2left( 0+1+2+…+1000 right)=1001+2.dfrac{1001.1000}{2}=1002001$
Câu 28: Đáp án D
Ta có: $dleft( B;left( P right) right)le AB$, dấu “=” xảy ra $Leftrightarrow ABbot left( P right)$
Khi đó $overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}}=overrightarrow{AB}left( 1;-1;1 right)Rightarrow left( P right):x-y+z-1=0Rightarrow dleft( O;left( P right) right)=dfrac{1}{sqrt{3}}$
Câu 29: Đáp án B
Ta có: $y’={{left( dfrac{1}{2} right)}^{{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+2}}left( 3{{x}^{2}}-12x+m right).ln dfrac{1}{2}=-{{left( dfrac{1}{2} right)}^{{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+2}}left( 3{{x}^{2}}-12x+m right).ln 2$
Hàm số $y={{left( dfrac{1}{2} right)}^{{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+2}}$ luôn đồng biến trên khoảng $left( 1;3 right)Rightarrow y’>0left( forall xin left( 1;3 right) right)$
$Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-12x+mle 0left( forall xin left( 1;3 right) right)Leftrightarrow mle 12x-3{{x}^{2}}=gleft( x right)left( forall xin left( 1;3 right) right)Leftrightarrow mle underset{left( 1;3 right)}{mathop{Min}},gleft( x right)$
Lại có $g’left( x right)=12-6xLeftrightarrow x=2Rightarrow gleft( 2 right)=12;underset{xto 1}{mathop{lim }},gleft( x right)=underset{xto 3}{mathop{lim }},gleft( x right)=9$
Lập bảng biến thiên suy ra $mle 9$ là giá trị cần tìm. Vậy có 9 giá trị nguyên dương của m.
Câu 30: Đáp án C
Ta có $underset{xto 1}{mathop{lim }},fleft( x right)=underset{xto 1}{mathop{lim }},dfrac{sqrt{3x+1}-2}{x-1}=underset{xto 1}{mathop{lim }},dfrac{3}{sqrt{3x+1}+2}=dfrac{3}{4},$ vì $3x-3=left( sqrt{3x+1}-2 right)left( sqrt{3x+1}+2 right)$
Để hàm số liên tục tại điểm ${{x}_{0}}=1Leftrightarrow underset{xto 1}{mathop{lim }},fleft( x right)=fleft( 1 right)Leftrightarrow m=dfrac{3}{4}$
Câu 31: Đáp án A
Ta có ${{2}^{x}}{{.15}^{x+1}}={{3}^{x+3}}Leftrightarrow {{2}^{x}}{{.5}^{x+1}}={{3}^{2}}Leftrightarrow log left( {{2}^{x}}{{.5}^{x+1}} right)=log {{3}^{2}}Leftrightarrow xlog 2+left( x+1 right)log 5=2log 3$
$ Leftrightarrow xleft( {log 2 + log 5} right) = 2log 3 – log 5 Leftrightarrow x = frac{{2log 3 – log 5}}{{log 2 + log 5}} = 2log 3 – log 5 Rightarrow left{ begin{array}{l}
a = 3\
b = 5
end{array} right..$
Vậy $S=4009.$
Câu 32: Đáp án D
Ta có $y={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-mx+2m-3Rightarrow y’=3{{x}^{2}}-2mx-m;forall xin mathbb{R}$
Yaau cầu bài toán $Leftrightarrow y’>0,forall xin mathbb{R}Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-2mx-m>0,forall xin mathbb{R}$
$Leftrightarrow $ $Delta ‘={{m}^{2}}+3m<0Leftrightarrow -3<m<0$ mà $min mathbb{Z}Rightarrow m=left{ -2;-1 right}$
Câu 33: Đáp án A
Ta có ${{sin }^{2}}2x+3sin 2x+2=0Leftrightarrow left( sin 2x+1 right)left( sin 2x+2 right)=0Leftrightarrow sin 2x=-1Leftrightarrow 2x=-dfrac{pi }{2}+k2pi $
$Leftrightarrow x=-dfrac{pi }{4}+kpi $ mà $xin left[ 0;10pi right]$ suy ra $0le -dfrac{pi }{4}+kpi le 10pi Leftrightarrow dfrac{1}{4}le kle dfrac{41}{4}xrightarrow{kin mathbb{Z}}k=left{ 1;2;…;10 right}$
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là $T=10.left( -dfrac{pi }{4} right)+left( 1+2+…+10 right)pi =dfrac{105}{2}pi $
Câu 34: Đáp án B
Đặt $SO’=x$. Theo định lí Talet ta có: $dfrac{x}{h}=dfrac{r’}{r}left( 0<x<h right)$
Thể tích khối trụ là $V=pi r{{‘}^{2}}left( h-x right)=pi dfrac{{{left( xr right)}^{2}}}{{{h}^{2}}}left( h-x right)=fleft( x right)$
Ta có $fleft( x right)=dfrac{pi {{r}^{2}}}{{{h}^{2}}}{{x}^{2}}left( h-x right)$
Cách 1. Xét $Mleft( x right)={{x}^{2}}left( h-x right)$
Cách 2. Ta có $Mleft( x right)=4.dfrac{x}{2}.dfrac{x}{2}left( h-x right)le 4{{left( dfrac{dfrac{x}{2}+dfrac{x}{2}+h-x}{3} right)}^{3}}=dfrac{4{{h}^{3}}}{27}$
Dấu “=” xảy ra $Leftrightarrow dfrac{x}{2}=h-xLeftrightarrow x=dfrac{2}{3}hRightarrow MN=h-x=dfrac{h}{3}$
Câu 35: Đáp án D
Ta có $3C_{n+1}^{3}-3A_{n}^{2}=52left( n-1 right)Leftrightarrow 3dfrac{left( n+1 right)!}{left( n-2 right)!.3!}-3dfrac{n!}{left( n-2 right)!}=52left( n-1 right)$
$Leftrightarrow 3dfrac{nleft( {{n}^{2}}-1 right)}{2}-3nleft( n-1 right)=52left( n-1 right)Leftrightarrow {{n}^{2}}+n-6n=104Leftrightarrow {{n}^{2}}-5n-104=0Leftrightarrow n=13$
Khi đó ${{left( {{x}^{3}}+2{{y}^{2}} right)}^{n}}={{left( {{x}^{3}}+2{{y}^{2}} right)}^{13}}=sumlimits_{k=0}^{13}{C_{13}^{k}{{left( {{x}^{3}} right)}^{13-k}}.{{left( 2{{y}^{2}} right)}^{k}}}=sumlimits_{k=0}^{13}{C_{13}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{39-3k}}.{{y}^{2k}}}$
Vì tổng số mũ của x và y bằng $34xrightarrow{{}}39-3k+2k=34Leftrightarrow k=5$
Vậy hệ số cần tìm ứng với $k=5xrightarrow{{}}{{T}_{5}}=C_{13}^{5}{{2}^{5}}=41184$
Câu 36: Đáp án C
Đặt$t={{5}^{x}}left( t>0 right)$
Khi đó $PTRightarrow {{t}^{2}}-left( m+2 right)t+2m+1=0Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t+1=mleft( t-2 right)left( * right)$
Rõ ràng $t=2$ không là nghiệm của phương trình
Do đó $left( * right)Leftrightarrow m=dfrac{{{t}^{2}}-2t+1}{t-2}=t+dfrac{1}{t-2}=fleft( t right)$
Xét $fleft( t right)$ trên tập $left( 0;2 right)cup left( 2;+infty right)$ ta có:$f’left( t right) = 1 – frac{1}{{{{left( {t – 2} right)}^2}}} = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = 1\
t = 3
end{array} right.$
Mặt khác $underset{xto 0}{mathop{lim }},fleft( t right)=-dfrac{1}{2};fleft( 1 right)=0;underset{xto {{2}^{-}}}{mathop{lim }},fleft( t right)=-infty ;underset{xto {{2}^{+}}}{mathop{lim }},fleft( t right)=+infty ;fleft( 3 right)=2;underset{xto +infty }{mathop{lim }},fleft( t right)=+infty $
Lập bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi $min left( -infty ;0 right]cup left[ 2;+infty right)$
Kết hợp $min mathbb{Z}$ và $m in [0;2018]$ suy ra có 2018 giá trị của tham số m.
Câu 37: Đáp án C
Do góc giữa hai mặt phẳng $left( AB’C’ right)$ và dfrac(ABC)dfrac bằng $60^circ $
Suy ra $left( {widehat {(AB’C’);(ABC)}} right) = 60^circ $
Dựng $HKbot B’C’,$ do $AHbot B’C’Rightarrow B’C’bot left( AKH right)$
Do đó: $widehat {AKH} = 60^circ $
Mặt khác $B’C’=asqrt{3},sin widehat{A’B’C’}=dfrac{A’C’}{B’C’}=sqrt{dfrac{2}{3}}$
Suy ra $HK=HB’sin widehat{B’}=dfrac{a}{2}sqrt{dfrac{2}{3}};AH=HKtan 60{}^circ =dfrac{asqrt{2}}{2}$
Do $C’H=sqrt{A'{{H}^{2}}+A’C{{‘}^{2}}}=dfrac{3a}{2}Rightarrow {{r}_{HB’C’}}=dfrac{HC’}{2sin widehat{HB’C’}}=dfrac{3asqrt{6}}{8}$
Áp dụng công thức tính nhanh $R=sqrt{{{r}^{2}}+dfrac{A{{H}^{2}}}{4}}=dfrac{asqrt{62}}{8}$
