Câu 37: Đáp án A
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {{n_p}} (1;2;1),\overrightarrow {{u_d}} (2;1;3) = \left[ {\overrightarrow {{n_p}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = (5; - 1; - 3)\\
M \in d \Rightarrow M( - 1 + 2t;t; - 2 + 3t)
\end{array}$
$\begin{array}{l}
M \in (P) \Rightarrow - 1 + 2t + 2t - 2 + 3t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M(1;1;1)\\
\Rightarrow \Delta :\frac{{x - 1}}{5} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{{ - 3}}
\end{array}$
Câu 38: Đáp án D
$6303268125={{3}^{5}}{{.5}^{4}}{{.7}^{3}}{{.11}^{2}}$
Suy ra số ước nguyên là: $2.(5+1)(4+1)(3+1)(2+1)=720$
Câu 39: Đáp án C
Vì số tự nhiên đó gồm có 3 chữ số chẵn và số đứng sau lớn hơn số đứng trước nên trong số tự nhiên đó không chứa số 0
Với mỗi bộ gồm 7 chữ số ta đều sắp xếp được chúng thành một dãy tăng dần
Vậy số cách lập số tự nhiên thỏa mãn đề bài là: $C_{4}^{3}.C_{5}^{4}=20$
$\begin{array}{l}
SM = \frac{{MB}}{{\tan {{60}^0}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\\
IG = x \Rightarrow JM = IG = x \Rightarrow SI = \sqrt {\frac{1}{{12}} + {{(\frac{{\sqrt 3 }}{6} + x)}^2}} ,IA = \sqrt {\frac{1}{3} + {x^2}}
\end{array}$
$\begin{array}{l}
SI = IA \Rightarrow {x^2} + \frac{1}{4} = ({x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}x + \frac{1}{{12}}) \Rightarrow x = \frac{1}{{2\sqrt 3 }} \Rightarrow R = \sqrt {\frac{5}{{12}}} \\
V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{5\sqrt {15\pi } }}{{54}}
\end{array}$
Câu 41: Đáp án C
$\begin{array}{l}
x + y = 3 \Rightarrow y = 3 - x \ge 1 \Rightarrow x \le 2 \Rightarrow 0 \le x \le 2\\
P = {x^3} + 2{(3 - x)^2} + 3{x^2} + 4x(3 - x) - 5x = {x^3} + {x^2} - 5x + 18\\
P' = 3{x^2} + 2x - 5
\end{array}$
$\begin{array}{l}
P' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = - \frac{5}{3}
\end{array} \right.\\
P(0) = 18,P(1) = 15,P(2) = 20
\end{array}$
Câu 42: Đáp án D
$\begin{array}{l}
y' = 3a{x^2} + 2bx + c\\
(0;0),(1; - 1),(2;0) \in y' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c = 0\\
3a + 2b = - 1\\
12a + 4b = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{1}{3}\\
b = - 1\\
c = 0
\end{array} \right.
\end{array}$
$f(x)$ tiếp xúc với trục hoành tại ${{x}_{o}}>0$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow f'({x_o}) = 0 \Rightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\,\,(L)\\
x = 2
\end{array} \right. \Rightarrow f(2) = 0 \Rightarrow d = \frac{4}{3}\\
\Rightarrow y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + \frac{4}{3}
\end{array}$
Câu 43: Đáp án D
$\begin{array}{l}
(P)//(Q) \Rightarrow (P):x + y + z + d = 0,(d \ne 3)\\
d(M;(P)) = \frac{{\left| {d + 6} \right|}}{{\sqrt 3 }} = 3\sqrt 3 \Rightarrow \left| {d + 6} \right| = 9 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
d = 3\,\,(L)\\
d = - 15
\end{array} \right.
\end{array}$
$\begin{array}{l}
(P):x + y + z - 15 = 0\\
X(a;b;c) \in (P) \Rightarrow a + b + c - 15 = 0 \Rightarrow a + b + c = 15 > - 2\,\,(L)
\end{array}$
Câu 44: Đáp án D
Tồn tại 5 mặt phẳng thỏa mãn đề bài là:
- Mp đi qua trung điểm AD,BC,SC,SD
- Mp đi qua trung điểm CD,AB,SC,SB
- Mp đi qua trung điểm AD,BC,SB,SA
- Mp đi qua trung điểm CD,AB,SA,SD
- Mp đi qua trung điểm SA,SB,SC,SD
Câu 45: Đáp án C
$\left\{ \begin{array}{l}
f(x) + 2f(\frac{1}{x}) = 3x\\
f(\frac{1}{x}) + 2f(x) = \frac{3}{x}
\end{array} \right. \Rightarrow f(x) = \frac{{2 - {x^2}}}{x}$
$ \Rightarrow I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{2 - {x^2}}}{{{x^2}}}dx = } \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {( - 1 + \frac{2}{{{x^2}}})dx = } ( - x - \frac{2}{x})\left| \begin{array}{l}
2\\
\frac{1}{2}
\end{array} \right. = \frac{3}{2}$
Câu 46: Đáp án B
$\begin{array}{l}
m{.3^{x + 1}} + (3m + 2){(4 - \sqrt 7 )^x} + {(4 + \sqrt 7 )^x} > 0\\
\Leftrightarrow 3m + (3m + 2){(\frac{{4 - \sqrt 7 }}{3})^x} + {(\frac{{4 + \sqrt 7 }}{3})^x} > 0\\
{(\frac{{4 - \sqrt 7 }}{3})^x} = t \Rightarrow {(\frac{{4 + \sqrt 7 }}{3})^x} = \frac{1}{t},(t > 1)
\end{array}$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow 3m + (3m + 2)t + \frac{1}{t} > 0 \Leftrightarrow \frac{{(3m + 2){t^2} + 3mt + 1}}{t} > 0\\
\Rightarrow (3m + 2){t^2} + 3mt + 1 > 0 \Rightarrow m > \frac{{ - 2{t^2} - 1}}{{3({t^2} + t)}}\,\,\forall t > 1\\
\cdot f(t) = \frac{{ - 2{t^2} - 1}}{{3({t^2} + t)}}\,\, \Rightarrow f'(t) = \frac{{ - 6{t^2} + 6t + 3}}{{9{{({t^2} + t)}^2}}}
\end{array}$
$\begin{array}{l}
f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{1 \pm \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow t = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}\\
f(\frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}) = \frac{{2 - 2\sqrt 3 }}{3} = \mathop {{\rm{max}}}\limits_{t > 1} f(t)\\
\Rightarrow m > \frac{{2 - 2\sqrt 3 }}{3}
\end{array}$
Câu 47: Đáp án C
Dựng hình chóp SA’B’C’ sao cho A là trung điểm A’B’, B là trung điểm B’C’, C là trung điểm A’C’.
$\Rightarrow SA=\dfrac{1}{2}A'B',SB=\dfrac{1}{2}B'C',SC=\dfrac{1}{2}A'C'$
Suy ra SA’,SB’,SC’ đôi một vuông góc với nhau
$\begin{array}{l}
{V_{SA'B'C'}} = \frac{1}{3}.SA'.\frac{1}{2}.SB'.SC' = \frac{{\sqrt 2 }}{3}xyz\\
{V_{SABC}} = \frac{1}{4}.{V_{SA'B'C'}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{12}}xyz
\end{array}$
$\begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 3\sqrt[3]{{{x^2}{y^2}{z^2}}} \Rightarrow 12 \ge 3\sqrt[3]{{{x^2}{y^2}{z^2}}} \Rightarrow xyz \le 8\\
\Rightarrow {V_{SABC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{12}}xyz \le \frac{{\sqrt 2 }}{{12}}.8 = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}
\end{array}$
Câu 48: Đáp án C
$\begin{array}{l}
{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + \sqrt {{\rm{cosx + m}}} = m\\
\cdot f(x) = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + \sqrt {{\rm{cosx + m}}} \\
f'(x) = - 2\cos x\sin x + \frac{{ - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{2\sqrt {{\rm{cosx + m}}} }} = \frac{{ - 4\sin x\cos x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{2\sqrt {{\rm{cosx + m}}} }}\\
f'(x) = 0 \Leftrightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = 0 \Leftrightarrow x = k\pi
\end{array}$
$\begin{array}{l}
f(0) = \sqrt {m + 1} + 1,f(\pi ) = \sqrt {m - 1} + 1\\
\Rightarrow \sqrt {m - 1} + 1 \le m \le \sqrt {m + 1} + 1\\
\cdot \sqrt {m - 1} + 1 \le m \Leftrightarrow \sqrt {m - 1} \le m - 1\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m - 1 \ge 0\\
m - 1 \le {(m - 1)^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ge 1\\
(m - 1)(m - 2) \ge 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m \ge 2
\end{array} \right.
\end{array}$
$\begin{array}{l}
\cdot m \le \sqrt {m + 1} + 1 \Rightarrow m - 1 \le \sqrt {m + 1} \\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m - 1 \le 0\\
m + 1 \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
m - 1 \ge 0\\
{(m - 1)^2} \le m + 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- 1 \le m \le 1\\
\left\{ \begin{array}{l}
m \ge 1\\
{m^2} - 3m \le 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- 1 \le m \le 1\\
\left\{ \begin{array}{l}
m \ge 1\\
0 \le m \le 3
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
2 \le m \le 3
\end{array} \right. \Rightarrow m = 1;2;3
\end{array}$
Câu 49: Đáp án
Gọi M,N,P,Q,H,R lần lượt là trung điểm của SA,SC,BC,AB,AC,SB
$\begin{array}{l}
\frac{{{V_{SMNR}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SC}}.\frac{{SR}}{{SB}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8} \Rightarrow {V_{SMNR}} = \frac{1}{8}{V_{SABC}}\\
\Rightarrow {V_{AMNH}} = {V_{BPQR}} = {V_{CNPR}} = \frac{1}{8}{V_{SABC}}\\
\Rightarrow V' = V - 4.\frac{1}{8}.V = \frac{1}{2}V
\end{array}$
Câu 50: Đáp án B
Ta có $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{1-x}=\dfrac{{{x}^{2}}-1+1}{1-x}=-1-x+\dfrac{1}{1-x}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=-1+\dfrac{1}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}=-1+{{\left( 1-x \right)}^{-2}}.$
Suy ra ${f}''\left( x \right)=2.{{\left( 1-x \right)}^{-3}}=2!.{{\left( 1-x \right)}^{-3}}\Rightarrow {f}'''\left( x \right)=2.3.{{\left( 1-x \right)}^{-4}}=3!.{{\left( 1-x \right)}^{-4}}.$
Vậy ${{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)=30!.{{\left( 1-x \right)}^{-31}}.$
