Câu 37: Đáp án A
$begin{array}{l}
overrightarrow {{n_p}} (1;2;1),overrightarrow {{u_d}} (2;1;3) = left[ {overrightarrow {{n_p}} ,overrightarrow {{u_d}} } right] = (5; – 1; – 3)\
M in d Rightarrow M( – 1 + 2t;t; – 2 + 3t)
end{array}$
$begin{array}{l}
M in (P) Rightarrow – 1 + 2t + 2t – 2 + 3t – 4 = 0 Leftrightarrow t = 1 Rightarrow M(1;1;1)\
Rightarrow Delta :frac{{x – 1}}{5} = frac{{y – 1}}{{ – 1}} = frac{{z + 2}}{{ – 3}}
end{array}$
Câu 38: Đáp án D
$6303268125={{3}^{5}}{{.5}^{4}}{{.7}^{3}}{{.11}^{2}}$
Suy ra số ước nguyên là: $2.(5+1)(4+1)(3+1)(2+1)=720$
Câu 39: Đáp án C
Vì số tự nhiên đó gồm có 3 chữ số chẵn và số đứng sau lớn hơn số đứng trước nên trong số tự nhiên đó không chứa số 0
Với mỗi bộ gồm 7 chữ số ta đều sắp xếp được chúng thành một dãy tăng dần
Vậy số cách lập số tự nhiên thỏa mãn đề bài là: $C_{4}^{3}.C_{5}^{4}=20$
$begin{array}{l}
SM = frac{{MB}}{{tan {{60}^0}}} = frac{{sqrt 3 }}{6}\
IG = x Rightarrow JM = IG = x Rightarrow SI = sqrt {frac{1}{{12}} + {{(frac{{sqrt 3 }}{6} + x)}^2}} ,IA = sqrt {frac{1}{3} + {x^2}}
end{array}$
$begin{array}{l}
SI = IA Rightarrow {x^2} + frac{1}{4} = ({x^2} + frac{{sqrt 3 }}{3}x + frac{1}{{12}}) Rightarrow x = frac{1}{{2sqrt 3 }} Rightarrow R = sqrt {frac{5}{{12}}} \
V = frac{4}{3}pi {R^3} = frac{{5sqrt {15pi } }}{{54}}
end{array}$
Câu 41: Đáp án C
$begin{array}{l}
x + y = 3 Rightarrow y = 3 – x ge 1 Rightarrow x le 2 Rightarrow 0 le x le 2\
P = {x^3} + 2{(3 – x)^2} + 3{x^2} + 4x(3 – x) – 5x = {x^3} + {x^2} – 5x + 18\
P’ = 3{x^2} + 2x – 5
end{array}$
$begin{array}{l}
P’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1\
x = – frac{5}{3}
end{array} right.\
P(0) = 18,P(1) = 15,P(2) = 20
end{array}$
Câu 42: Đáp án D
$begin{array}{l}
y’ = 3a{x^2} + 2bx + c\
(0;0),(1; – 1),(2;0) in y’ Rightarrow left{ begin{array}{l}
c = 0\
3a + 2b = – 1\
12a + 4b = 0
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
a = frac{1}{3}\
b = – 1\
c = 0
end{array} right.
end{array}$
$f(x)$ tiếp xúc với trục hoành tại ${{x}_{o}}>0$
$begin{array}{l}
Rightarrow f'({x_o}) = 0 Rightarrow {x^2} – 2x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0,,(L)\
x = 2
end{array} right. Rightarrow f(2) = 0 Rightarrow d = frac{4}{3}\
Rightarrow y = frac{1}{3}{x^3} – {x^2} + frac{4}{3}
end{array}$
Câu 43: Đáp án D
$begin{array}{l}
(P)//(Q) Rightarrow (P):x + y + z + d = 0,(d ne 3)\
d(M;(P)) = frac{{left| {d + 6} right|}}{{sqrt 3 }} = 3sqrt 3 Rightarrow left| {d + 6} right| = 9 Rightarrow left[ begin{array}{l}
d = 3,,(L)\
d = – 15
end{array} right.
end{array}$
$begin{array}{l}
(P):x + y + z – 15 = 0\
X(a;b;c) in (P) Rightarrow a + b + c – 15 = 0 Rightarrow a + b + c = 15 > – 2,,(L)
end{array}$
Câu 44: Đáp án D
Tồn tại 5 mặt phẳng thỏa mãn đề bài là:
- Mp đi qua trung điểm AD,BC,SC,SD
- Mp đi qua trung điểm CD,AB,SC,SB
- Mp đi qua trung điểm AD,BC,SB,SA
- Mp đi qua trung điểm CD,AB,SA,SD
- Mp đi qua trung điểm SA,SB,SC,SD
Câu 45: Đáp án C
$left{ begin{array}{l}
f(x) + 2f(frac{1}{x}) = 3x\
f(frac{1}{x}) + 2f(x) = frac{3}{x}
end{array} right. Rightarrow f(x) = frac{{2 – {x^2}}}{x}$
$ Rightarrow I = intlimits_{frac{1}{2}}^2 {frac{{2 – {x^2}}}{{{x^2}}}dx = } intlimits_{frac{1}{2}}^2 {( – 1 + frac{2}{{{x^2}}})dx = } ( – x – frac{2}{x})left| begin{array}{l}
2\
frac{1}{2}
end{array} right. = frac{3}{2}$
Câu 46: Đáp án B
$begin{array}{l}
m{.3^{x + 1}} + (3m + 2){(4 – sqrt 7 )^x} + {(4 + sqrt 7 )^x} > 0\
Leftrightarrow 3m + (3m + 2){(frac{{4 – sqrt 7 }}{3})^x} + {(frac{{4 + sqrt 7 }}{3})^x} > 0\
{(frac{{4 – sqrt 7 }}{3})^x} = t Rightarrow {(frac{{4 + sqrt 7 }}{3})^x} = frac{1}{t},(t > 1)
end{array}$
$begin{array}{l}
Rightarrow 3m + (3m + 2)t + frac{1}{t} > 0 Leftrightarrow frac{{(3m + 2){t^2} + 3mt + 1}}{t} > 0\
Rightarrow (3m + 2){t^2} + 3mt + 1 > 0 Rightarrow m > frac{{ – 2{t^2} – 1}}{{3({t^2} + t)}},,forall t > 1\
cdot f(t) = frac{{ – 2{t^2} – 1}}{{3({t^2} + t)}},, Rightarrow f'(t) = frac{{ – 6{t^2} + 6t + 3}}{{9{{({t^2} + t)}^2}}}
end{array}$
$begin{array}{l}
f'(t) = 0 Leftrightarrow t = frac{{1 pm sqrt 3 }}{2} Rightarrow t = frac{{1 + sqrt 3 }}{2}\
f(frac{{1 + sqrt 3 }}{2}) = frac{{2 – 2sqrt 3 }}{3} = mathop {{rm{max}}}limits_{t > 1} f(t)\
Rightarrow m > frac{{2 – 2sqrt 3 }}{3}
end{array}$
Câu 47: Đáp án C
Dựng hình chóp SA’B’C’ sao cho A là trung điểm A’B’, B là trung điểm B’C’, C là trung điểm A’C’.
$Rightarrow SA=dfrac{1}{2}A’B’,SB=dfrac{1}{2}B’C’,SC=dfrac{1}{2}A’C’$
Suy ra SA’,SB’,SC’ đôi một vuông góc với nhau
$begin{array}{l}
{V_{SA’B’C’}} = frac{1}{3}.SA’.frac{1}{2}.SB’.SC’ = frac{{sqrt 2 }}{3}xyz\
{V_{SABC}} = frac{1}{4}.{V_{SA’B’C’}} = frac{{sqrt 2 }}{{12}}xyz
end{array}$
$begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + {z^2} ge 3sqrt[3]{{{x^2}{y^2}{z^2}}} Rightarrow 12 ge 3sqrt[3]{{{x^2}{y^2}{z^2}}} Rightarrow xyz le 8\
Rightarrow {V_{SABC}} = frac{{sqrt 2 }}{{12}}xyz le frac{{sqrt 2 }}{{12}}.8 = frac{{2sqrt 2 }}{3}
end{array}$
Câu 48: Đáp án C
$begin{array}{l}
{rm{co}}{{rm{s}}^2}x + sqrt {{rm{cosx + m}}} = m\
cdot f(x) = {rm{co}}{{rm{s}}^2}x + sqrt {{rm{cosx + m}}} \
f'(x) = – 2cos xsin x + frac{{ – {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}}}{{2sqrt {{rm{cosx + m}}} }} = frac{{ – 4sin xcos x – {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}}}{{2sqrt {{rm{cosx + m}}} }}\
f'(x) = 0 Leftrightarrow {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} = 0 Leftrightarrow x = kpi
end{array}$
$begin{array}{l}
f(0) = sqrt {m + 1} + 1,f(pi ) = sqrt {m – 1} + 1\
Rightarrow sqrt {m – 1} + 1 le m le sqrt {m + 1} + 1\
cdot sqrt {m – 1} + 1 le m Leftrightarrow sqrt {m – 1} le m – 1\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m – 1 ge 0\
m – 1 le {(m – 1)^2}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m ge 1\
(m – 1)(m – 2) ge 0
end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l}
m = 1\
m ge 2
end{array} right.
end{array}$
$begin{array}{l}
cdot m le sqrt {m + 1} + 1 Rightarrow m – 1 le sqrt {m + 1} \
Rightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
m – 1 le 0\
m + 1 ge 0
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
m – 1 ge 0\
{(m – 1)^2} le m + 1
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
– 1 le m le 1\
left{ begin{array}{l}
m ge 1\
{m^2} – 3m le 0
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
– 1 le m le 1\
left{ begin{array}{l}
m ge 1\
0 le m le 3
end{array} right.
end{array} right.\
Rightarrow left[ begin{array}{l}
m = 1\
2 le m le 3
end{array} right. Rightarrow m = 1;2;3
end{array}$
Câu 49: Đáp án
Gọi M,N,P,Q,H,R lần lượt là trung điểm của SA,SC,BC,AB,AC,SB
$begin{array}{l}
frac{{{V_{SMNR}}}}{{{V_{SABC}}}} = frac{{SM}}{{SA}}.frac{{SN}}{{SC}}.frac{{SR}}{{SB}} = frac{1}{2}.frac{1}{2}.frac{1}{2} = frac{1}{8} Rightarrow {V_{SMNR}} = frac{1}{8}{V_{SABC}}\
Rightarrow {V_{AMNH}} = {V_{BPQR}} = {V_{CNPR}} = frac{1}{8}{V_{SABC}}\
Rightarrow V’ = V – 4.frac{1}{8}.V = frac{1}{2}V
end{array}$
Câu 50: Đáp án B
Ta có $fleft( x right)=dfrac{{{x}^{2}}}{1-x}=dfrac{{{x}^{2}}-1+1}{1-x}=-1-x+dfrac{1}{1-x}Rightarrow {f}’left( x right)=-1+dfrac{1}{{{left( 1-x right)}^{2}}}=-1+{{left( 1-x right)}^{-2}}.$
Suy ra ${f}”left( x right)=2.{{left( 1-x right)}^{-3}}=2!.{{left( 1-x right)}^{-3}}Rightarrow {f}”’left( x right)=2.3.{{left( 1-x right)}^{-4}}=3!.{{left( 1-x right)}^{-4}}.$
Vậy ${{f}^{left( 30 right)}}left( x right)=30!.{{left( 1-x right)}^{-31}}.$
