LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án A
Đồ thị hàm số $y=\dfrac{2018}{x-2}$ có 1 tiệm cận đứng: $x=2$ và 1 tiệm cận ngang $y=0$
Câu 2: Đáp án A
Mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-2y+4z-3=0$ có tâm $I\left( -1;1;-2 \right)$ và
bán kính $R=3.$
Gọi O là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P)
$\Rightarrow IO=d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| -2-2-2 \right|}{\sqrt{4+4+1}}=2,$ vậy thiết diện của mặt cầu (S) cắt bởi mặt phẳng $\left( P \right)$ là hình tròn có bán kính: $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{O}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}-{{2}^{2}}}=\sqrt{5},$ diện tích hình tròn là: $\pi {{r}^{2}}=5\pi $
Câu 3: Đáp án C
Giả sử thiết diện qua trục hình nón là DABC như hình vẽ. Vì DABC cân tại A, góc ở đáy bằng $45{}^\circ $ nên DABC vuông cân tại A. Gọi O là tâm của đáy $\Rightarrow OA=OB=OC=a,$ vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón, bán kính bằng $a\Rightarrow $ thể tích mặt cầu bằng: $\dfrac{4}{3}\pi {{a}^{3}}$
Câu 4: Đáp án B
Tính $\int\limits_{0}^{3}{x\ln \left( {{x}^{2}}+16 \right)dx}$,
${x^2} + 16 = t \Rightarrow xdx = \frac{{dt}}{2},\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0 \Rightarrow t = 16}\\
{x = 3 \Rightarrow t = 25}
\end{array}} \right. \Rightarrow $
$\int\limits_{0}^{3}{x\ln \left( {{x}^{2}}+16 \right)dx}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{16}^{25}{\ln t.dt}$
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln t\\
dv = dt
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{dt}}{t}\\
v = t
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{1}{2}\int\limits_{16}^{25} {\ln t.dt} = \frac{1}{2}\left( {\left. {t.\ln t} \right|_{16}^{25} - \int\limits_{16}^{25} {dt} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\left. {25\ln 25 - 16\ln 16 - t} \right|_{16}^{25}} \right) = 25\ln 5 - 32\ln 2 - \frac{9}{2}\]
$ \Rightarrow a = 25;b = - 32,c = - 9 \Rightarrow T = a + b + c = - 16$
Câu 5: Đáp án A
Đồ thị hàm số là đường liền nét đi lên từ trái qua phải trên khoảng $\left( 0;2 \right)\Rightarrow $ hàm số đồng biến trên $\left( 0;2 \right)$
Câu 6: Đáp án B
$\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\left( 1;2;-1 \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của AB. $I(2;1;0)$ là trung điểm của AB, khi đó phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là $x-2+2\left( y-1 \right)-z=0\Leftrightarrow x+2y-z-4=0$
Câu 7: Đáp án C
Gọi H là hình chiếu của M trên $\left( P \right)\Rightarrow MH$ là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P). Đường thẳng D có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;1;3),$ mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\left( 1;1;-2 \right)$
Khi đó: $\cos HMA=\left| \cos \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{n} \right) \right|=\dfrac{\left| 1.2+1.1-2.3 \right|}{\sqrt{1+1+4}.\sqrt{4+1+9}}=\dfrac{3}{\sqrt{84}}$
Tam giác MHA vuông tại H$\Rightarrow \cos HMA=\dfrac{MH}{MA}\Rightarrow MH=MA.\cos HMA=\sqrt{84}.\dfrac{3}{\sqrt{84}}=3$
Câu 8: Đáp án B
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0\\
x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\\
\sqrt x = x - 2 \Leftrightarrow x = 4\left( {x \ge 0} \right)
\end{array} \right..$
Thể tích vật thể tròn xoay cần tính là: $V=\pi \int\limits_{0}^{2}{{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}dx}+\pi \int\limits_{2}^{4}{\left[ {{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}-{{\left( x-2 \right)}^{2}} \right]dx=\frac{16\pi }{3}}$
Câu 9: Đáp án C
Số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $A_{6}^{4}=360$ số
Câu 10: Đáp án A
${3^{2x + 8}} - {4.3^{x + 5}} + 27 = 0 \Leftrightarrow {3^{2\left( {x + 4} \right)}} - {12.3^{x + 4}} - 27 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{3^{x + 4}} = 3\\
{3^{x + 4}} = 9
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 3\\
x = - 2
\end{array} \right.$
Vậy tổng các nghiệm của phương trình trên là $\left( -3 \right)+\left( -2 \right)=-5$
Câu 11: Đáp án C
${{\log }_{a}}{{x}^{2}}=2{{\log }_{a}}x,\forall x>0$
Câu 12: Đáp án B
$AB//CD\Rightarrow AB//\left( SCD \right)\Rightarrow d\left( B;\left( SCD \right) \right)=d\left( AB;\left( SCD \right) \right)=d\left( A;\left( SCD \right) \right)$
Dựng $AH\bot SD$ (1)
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
AD \bot CD\\
SA \bot CD \subset \left( {ABCD} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AH\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) $\Rightarrow AH\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SCD \right) \right)=AH$
Xét $\Delta SAD$ vuông tại A có $SA=a\sqrt{3},AD=a\Rightarrow \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}$
$\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Câu 13: Đáp án C
Cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ với số hạng đầu ${{u}_{1}},$ công sai d có số hạng tổng quát là ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d,$
Câu 14: Đáp án D
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \dfrac{4{{x}^{2}}-3x+1}{2x+1}-ax-b \right)=0\Leftrightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 2x-\dfrac{5}{2}+\dfrac{7}{2\left( 2x+1 \right)}-ax-b \right)=0$
$\Leftrightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \left( 2-a \right)x-\left( \dfrac{5}{2}+b \right)+\dfrac{7}{2\left( 2x+1 \right)} \right)=0$ mà $\Leftrightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{7}{2\left( 2x+1 \right)}=0$
$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\left( {2 - a} \right)x - \left( {\frac{5}{2} + b} \right) + \frac{7}{{2\left( {2x + 1} \right)}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2 - a = 0\\
\frac{5}{2} + b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = - \frac{5}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow a + 2b = - 3$
Câu 15: Đáp án B
Mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=11$ có tâm $I(1;-1;0),$ bán kính $R=\sqrt{11}.$
Các đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right),\left( {{d}_{2}} \right)$ có vectơ chỉ phương lần lượt là: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;1;2 \right),\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;2;1 \right)$
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ song song với $\left( {{d}_{1}} \right),\left( {{d}_{2}} \right)$có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( 3;-1;-1 \right)$ $\left( \alpha \right)$ có dạng: $\left( \alpha \right):3x-y-z+d=0.$ Vì $\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với (S ) nên: $d\left( I;\left( \alpha \right) \right)=R$
$ \Rightarrow \frac{{\left| {3 + 1 + d} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt {11} \; \Leftrightarrow \left| {4 + d} \right| = 11 \Leftrightarrow 4 + d = \; \pm 11$$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{d = \; - 7}\\
{d = 15}
\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {\alpha \;} \right):3x - y - z - 7 = 0}\\
{\left( {\alpha \;} \right):3x - y - z + 15 = 0}
\end{array}} \right.$
Nhận thấy điểm $A\left( 5;-11 \right)\in {{d}_{1}}$ cũng thuộc vào mặt phẳng $3x-y-z+15=0\Rightarrow$ mặt phẳng này chứa ${{d}_{1}}.$
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $\left( \alpha \right):3x-y-z-7=0$
Câu 16: Đáp án C
Điều kiện: $2x-1>0\Leftrightarrow x>\dfrac{1}{2},$ vậy TXĐ của hàm số là $D=\left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$
Câu 17: Đáp án D
Kiến thức: Chóp tam giác có 3 cạnh bên đôi một vuông góc với nhau thì hình chiếu của đỉnh trên mặt đáy trùng với trực tâm của đáy.
Chóp O.ABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, $M(2;1;5)$ là trực tâm $\Delta ABC.$
$\Rightarrow OM\bot \left( ABC \right)\equiv \left( P \right),$ vậy (P) nhận $\overrightarrow{OM}=(2;1;5)$ làm một vectơ pháp tuyến. $\Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng (P) là: $2\left( x-2 \right)+y-1+5\left( z-5 \right)=0\Leftrightarrow 2x+y+5z-30=0$
Vậy $d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2+2+15-30 \right|}{\sqrt{4+1+25}}=\dfrac{11\sqrt{30}}{30}$
Câu 18: Đáp án A
Đặt $t = {z^2} \Rightarrow {t^2} + 3t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt 7 }}{2}i\\
t = - \frac{3}{2} - \frac{{\sqrt 7 }}{2}i
\end{array} \right.$
Vậy $T = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_3}} \right|^2} + {\left| {{z_4}} \right|^2} = 2\left| { - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt 7 }}{2}i} \right| + 2\left| { - \frac{3}{2} - \frac{{\sqrt 7 }}{2}i} \right| = 8$
Câu 19: Đáp án B
$y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y' = {x^2} - 4x + 3\\
y'' = 2x - 4
\end{array} \right..y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 3
\end{array} \right.$
$y''\left( 3 \right)=2.3-4=2>0\Rightarrow x=3$ là điểm cực tiểu của hàm số.
Câu 20: Đáp án D
$\int{kf\left( x \right)dx}=k\int{f\left( x \right)dx}\Leftrightarrow k\ne 0$
Câu 21: Đáp án A
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
x - 3 > 0
\end{array} \right. \Rightarrow x > 3$
${\log _2}x + {\log _2}\left( {x - 3} \right) = 2 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x\left( {x - 3} \right)} \right) = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 4\left( {tm} \right)
\end{array} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=4$
Câu 22: Đáp án C
$\left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
- \sqrt 3 > - \sqrt 5
\end{array} \right. \Rightarrow {a^{ - \sqrt 3 }} > {a^{ - \sqrt 5 }} \Leftrightarrow {a^{ - \sqrt 3 }} > \frac{1}{{{a^{\sqrt 5 }}}}$
Câu 23: Đáp án A
Hàm $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ có TCN là đường $y=\dfrac{a}{c}\Rightarrow y=\dfrac{x-1}{-3x+2}$ có TCN là đường $y=-\dfrac{1}{3}$
Câu 24: Đáp án D
Phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{x+1}{x-2}=-2x+m\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-\left( m+3 \right)x+2m+1=0\left( x\ne 2 \right)$
Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm m để phương trình $2{{x}^{2}}-\left( m+3 \right)x+2m+1=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 2
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta = {\left( {m + 3} \right)^2} - 8\left( {2m + 1} \right) > 0\\
{2.2^2} - 2\left( {m + 3} \right) + 2m + 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - 10m + 1 > 0\\
3 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} - 10m + 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 5 + 2\sqrt 6 \\
m < 5 - 2\sqrt 6
\end{array} \right.$
Câu 25: Đáp án D
Nhận thấy: $y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2=-\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1 \right)-1=-{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}-1\le -1<0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Rightarrow $ Đồ thị hàm số $y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2$ nằm phía dưới trục hoành.
Câu 26: Đáp án D
Bán kính đáy hình trụ bằng 2a. Mặt phẳng đi qua trục cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông Þ Chiều cao của hình trụ bằng đường kính đáy $=4a.$ Thế tích khối trụ là: $\pi {{\left( 2a \right)}^{2}}.4a=16\pi {{a}^{3}}$
Câu 27: Đáp án A
Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm $\Rightarrow $ để đạt được 6 điểm, thí sinh đó phải trả lời đúng $\dfrac{6}{0,2}=30$ câu
Xác suất trả lời đúng một câu là $\dfrac{1}{4}=0,25,$ xác suất trả lời sai một câu là $\dfrac{3}{4}=0,75$
Có $C_{50}^{30}$cách trả lời đúng 30 trong 50 câu, 20 câu còn lại đương nhiên trả lời sai.
Vậy xác suất để thí sinh đó đạt 6 điểm sẽ là: $0,{{25}^{30}}.0,{{75}^{20}}.C_{50}^{30}=0,{{25}^{30}}.0,{{75}^{20}}.C_{50}^{20}$
