Câu 1: Đáp án A.
Vì $-1\le \cos x\le 1\text{ }\forall x$ nên điều kiện: $\cos x\ne 1\Leftrightarrow x\ne k2\pi $
Câu 2: Đáp án D.
Chọn D vì có nghiệm $x=\dfrac{\pi }{4}$ và $x=\dfrac{3\pi }{4}\in \left( 0;\pi \right)$
Câu 3: Đáp án A.
Điều kiện: $x\ne k\dfrac{\pi }{2}$
Phương trình $\Leftrightarrow \sqrt{2}\left( \sin x+\cos x \right)=\dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{\cos x}{\sin x}$
$\Leftrightarrow \sqrt{2}\left( \sin x+\cos x \right)=\dfrac{1}{sinx.\cos x}$
Đặt $\sin x+\cos x=t,\left| t \right|\le \sqrt{2}\Rightarrow \sin x.\cos x=\dfrac{{{t}^{2}}-1}{2}$
Ta có phương trình: $\sqrt{2}t=\dfrac{2}{{{t}^{2}}-1}\Leftrightarrow \left( t-\sqrt{2} \right)\left( {{t}^{2}}+\sqrt{2}t+1 \right)=0\Leftrightarrow t=\sqrt{2}$
$\Rightarrow \cos \left( x-\dfrac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+k2\pi $
Vì $0<x<1000\Rightarrow 0<\dfrac{\pi }{4}+k2\pi <1000$
$\Leftrightarrow -\dfrac{\pi }{4}<k2\pi <1000-\dfrac{\pi }{4}\Leftrightarrow -\dfrac{1}{8}<k<\dfrac{500}{\pi }-\dfrac{1}{8}$
Vì $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k=0;1;2;...;159$
Tổng $S=\dfrac{\pi }{4}+\left( \dfrac{\pi }{4}+2\pi \right)+\left( \dfrac{\pi }{4}+4\pi \right)+\ldots +\left( \dfrac{\pi }{4}+320\pi \right)$
$=160.\dfrac{\pi }{4}+\left( 2\pi +4\pi +...+320\pi \right)=40\pi +\dfrac{2\pi \left[ 1-{{\left( 2\pi \right)}^{159}} \right]}{1-2\pi }$
$=40\pi +\dfrac{2\pi -{{\left( 2\pi \right)}^{160}}}{1-2\pi }=40\pi +\dfrac{{{\left( 2\pi \right)}^{160}}-2\pi }{2\pi -1}$
Câu 4: Đáp án A.
Xếp 6 học sinh có 6! cách xếp.
Xếp 2 thầy giáo vào 2 trong 7 vị trí xen kẽ giữa các học sinh có $A_{7}^{2}.$
Vậy có $6!A_{7}^{2}=30240$ (cách xếp)
Câu 5: Đáp án B.
Giải phương trình: $C_{n+1}^{2}+2C_{n+2}^{2}+2C_{n+3}^{2}+C_{n+4}^{2}=149.$
Điều kiện: $n\ge 3$
Phương trình $\Leftrightarrow \dfrac{\left( n+1 \right)!}{2!\left( n-1 \right)!}+2.\dfrac{\left( n+2 \right)!}{2!n!}+2.\dfrac{\left( n+3 \right)!}{2!\left( n-1 \right)!}+\dfrac{\left( n+4 \right)!}{2!\left( n+2 \right)!}=149$
$ \Leftrightarrow {n^2} + 4n - 45 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = 5\\
n = - 9
\end{array} \right.$
Vậy $A = \frac{{A_6^4 + 3A_5^3}}{{6!}} = \frac{3}{4}.$
Câu 6: Đáp án C.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 123\\
{u_3} - {u_{15}} = 18
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 123\\
\left( {{u_1} + 2d} \right) - \left( {{u_1} + 14d} \right) = 84
\end{array} \right.$
Giải hệ tìm${{u}_{1}},d$ sau đó tính ${{u}_{17}}={{u}_{1}}+16d$ được ${{u}_{17}}=11.$
Câu 7: Đáp án C.
Từ giả thiết ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 24\\
{u_{24}} = 16384{u_{11}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 24\\
{u_1}.{q^3} = 16384{u_1}.{q^{10}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 24\\
{q^7} = \frac{1}{{16384}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 24\\
q = \frac{1}{4}
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow {u_{17}} = {u_1}.{q^{16}} = 24.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{16}} = \frac{3}{{536870912}}$
Câu 8: Đáp án B.
Hệ số góc của tiếp tuyến song song với trục hoành nên $k=0.$ Khảo sát hàm số đã cho thấy có một cực trị nên có 1 tiếp tuyến song song với trục hoành.
Câu 9: Đáp án D.
Câu 10: Đáp án C.
Câu 11: Đáp án C.
Gọi K là trung điểm $AC\Rightarrow \Delta OKM$ đều $\Rightarrow \left( \widehat{OM,AB} \right)=\left( \widehat{OM,MK} \right)={{60}^{o}}$
Câu 12: Đáp án D.
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{4{{x}^{2}}+3x+1}-2x \right)=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{4{{x}^{2}}+3x+1-4{{x}^{2}}}{\sqrt{4{{x}^{2}}+3x+1}+2x}$
$\underset{x\to \infty }{\mathop{=\lim }}\,\dfrac{3x+1}{\sqrt{4{{x}^{2}}+3x+1}+2x}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{3+\dfrac{1}{x}}{\sqrt{4+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}+2}=\dfrac{3}{4}$
Câu 13: Đáp án A.
$y'=2x\left( 6-{{x}^{2}} \right)+{{x}^{2}}\left( -2x \right)=12x-2{{x}^{3}}-2{{x}^{3}}=-4{{x}^{3}}+12x=-4x\left( {{x}^{2}}-3 \right)$
$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \pm \sqrt 3
\end{array} \right.$
Lập bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;-\sqrt{3} \right)$ và $\left( 0;\sqrt{3} \right)$
Câu 14: Đáp án C.
+ Ta có: $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1-2x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\dfrac{1}{x}-2}{\sqrt{1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}}=-2\Rightarrow y=-2$ là tiệm cận ngang.
+ $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1-2x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\dfrac{1}{x}-2}{-\sqrt{1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}}=2\Rightarrow y=2$ là tiệm cận ngang.
+ Đồ thị không có tiệm cận đứng vì ${{x}^{2}}+1=0$ vô nghiệm.
Câu 15: Đáp án B.
Ta có $y' = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} = m
\end{array} \right.$
Để có 3 điểm cực trị thì phương trình $y'=0$ có 3 nghiệm phân biệt $\Rightarrow m>0$
Khi đó có 3 điểm đó là: $A\left( 0;2{{m}^{2}}-1 \right),B\left( \sqrt{m};{{m}^{2}}-1 \right),C\left( -\sqrt{m};{{m}^{2}}-1 \right)$
Do tính đối xứng của đồ thị nên $AB=AC,$ từ đó tam giác ABC vuông tại A
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB.} \overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\left( l \right)\\
m = 1
\end{array} \right.$
Câu 16: Đáp án D.
Vì số nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=0$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ với trục hoành (vẽ đồ thị ta thấy nó cắt trục hoành tại 3 điểm)
Câu 17: Đáp án A.
$y' = 4{x^3} - 4x = 4x\left( {{x^2} - 1} \right) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \pm 1
\end{array} \right.$
$y\left( 0 \right) = 0,y\left( { \pm 1} \right) = - 1 \Rightarrow {y_{\max }} = 0$
Câu 18: Đáp án D.
Xét hàm số $f\left( x \right)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m$
Có $f'\left( x \right) = 12{x^3} - 12{x^2} - 24x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = - 1\\
x = 2
\end{array} \right.$
Lập bảng biến thiên $\left\{ \begin{array}{l}
f\left( 0 \right) > 0\\
f\left( { - 1} \right) < 0\\
f\left( 2 \right) < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
- 5 + m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 5\\
- 32 + m < 0
\end{array} \right.$
$\Rightarrow $ Có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bào toán
Câu 19: Đáp án A.
Lập bảng biến thiên của 4 đồ thị $y=g\left( x \right)$ trong mỗi đáp án thì ta thấy chỉ có đáp án A thỏa mãn.
Câu 20: Đáp án B.
Ta có:$f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = f\left( x \right)\left| {_{_0}^{^1}} \right. = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x \ge } \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + 1} \right){\rm{d}}x = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + x} \right)\left| \begin{array}{l}
^1\\
_0
\end{array} \right. = \frac{1}{3} + 1} = \frac{4}{3}$
$\Rightarrow f\left( 1 \right)\ge \dfrac{4}{3}+1=\dfrac{7}{3}$
Câu 21: Đáp án C.
Ta có: $y'=2{{x}^{2}}+2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+4m+3$
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' > 0\\
S > 0\\
P > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- {m^2} - 6m - 5 > 0\\
- m - 1 > 0\\
{m^2} + 4m + 3 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow - 5 < m < - 3$
Câu 22: Đáp án A.
$y=3{{x}^{2}}-6mx,y'=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2m$
Đồ thị hàm số có 2 cực trị $\Leftrightarrow m\ne 0$
Đường thẳng qua 2 cực trị là $y=-2{{m}^{2}}x+2$ thỏa mãn yêu cầu
$\Leftrightarrow M\in d\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{2}$
Câu 23: Đáp án C.
Câu 24: Đáp án A.
Câu 25: Đáp án A.
Câu 26: Đáp án D.
Đặt $SH=x$, tính SB, SC theo x. Sau đó áp dụng định lí cosin cho $\Delta SBC$
Tìm được $x=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\Rightarrow V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}$
Câu 27: Đáp án C.
Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow \widehat{SOH}={{60}^{o}},\Delta ABD$ đều.
Tính $SH=OH.\tan {{60}^{o}}$
Câu 28: Đáp án C.
Chú ý $\Delta ABC$ đều cạnh $a\sqrt{3}$. Kẻ $OH\bot AB\Rightarrow AB\bot \left( B'OH \right)\Rightarrow AB\bot B'H$
$\Rightarrow \left( \widehat{\left( CDD'C' \right),\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{\left( ABB'A' \right),\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{B'H,OH} \right)=\widehat{B'HO}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}=\dfrac{16}{9{{a}^{2}}}\Rightarrow OH=\dfrac{3a}{4}$
$\Rightarrow B'O=OH.\tan \widehat{B'HO}=\dfrac{3a\sqrt{3}}{4}\Rightarrow V=\dfrac{27{{a}^{3}}}{8}$
Câu 29: Đáp án B.
Gọi r là bán kính của mặt cầu nối tiếp
$\Rightarrow $ Diện tích xung quanh của mặt cầu là ${{S}_{xq}}=4\pi {{r}^{2}}\Rightarrow 4\pi {{r}^{2}}=16\pi \Rightarrow r=2$
$\Rightarrow $ Chiều cao của hình trụ là 4
$\Rightarrow $ Diện tích của hình trụ là ${{S}_{xq}}=2\pi rl=16\pi $
Câu 30: Đáp án D.
Thỏa mãn đề bài suy ra hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$phải cùng phương
$\Rightarrow \dfrac{3}{1}=\dfrac{m}{7-2m}\Rightarrow 21-6m=m\Leftrightarrow 7m=21\Leftrightarrow m=3$
Câu 31: Đáp án A.
Câu 32: Đáp án D.
$I=\Delta \cap \left( P \right)$ thì $I\left( -3;1;1 \right)$
Gọi $\overrightarrow{u}=\left( a;b;c \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$. Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}
d \subset \left( P \right)\\
d \bot \Delta
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow u \bot \overrightarrow {{n_p}} \\
\overrightarrow u \bot \overrightarrow {{n_\Delta }}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 3 + at + 2\left( {1 + bt} \right) - 3\left( {1 + ct} \right) + 4 = 0\forall t\\
a + b - c = 0
\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}
a + 2b - 3c = 0\\
a + b - c = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - c\\
b = 2c
\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow u = \left( { - c;2c;c} \right)$
hay $\overrightarrow{u}=\left( -1;2;1 \right)$
Phương trình $d:\frac{x+3}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{1}$
