Câu 33: Đáp án B.
Phương trình $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y = t\\
z = - 2 - t
\end{array} \right..$
Tọa độ điểm $C=\Delta \cap \left( P \right)$ là $C\left( -1;-1;-1 \right)$
Lấy điểm $M\left( 1+2t;t;-2-t \right)\Rightarrow MC=\sqrt{6}\Leftrightarrow {{\left( 2t+2 \right)}^{2}}+{{\left( t+1 \right)}^{2}}+{{\left( t+1 \right)}^{2}}=6$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 0 \Rightarrow M\left( {1;0; - 2} \right) \Rightarrow d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\\
t = - 2 \Rightarrow M\left( { - 3; - 2;0} \right) \Rightarrow d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{1}{{\sqrt 6 }}
\end{array} \right.$
Câu 34: Đáp án C.
Mặt phẳng $\left( ABC \right):\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$ và $\left( ABC \right)\bot \left( P \right)$
$\Rightarrow \dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}=0\Leftrightarrow b=c\Rightarrow \left( ABC \right):bx+y+z-b=0$
$d\left( O;\left( ABC \right) \right)=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \dfrac{\left| b \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+2}}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow b=\dfrac{1}{2}\left( b>0 \right)\Rightarrow b=c=\dfrac{1}{2}\Rightarrow b+c=1$
Câu 35: Đáp án A.
Bất phương trình $\Leftrightarrow 0<x-1\le 4\Leftrightarrow 1<x\le 5$
Câu 36: Đáp án A.
Đặt ${{\log }_{9}}x={{\log }_{12}}y={{\log }_{16}}\left( x+y \right)=a\Rightarrow x={{9}^{a}};y={{12}^{a}};x+y={{16}^{a}}$
$\Rightarrow {{9}^{a}}+{{12}^{a}}={{16}^{a}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{2a}}+{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{a}}=1\Rightarrow {{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{a}}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{x}{y}={{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{2a}}={{\left( \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$
Câu 37: Đáp án A.
Điều kiện: $-\dfrac{1}{2}<x<3$
Phương trình $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2x+1 \right)={{\log }_{3}}\dfrac{1}{3-x}\Leftrightarrow 2x+1=\dfrac{1}{3-x}.$
Giải phương trình chọn A.
Câu 38: Đáp án C.
Bất phương trình $\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{10}+1 \right)}^{{{\log }_{3}}x}}-{{\left( \sqrt{10}-1 \right)}^{{{\log }_{3}}x}}\ge \dfrac{2}{3}{{.3}^{{{\log }_{3}}x}}$
$\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{{{\log }_{3}}x}}-{{\left( \dfrac{\sqrt{10}-1}{3} \right)}^{{{\log }_{3}}x}}\ge \dfrac{2}{3}\Rightarrow t-\dfrac{1}{t}\ge \dfrac{2}{3}\Leftrightarrow {{t}^{2}}-1\ge \dfrac{2}{3}t\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-2t-3\ge 0$
Câu 39: Đáp án B.
Điều kiện $x>\dfrac{1+\sqrt{33}}{2}.$ Đặt $t={{\log }_{3}}x\Leftrightarrow x={{3}^{t}}$
Ta có bất phương trình: ${{9}^{t}}<{{4.4}^{t}}+{{3}^{t}}+8\Leftrightarrow 4.{{\left( \dfrac{4}{9} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{t}}+8{{\left( \dfrac{1}{9} \right)}^{t}}>1$
Hàm số $f\left( t \right)=4.{{\left( \dfrac{4}{9} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{t}}+8{{\left( \dfrac{1}{9} \right)}^{t}}$ nghịch biến và $f\left( 2 \right)=1$nên ta có $t<2$ tìm được tập nghiệm là $\left( \dfrac{1+\sqrt{33}}{2};9 \right)$ có độ dài trên trục số là $9-\dfrac{1+\sqrt{33}}{2}=\dfrac{17-\sqrt{33}}{2}.$
Câu 40: Đáp án C.
$\left| z \right|=\sqrt{{{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}=1$
Câu 41: Đáp án C.
Đặt $z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \left| z-i \right|=\left| z+2+3i \right|\Leftrightarrow \left| x+yi-i \right|=\left| x+yi+2+3i \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow -2y+1=4x+6y+13$
$\Leftrightarrow 4x+8y+12=0\Leftrightarrow x+2y+3=0$ là trung trực của đoạn AB.
Câu 42: Đáp án A.
Đặt $z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right).$ Từ giả thiết ta có: ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}=16$
$\Rightarrow z\in $đường tròn tâm $I\left( 3;-4 \right),R=4.$
Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ qua O,I cắt đường tròn tại A và B.
Từ đó ta có: $\max \left| z \right|=9$ vaf $\min \left| z \right|=1$.
Câu 43: Đáp án C.
Ta có $z=\dfrac{i-m}{-{{i}^{2}}+2mi-{{m}^{2}}}=\dfrac{-1}{i-m}\Rightarrow z-1=\dfrac{1-m+i}{m-i}$
$\left| {z - 1} \right| = \frac{{\left| {1 - m + i} \right|}}{{\left| {m - i} \right|}} = \sqrt {\frac{{{m^2} - 2m + 2}}{{{m^2} + 1}}} \Rightarrow \left| {z - 1} \right| \le k \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ge 0\\
\frac{{{m^2} - 2m + 2}}{{{m^2} + 1}} \le {k^2}
\end{array} \right.$
Xét $f\left( m \right)=\dfrac{{{m}^{2}}-2m+2}{{{m}^{2}}+1}$. Khảo sát $\Rightarrow \min f\left( m \right)=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow k=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
Câu 44: Đáp án A.
Câu 45: Đáp án D.
$I=\int\limits_{a}^{b}{\text{d}x+\int\limits_{a}^{b}{\dfrac{x.\cos x}{x.\sin x+\cos x}\text{d}x}=b-a+m}$.
Câu 46: Đáp án A.
Câu 47: Đáp án C.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
dv = dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{1}{x}dx\\
v = x
\end{array} \right.$
Câu 48: Đáp án C.
$S = \int\limits_0^1 {{x^2}\sqrt {{x^2} + 1} dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} + x} \right)d\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)} = \left( {{x^2} + x} \right)\sqrt {{x^2} + 1} \left\| \begin{array}{l}
^1\\
_0
\end{array} \right. - \int\limits_0^1 {\sqrt {{x^2} + 1} .\left( {3{{\rm{x}}^2} + 1} \right)dx} $
$ = 2\sqrt 2 - 3S - \int\limits_0^1 {\sqrt {{x^2} + 1} dx} $
Đặt $x=\tan x\Rightarrow a=3,b=2,c=8$
Câu 49: Đáp án A.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = f\left( x \right)\\
dv = \sin xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = f'\left( x \right)dx\\
v = - \cos x
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right).\sin xdx} = - f\left( x \right).\cos x\left| \begin{array}{l}
^{\frac{\pi }{2}}\\
_0
\end{array} \right. + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f'\left( x \right).cosxdx} \Leftrightarrow 1 = f\left( 0 \right) + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f'\left( x \right).cosxdx} $
$ \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f'\left( x \right).cosxdx = 0} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = f'\left( x \right)\\
dv = \cos xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = f''\left( x \right)dx\\
v = \sin x
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow 0 = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f'\left( x \right).cosxdx} = f'\left( x \right).sinx\left| \begin{array}{l}
^{\frac{\pi }{2}}\\
_0
\end{array} \right. - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f''\left( x \right).sinxdx} $
$ \Rightarrow 0 = f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - 1 \Rightarrow f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1$
Câu 50: Đáp án A.
$g\left( x \right)=6f\left( x \right)+{{x}^{3}}\Rightarrow g'\left( x \right)=6f'\left( x \right)+3{{x}^{2}}$
$g''\left( x \right)=6.f''\left( x \right)+6x=6\left[ f''\left( x \right)+x \right]$
$ \Rightarrow g''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f''\left( x \right) = - x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 3\\
x = 4\\
x = 3\\
x = 1
\end{array} \right.$
Theo hình vẽ ta có: $\int\limits_{ - 3}^1 {\left[ { - x - f''\left( x \right)} \right]dx} > \int\limits_1^3 {\left[ {f''\left( x \right) + x} \right]dx} > \int\limits_3^4 {\left[ { - x - f''\left( x \right)} \right]dx} $
$ \Leftrightarrow \left[ {\frac{{ - {x^2}}}{2} - f'\left( x \right)} \right]\left| \begin{array}{l}
^1\\
_{ - 3}
\end{array} \right. > \left[ {f'\left( x \right) + \frac{{{x^2}}}{2}} \right]\left| \begin{array}{l}
^3\\
_1
\end{array} \right. > \left[ {\frac{{ - {x^2}}}{2} - f'\left( x \right)} \right]\left| \begin{array}{l}
^4\\
_3
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow - g'\left( x \right)\left| \begin{array}{l}
^1\\
_{ - 3}
\end{array} \right. > g'\left( x \right)\left| \begin{array}{l}
^3\\
_1
\end{array} \right. > - g'\left( x \right)\left| \begin{array}{l}
^4\\
_3
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow g'\left( { - 3} \right) - g'\left( 1 \right) > g'\left( 3 \right) - g'\left( 1 \right) > g'\left( 3 \right) - g'\left( 4 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g'\left( { - 3} \right) > g'\left( 3 \right)\\
g'\left( 4 \right) > g'\left( 1 \right)
\end{array} \right.$
