Câu 40: Đáp án C
Có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\Delta \subset (P)}\\
{\Delta \bot d}
\end{array}} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = [\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} ] = (0;1; - 1).$
Ta có $d(A,\Delta )\ge d(A,(P))=const.$
Dấu bằng đạt tại khi Δ qua hình chiếu vuông góc của A lên (P).
Toạ độ hình chiếu vuông góc của A lên (P) là nghiệm của hệ
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 2y + 2z - 5 = 0}\\
{\frac{{x + 5}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 2}}{2}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow (x;y;z) = ( - 3;2;2).$ Vậy $\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = - 3}\\
{y = 2 + t}\\
{z = 2 - t}
\end{array}} \right..$
Câu 41: Đáp án A
Đường thẳng qua $A(2;5)$ hệ số góc k là $y=k(x-2)+5.$
Ta có điều kiện tiếp xúc:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{2mx - 1}}{{2x - 2}} = k(x - 2) + 5}\\
{\frac{{ - 4m + 2}}{{4{{(x - 1)}^2}}} = k}
\end{array}} \right. \Rightarrow \frac{{2mx - 1}}{{2x - 2}} = \frac{{ - 4m + 2}}{{4{{(x - 1)}^2}}}(x - 2) + 5.$
Phương trình này tương đương với: $(2m-10){{x}^{2}}+18x-4m-7=0(1).$
Ta cần tìm điều kiện để (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1, tức
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2m - 10 \ne 0}\\
{\Delta ' = 81 + (2m - 10)(4m + 7) > 0}\\
{(2m - 10) + 18 - 4m - 7 \ne 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m < \frac{1}{2}}\\
{\frac{{11}}{4} < m \ne 5}
\end{array}} \right..$
Do đó $m\in \left\{ 3,4,6,7,8,9 \right\}$ có 6 số nguyên thoả mãn.
Câu 42: Đáp án A
Đạo hàm hai vế đẳng thức có $200{{(x+1)}^{199}}=C_{200}^{1}+2C_{200}^{2}x+3C_{200}^{3}{{x}^{2}}+...+200C_{200}^{200}{{x}^{199}}.$
Nhân thêm hai vế đẳng thức trên với x có
$200x{{(x+1)}^{199}}=C_{200}^{1}x+2C_{200}^{2}{{x}^{2}}+3C_{200}^{3}{{x}^{3}}+...+200C_{200}^{200}{{x}^{200}}.$
Đạo hàm hai vế đẳng thức có
$200{{(x+1)}^{199}}+200\times 199x{{(1+x)}^{198}}=C_{200}^{1}+{{2}^{2}}C_{200}^{2}x+{{3}^{2}}C_{200}^{3}{{x}^{2}}+...+{{200}^{2}}C_{200}^{200}{{x}^{199}}.$
Thay $x=1$ vào hai vế của đẳng thức có
$C_{200}^{1}+{{2}^{2}}C_{200}^{2}+{{3}^{2}}C_{200}^{3}+...+{{200}^{2}}C_{200}^{200}={{200.2}^{199}}+200\times {{199.2}^{198}}.$
Suy ra ${{2}^{2}}C_{200}^{2}+{{3}^{2}}C_{200}^{3}+...+{{200}^{2}}C_{200}^{200}={{200.2}^{199}}+200\times {{199.2}^{198}}-C_{200}^{1}$
$=200\left( {{2}^{199}}+{{199.2}^{198}}-1 \right)=200\left( 201\times {{2}^{198}}-1 \right).$
Câu 43: Đáp án D
Hàm số $f(x)$ có ba điểm cực trị là $x=-2;x=0;x=2.$ Vì vậy hàm số $y=f(x)+m$ cũng có ba điểm cực trị $x=-2;x=0;x=2.$ Vậy điều kiện để hàm số $y=\left| f(x)+m \right|$ có 7 điểm cực trị là phương trình $f(x)+m=0\Leftrightarrow -m=f(x)$ có 4 nghiệm phân biệt$\Leftrightarrow -20<-m<0\Leftrightarrow 0<m<20.$
Vậy $m\in \left\{ 1,2,...,19 \right\}$ có 19 số nguyên dương thoả mãn.
Câu 44: Đáp án A
Tứ diện OABC là tứ diện vuông do đó góc nhị diện $\left( (ABC),(OBC) \right)<{{90}^{0}}.$
Mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi hai mặt phẳng này và điểm O, A nằm cùng phía với (P).
Có $(ABC):\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1;(OBC):x=0.$
Vậy mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi hai mặt phẳng này có phương trình
$\frac{{\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} - 1}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{1}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} }} = \pm \frac{x}{{\sqrt {{1^2}} }} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{13x + 3y + 2z - 6 = 0}\\
{x - 3y - 2z + 6 = 0}
\end{array}} \right..$
Đối chiếu điều kiện O,A nằm cùng phía nhận $(P):-x+3y+2z-6=0.$
Vậy $a=-1,b=3,c=2$ và $ab+bc+ca=1.$
Câu 45: Đáp án C
Theo giả thiết có$\dfrac{2{f}'(x)}{{{f}^{3}}(x)}=\dfrac{x+2}{{{x}^{3}}}\Rightarrow \mathop{\int }^{}\dfrac{2{f}'(x)}{{{f}^{3}}(x)}dx=\mathop{\int }^{}\dfrac{x+2}{{{x}^{3}}}dx=-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+C\Leftrightarrow -\dfrac{1}{{{f}^{2}}(x)}=-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+C.$
Thay $x=1$ vào có $C-2=-\dfrac{1}{{{f}^{2}}(1)}=-3\Leftrightarrow C=-1\Rightarrow \dfrac{1}{{{f}^{2}}(x)}=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{x}+1.$
Do đó $\underset{1}{\overset{2}{\mathop \int }}\,\dfrac{1}{{{(f(x))}^{2}}}dx=\underset{1}{\overset{2}{\mathop \int }}\,\left( \dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{x}+1 \right)dx=\dfrac{3}{2}+\ln 2.$
Câu 46: Đáp án D
Theo giả thiết, ta có $\left| {{z}^{2}}+16 \right|+\left| z(z+4i) \right|=4\left| z+4i \right|$
$\Leftrightarrow \left| z+4i \right|.\left| z-4i \right|+\left| z \right|.\left| z+4i \right|=4\left| z+4i \right|$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{|z + 4i| = 0}\\
{|z - 4i| + |z| = 4}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{z = - 4i}\\
{|z - 4i| + |z| = 4{\rm{ }}(*)}
\end{array}} \right] \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{z = - 4i}\\
{z = bi,b \in [0;4]}
\end{array}} \right].$
Khi đó $|z + 1 - i| = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{| - 4i + 1 - i| = \sqrt {26} }\\
{|bi + 1 - i| = \sqrt {1 + {{(b - 1)}^2}} \in [1;\sqrt {10} ],\forall b \in [0;4]}
\end{array}} \right..$
Do đó $m=1,M=\sqrt{26}\Rightarrow P=1+\sqrt{26}.$
*Chú ý: Với $M(z),A(4i),B(0)\Rightarrow (*)\Leftrightarrow MA+MB=AB\Leftrightarrow M\in [AB].$
Do đó $z=bi,b\in [0;4].$
Câu 47: Đáp án B
Phương trình tương đương với: $m=\left| {{2}^{\left| x \right|+1}}-8 \right|-\dfrac{3{{x}^{2}}}{2}.$ Hàm số $f(x)=\left| {{2}^{\left| x \right|+1}}-8 \right|-\dfrac{3{{x}^{2}}}{2}$ là một hàm số chẵn, do đó ta chỉ cần xét trên nửa khoảng $[0;+\infty )$ để suy ra bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ trên cả tập số thực.
Xét hàm số $f(x) = |{2^{x + 1}} - 8| - \frac{{3{x^2}}}{2} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2^{x + 1}} - 8 - \frac{{3{x^2}}}{2}(x \ge 2)}\\
{ - {2^{x + 1}} + 8 - \frac{{3{x^2}}}{2}(0 \le x < 2)}
\end{array}} \right. \Rightarrow f'(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{g(x) = {2^{x + 1}}\ln 2 - 3x(x > 2)}\\
{ - {2^{x + 1}}\ln 2 - 3x < 0(0 < x < 2)}
\end{array}} \right..$
Có ${g}'(x)={{2}^{x+1}}{{\ln }^{2}}x-3>8{{\ln }^{2}}2-3>0,\forall x>2$ và$g(2)=8\ln 2-6<0;g(3)=16\ln 2-9>0\Rightarrow g(2)g(3)<0\Rightarrow g(x)=0$ có nghiệm duy nhất ${{x}_{0}}\in (2;3)$ trên khoảng $(2;+\infty ).$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ như sau:
Suy ra phương trình có đúng hai nghiệm thực
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m > 6}\\
{m = f({x_0}) = {2^{{x_0} + 1}} - 8 - \frac{{3x_0^2}}{2} \notin }
\end{array}} \right. \Rightarrow m \in \{ 7,8,...,2018\} .$
Có tất cả 2012 số nguyên thoả mãn.
Câu 48: Đáp án B
Số cách xếp ngẫu nhiên 6 viên bi là 6! Để đơn giản ta coi viên bi số k là viên bi được ghi số k.
Các số từ 1 đến 6 chỉ có $6+5=11;6+4=10$ là một số tự nhiên có hơn 1 chữ số.
Vậy ta cần xếp sao cho viên bi số 6 không được xếp cạnh viên bi số 4 và viên bi số 5.
Cách 1: Đếm trực tiếp
Viên bi số 6 xếp vào ô số 1 thì xếp 2 viên bi số 4 và 5 vào 2 trong 4 ô (3,4,5,6) có $A_{4}^{2}$ cách xếp; xếp 3 viên bi còn lại có 3! cách. Vậy trường hợp này có $A_{4}^{2}.3!=72$ cách xếp.
Viên bi số 6 xếp vào ô số 6 thì xếp 2 viên bi số 4 và 5 vào 2 trong 4 ô (1,2,3,4) có $A_{4}^{2}$ cách xếp; xếp 3 viên bi còn lại có 3! cách. Vậy trường hợp này có $A_{4}^{2}.3!=72$ cách xếp.
Xếp viên bi số 6 vào ô số 2 thì xếp 2 viên bi số 4 và 5 vào 2 trong 3 ô (4,5,6) có $A_{3}^{2}$ cách xếp; xếp 3 viên bi còn lại có 3! cách. Vậy trường hợp này có $A_{3}^{2}.3!=36$ cách xếp.
Tương tự cho trường hợp viên bi số 6 xếp vào ô số 3,4,5 mỗi trường hợp có 36 cách xếp.
Vậy có tất cả $2\times 72+4\times 36=288$ cách xếp thoả mãn.
Xác suất cần tính bằng $\dfrac{288}{6!}=\dfrac{2}{5}.$.
Chọn đáp án B.
Cách 2: Đếm gián tiếp
Số cách xếp viên bi số 4 và số 6 cạnh nhau là 2!5!=240 cách.
Số cách xếp viên bi số 5 và số 6 cạnh nhau là 2!5!=240 cách.
Số cách xếp viên bi số 6 cạnh cả viên bi số 4 và viên bi số 5 là 2!4!=48.
Số cách xếp viên bi số 6 cạnh bi số 4 hoặc cạnh bi số 5 là $240+240-48=432.$
Số cách xếp viên bi số 6 không cạnh viên bi số 4 và viên bi số 5 là $6!-432=288.$
Xác suất cần tính bằng $\dfrac{288}{6!}=\dfrac{2}{5}.$
Câu 49: Đáp án A
Tứ diện vuông M.ABC. Do đó $\overrightarrow{MI}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right).$
Mặt khác gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}.$
Vậy ta có $\overrightarrow{MI}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{MG}\Rightarrow I(1;2;3)\Rightarrow a+b+c=6.$
Câu 50: Đáp án D
Có ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=3{{V}_{A.{A}'{B}'{C}'}}$ và ${{V}_{A.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{2{{S}_{A{A}'{B}'}}.{{S}_{A{A}'{C}'}}.\sin \left( (A{A}'{B}'),(A{A}'{C}') \right)}{3A{A}'}.$
Hạ $AH\bot B{B}',AK\bot C{C}'\Rightarrow AH=1,AK=2.$
Trong đó ${{S}_{A{A}'{B}'}}={{S}_{AB{B}'}}=\dfrac{1}{2}A{A}'.AH=\dfrac{1}{2}A{A}';{{S}_{A{A}'{C}'}}={{S}_{AC{C}'}}=\dfrac{1}{2}A{A}'.AK=A{A}'.$
Do đó $V=\dfrac{2\left( \dfrac{1}{2}A{A}' \right)\left( A{A}' \right)\left( \sin {{60}^{0}} \right)}{A{A}'}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}A{A}'=2\sqrt{3}.$
