Câu 1: Đáp án B
Ta có $F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)dx}=\int{\dfrac{dx}{3x+1}}=\dfrac{1}{3}\ln \left| 3x+1 \right|+C$
Mà $x\in \left( -\infty ;-\dfrac{1}{3} \right)\Rightarrow F\left( x \right)=\dfrac{1}{3}\ln \left( -3x-1 \right)+C$
Câu 2: Đáp án D
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{n}_{p}}}=\left( 2;-1;3 \right)$
Mà đường thẳng d qua $M\left( 1;1;2 \right)$ nên phương trình $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-2}{3}$.
Câu 3: Đáp án B
Đáp án A. Phần ảo của số phức z là b nên A sai.
Đáp án B. Ta có $\left| {{z}^{2}} \right|={{\left| z \right|}^{2}}={{\left( \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ nên B đúng.
Đáp án C. Ta có $z=a+bi\Rightarrow \bar{z}=a-bi\Rightarrow z-\bar{z}=2bi$ là số thực khi $b=0$ nên C sai.
Đáp án D. Ta có $z=a+bi\Rightarrow \bar{z}=a-bi\Rightarrow \left| z \right|=\left| {\bar{z}} \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ nên D sai.
Câu 4: Đáp án A
Điều kiện $x>\dfrac{1}{2}$. Ta có $\ln \left( x-\dfrac{1}{2} \right).\ln \left( x+\dfrac{1}{2} \right).\ln \left( x+\dfrac{1}{4} \right).ln\left( x+\dfrac{1}{8} \right)=0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\ln \left( {x - \frac{1}{2}} \right) = 0\\
\ln \left( {x + \frac{1}{2}} \right) = 0\\
\ln \left( {x + \frac{1}{4}} \right) = 0\\
\ln \left( {x + \frac{1}{8}} \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - \frac{1}{2} = 1\\
x + \frac{1}{2} = 1\\
x + \frac{1}{4} = 1\\
x + \frac{1}{8} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{3}{2}\\
x = \frac{1}{2}\left( l \right)\\
x = \frac{3}{4}\\
x = \frac{7}{8}
\end{array} \right.$ Do đó phương trình có 3 nghiệm
Câu 5: Đáp án B
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là $\overrightarrow{n}=\left( 1;-2;3 \right)$
Câu 6: Đáp án D
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số đổi dấu qua các điểm $x=-1,x=0,x=2,x=4$ nên hàm số có 4 điểm cực trị.
Câu 7: Đáp án B
Ta có $V=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{{{\left( -\sin x \right)}^{2}}dx}=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{{{\sin }^{2}}xdx}$
Câu 8: Đáp án A
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra đường thẳng $y=-2018$ cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm.
Câu 9: Đáp án C
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{\log _a}c = x\\
{\log _b}c = y
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\log _c}a = \frac{1}{x}\\
{\log _c}b = \frac{1}{y}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = {c^{\frac{1}{x}}}\\
b = {c^{\frac{1}{y}}}
\end{array} \right.$
Do đó ${{\log }_{ab}}c={{\log }_{{{c}^{\dfrac{1}{x}}}{{c}^{\dfrac{1}{y}}}}}c={{\log }_{{{c}^{\dfrac{1}{x}}}{{c}^{\dfrac{1}{y}}}}}x=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}=\dfrac{xy}{x+y}$.
Câu 10: Đáp án B
Gọi I là trung điểm của $MN\Rightarrow I\left( 1;2;3 \right)$. Ta có $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\overrightarrow{MN}=\left( 4;2;6 \right)$
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $I\left( 1;2;3 \right)\Rightarrow \left( P \right):2x+y+3z-13=0$.
Câu 11: Đáp án D
Ta có ${V_{OABC}} = \frac{1}{6}.OA.OB.OC = \frac{1}{6}.a.2a.3a = {a^3}$
Câu 12: Đáp án B
Ta có $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2x-1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-1}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2-\dfrac{1}{x}}{-\sqrt{1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{x}}}=-2$
Câu 13: Đáp án C
Bán kính của hình trụ là $r=a$, chiều cao $h=2a\Rightarrow {{S}_{xq}}=2\pi rh=4\pi {{a}^{2}}$.
Câu 14: Đáp án D
Số cách chọn 3 học sinh trong nhóm làm 3 công việc là $A_{10}^{3}$
Câu 15: Đáp án C
Hàm số nghịch biến khi ${f}'\left( x \right)<0\Leftrightarrow x{{\left( x-2 \right)}^{3}}<0\Leftrightarrow 0<x<2\Rightarrow x\in \left( 0;2 \right)$
Câu 16: Đáp án C
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=1$, tiệm cận ngang là $y=-1;y=1$.
Câu 17: Đáp án D
Tổng số chấm bẳng 2 khi số chấm ở 2 con xúc sắc là $\left( 1;1 \right)$.
Tổng số chấm bẳng 3 khi số chấm ở 2 con xúc sắc là $\left( 1;2 \right),\left( 2;1 \right)$
Tổng số chấm bẳng 4 khi số chấm ở 2 con xúc sắc là $\left( 1;3 \right),\left( 2;2 \right),\left( 3;1 \right)$
Tổng số chấm bẳng 5 khi số chấm ở 2 con xúc sắc là $\left( 1;4 \right),\left( 2;3 \right),\left( 3;2 \right),\left( 4;1 \right)$
Do đó xác suất là $10.\dfrac{1}{36}=\dfrac{5}{18}$
Câu 18: Đáp án C
Kẻ $AP\bot \Delta \Rightarrow P\left( t+2;1-2t;2t \right)\Rightarrow \overrightarrow{AP}=\left( t+3;-2t;2t-6 \right)$
Ta có $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;-2;2 \right),AP\bot \Delta \Leftrightarrow \overrightarrow{AP}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0\Leftrightarrow \left( t+3 \right)+4t+2\left( 2t-6 \right)=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow P\left( 3;-1;2 \right)$
Câu 19: Đáp án D
Kẻ $BP\bot AC\Rightarrow BP\bot \left( SAC \right)\Rightarrow \widehat{\left( SB;\left( SAC \right) \right)}=\widehat{BSP}$
$BP=\dfrac{AB.BC}{AC}=\dfrac{aa\sqrt{3}}{2a}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
$SB=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=a\sqrt{3}$
$\Rightarrow \sin \widehat{BSP}=\dfrac{BP}{SB}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{BSP}=30{}^\circ $
Câu 20: Đáp án A
Ta có ${y}'=\dfrac{1}{3}{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{\dfrac{1}{3}-1}}.\left( 2x+1 \right)=\dfrac{2x+1}{3\sqrt[3]{{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}}}$
Câu 21: Đáp án B
Kẻ $SH\bot AB\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$.
Ta có $AD//BC\Rightarrow AD\bot \left( SBC \right)$
$\Rightarrow d\left( AD,SC \right)=d\left( A;\left( SBC \right) \right)=2d\left( H;\left( SBC \right) \right)=2HP.$
Trong đó $HP\bot \text{S}B.$
Cạnh $SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{S{{A}^{2}}-{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}}=2a$
$\Rightarrow HP=\dfrac{HS.HB}{SB}=\dfrac{2a.a}{a\sqrt{5}}\Rightarrow d\left( AD;SC \right)=\dfrac{4a}{\sqrt{5}}$.
Câu 22: Đáp án B
Ta có $I=\dfrac{1}{2}.\left. \dfrac{{{3}^{2\text{x}+1}}}{\ln 3} \right|_{0}^{1}=\dfrac{12}{\ln 3}$.
Câu 23: Đáp án C
Ta có $y' = 2\left( {{x^2} - x} \right)\left( {2{\rm{x}} - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x < 0\\
\frac{1}{2} < x < 1
\end{array} \right.$
Câu 24: Đáp án A
Ta có $y = x + \frac{4}{{x + 1}} \Rightarrow y' = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}};\,\left\{ \begin{array}{l}
x \in \left( {0;2} \right)\\
y' = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1$
Tính $y\left( 0 \right) = 4;\,y\left( 2 \right) = \frac{{10}}{3};\,y\left( 1 \right) = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 3\\
A = 4
\end{array} \right. \Rightarrow a + A = 7.$
Câu 25: Đáp án A
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = 6\\
{z_1}{z_2} = 13
\end{array} \right. \Rightarrow {z^2} - 6z + 13 = 0.$
Câu 26: Đáp án A
Ta có: $F\left( x \right) = - \int {\ln \left( {x + 3} \right)d\left( {\frac{1}{x}} \right) = - \frac{{\ln \left( {x + 3} \right)}}{x} + \int {\frac{1}{x}d\left[ {\ln \left( {x + 3} \right)} \right]} } $
$ = - \frac{{\ln \left( {x + 3} \right)}}{x} + \int {\frac{1}{x}.\frac{1}{{x + 3}}d{\rm{x}} = - \frac{{\ln \left( {x + 3} \right)}}{x} + \frac{1}{3}\int {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 3}}} \right)d{\rm{x}}} } $
$ = - \frac{{\ln \left( {x + 3} \right)}}{x} + \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{x}{{x + 3}}} \right| + C.$
Mà $F\left( { - 2} \right) + F\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow \left( {\frac{1}{3}\ln 2 + {C_1}} \right) + \left( { - \ln 4 + \frac{1}{3}\ln \frac{1}{4} + {C_2}} \right) = 0 \Rightarrow - \frac{7}{3}\ln 2 + {C_1} + {C_2} = 0$
$ \Rightarrow F\left( { - 1} \right) + F\left( 2 \right) = \left( {\ln 2 + \frac{1}{3}\ln \frac{1}{2} + {C_1}} \right) + \left( { - \frac{1}{2}\ln 5 + \frac{1}{3}\ln \frac{2}{5} + {C_2}} \right) = \frac{{10}}{3}\ln 2 - \frac{5}{6}\ln 5.$
Câu 27: Đáp án A
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} \\
\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'}
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} = AB.BC.\cos 120^\circ + B{B'^2} = \frac{3}{2}{a^2}$
$ \Rightarrow \cos \left( {AB';BC'} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} } \right|}}{{AB'.BC'}} = \frac{{\frac{3}{2}{a^2}}}{{\sqrt {A{B^2} + B{{B'}^2}} .\sqrt {B{C^2} + C{{C'}^2}} }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {AB';BC'} \right) = 60^\circ $
Câu 28: Đáp án D
Ta chọn được $f\left( x \right)=-x+\sqrt{{{x}^{2}}+3}$ thỏa mãn.
Thật vậy ${f}'\left( x \right)=-1+\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}=\dfrac{x-\sqrt{{{x}^{2}}+3}}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}<0,\,\forall x\in \mathbb{R}.$
$f\left( x \right)=-x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty .$
$f\left( x \right)=-x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}=\dfrac{1}{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0.$
Với $f\left( x \right)=-x+\sqrt{{{x}^{2}}+5}$ và $g\left( x \right)=\dfrac{4}{x}\Rightarrow x=2$ thỏa mãn $f\left( x \right)=g\left( x \right)-1$.
Câu 29: Đáp án A
Ta có ${{\left( \dfrac{1}{x}-x+2{{\text{x}}^{2}} \right)}^{9}}=\dfrac{{{\left( 1-{{x}^{2}}+2{{\text{x}}^{3}} \right)}^{9}}}{{{x}^{9}}}$.
Ta cần tìm hệ số của ${{x}^{12}}$ trong khai triển $P={{\left( 1-{{x}^{2}}+2{{\text{x}}^{3}} \right)}^{9}}$.
Ta có $P = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k{{\left( {2{{\rm{x}}^3} - {x^2}} \right)}^k} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
k = 6\\
k = 5\\
k = 4
\end{array} \right.} $ thỏa mãn.
+) Với $k=6\Rightarrow $ hệ số $C_{9}^{6}.{{\left( -1 \right)}^{6}}=84.$
+) Với $k=4\Rightarrow $ hệ số $C_{9}^{4}{{.2}^{4}}=2016.$
+) Với $k=5\Rightarrow C_{9}^{k}{{\left( 2{{x}^{3}}-{{x}^{2}} \right)}^{k}}=126{{\text{x}}^{10}}{{\left( 2\text{x}-1 \right)}^{5}}=126{{\text{x}}^{10}}\sum\limits_{{k}'=0}^{5}{C_{5}^{{{k}'}}.{{\left( 2\text{x} \right)}^{{{k}'}}}.{{\left( -1 \right)}^{5-{k}'}}}$
${k}'=2\Rightarrow $ hệ số $126.C_{5}^{2}{{.2}^{2}}.{{\left( -1 \right)}^{5-2}}=-5040.$
Vậy hệ số cần tìm là $84+2016-5040=-2940.$
Câu 30: Đáp án C
Chọn hệ trục như hình vẽ và cắt mặt nước theo thiết diện là tam giác vuông $PNM$. Hình chiếu vuông góc của mặt phẳng thiết diện xuống đáy là nửa đường tròn đường kính $AB$
Ta có: $S\cos \varphi =\dfrac{1}{2}{{S}_{\left( C \right)}}=\dfrac{1}{2}.\pi {{R}^{2}}=\dfrac{9}{2}\pi $ với $\varphi =\widehat{\left( MAB \right);\left( NAB \right)}$
Lại có: $\cos \varphi =\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{h}^{2}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{26}}$
Do đó $S=\dfrac{9\pi \sqrt{26}}{2}$.
