Câu 30: Đáp án D.
Đặt $t = {x^2} + 1 \Rightarrow dt = 2xdx,$ $\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 \to t = 2\\
x = 2 \to t = 5
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \int\limits_1^2 {f\left( {{x^x} + 1} \right)xdx = \frac{1}{2}\int\limits_2^5 {f\left( t \right)dt = \frac{1}{2}\int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx = \frac{I}{2} \Rightarrow I = 4.} } } $
Câu 31: Đáp án B.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = \cos xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}
\end{array} \right. \Rightarrow I = x\sin x - \int {\sin {\rm{x}}dx = x{\mathop{\rm sinx}\nolimits} + \cos x + C.} $
Câu 32: Đáp án C.
Ta có $\int\limits_a^b {\left( {2x - 1} \right)dx = \left( {{x^2} - x} \right)\left| \begin{array}{l}
^b\\
_a
\end{array} \right. = \left( {{b^2} - {a^2}} \right) - \left( {b - a} \right) = 1 \Leftrightarrow {b^2} - {a^2} = b - a + 1.} $
Câu 33: Đáp án D.
Tổng số trận các đội phải đá là $8.15.2=240$ trận.
Suy ra có $240-80=160$ trận không kết thúc với tỉ số hòa.
Suy ra tổng điểm các đội giành được là $160.3+80.2=640$ điểm.
Câu 34: Đáp án A.
$PT\Leftrightarrow \sin 2x=-1\Leftrightarrow 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right).$
$x\in \left[ -\frac{3\pi }{2};10\pi \right]\Rightarrow -\frac{3\pi }{2}\le -\frac{\pi }{4}+k\pi \le 10\pi \Leftrightarrow -1,25\le k\le 10,25$
Suy ra PT có 12 nghiệm trên đoạn $\left[ -\frac{3\pi }{2};10\pi \right].$
Câu 35: Đáp án c.
Tâm bát diện đều SABCDS’ là tâm của hình vuông ABCD $\Rightarrow R=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Do đó $V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\pi {{a}^{3}}.$
Câu 36: Đáp án A.
Gọi $I\left( 1+2t;-1+t;-t \right)\in d$ ta có: $\overrightarrow{MI}\left( 2t-1;t-2;-t \right)$
Giải $\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=4t-2+t-2+t=0\Leftrightarrow t=-\frac{2}{3}\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\overrightarrow{MI}=\left( \frac{1}{3};-\frac{4}{3};-\frac{2}{3} \right)$
Suy ra $d:\frac{x-2}{4}=\frac{y-1}{-4}=\frac{z}{-2}.$
Câu 37: Đáp án B.
Ta có: $d\left( O;\left( P \right) \right)\le OM$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow OM\bot \left( P \right)\Rightarrow \left( P \right):1\left( x-1 \right)+2\left( y-2 \right)+3\left( z-3 \right)=0$
Hay $\left( P \right):x+2y+3z-14=0$ $\Rightarrow A\left( 14;0;0 \right);B\left( 0;7;0 \right);C\left( 0;0;\frac{14}{3} \right)$ $\Rightarrow {{V}_{O.ABC}}=\frac{1}{6}OA.OB.OC=\frac{686}{9}.$
Câu 38: Đáp án B.
$PT \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 1\\
2{\cos ^2}x - \left( {2m + 1} \right)\cos x + m = 0
\end{array} \right.$
Với $\operatorname{s}\text{inx}=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi $ do đó $x\in \left[ 0;2\pi \right]\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}.$
Với $2{{\cos }^{2}}x-\left( 2m+1 \right)\cos x+m=0\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x-\cos x=\left( 2\cos x-1 \right)m$ $ \Leftrightarrow \left( {2\cos x - 1} \right)\left( {m - \cos x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = \frac{1}{2}\\
m = \cos x
\end{array} \right.$
PT: $\cos x=\frac{1}{2}$ có 2 nghiệm thuộc trên đoạn $\left[ 0;2\pi \right]$ do đó để PT đã cho có 4 nghiệm thực thuộc đoạn $\left[ 0;2\pi \right]$ thì
TH1: $m=\cos x$ có 1 nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;2\pi } \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = - 1 \Rightarrow x = - \pi \\
m = 1 \Rightarrow x = 0;x = 2\pi \,\,\left( {loai} \right)
\end{array} \right..$
TH2: $m=\cos x$ có 2 nghiệm thuộc đoạn $\left[ 0;2\pi \right]$ trong đó có 1 nghiệm trùng $x=\frac{\pi }{2}\Leftrightarrow m=0\Rightarrow x=-\frac{\pi }{2}.$
Vậy $m=-1;m=0.$
Câu 39: Đáp án D.
Hàm số có tập xác định $D\left( -2;2 \right)\Rightarrow $ đồ thị hàm số không có TCN.
Ta có $\sqrt{16-{{x}^{4}}}=0\Leftrightarrow x=\pm 2,\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,y=\infty \Rightarrow $ đồ thị hàm số có TCĐ $x=2.$
Câu 40: Đáp án B.
Ta có $y'=-\frac{\operatorname{s}\text{inx}}{\cos x+2}-m=-\frac{\operatorname{s}\text{inx}+m\cos x+2m}{\cos x+2}$.
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow -\left( \operatorname{s}\text{inx}+m\cos x+2m \right)\ge 0\Leftrightarrow \operatorname{s}\text{inx}+m\cos x\le -2m$
$ \Leftrightarrow - \frac{{2m}}{{\sqrt {1 + {m^2}} }} \ge 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 2m \ge 0\\
4{m^2} \ge 1 + {m^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le 0\\
{m^2} \ge \frac{1}{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m \ge \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\
m \le - \frac{1}{{\sqrt 3 }}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Rightarrow m \le - \frac{1}{{\sqrt 3 }}$
$\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;-\frac{1}{\sqrt{3}} \right].$
Câu 41: Đáp án A.
Gọi K là trung điểm của BC và $I=SK\cap \text{EF}\text{.}$
Từ gt$\Rightarrow EF=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2},\,EF//BC\Rightarrow $ I là trung điểm của SK và EF.
Ta có $\Delta SAB=\Delta SAC\Rightarrow $ Hai trung tuyến tương ứng $AE=\text{AF}.$
$\Rightarrow $ Tam giác AEF cân tại $A\Rightarrow AI\bot \text{AF}$
Mặt khác $\left( SBC \right)\bot \left( AEF \right)\Rightarrow AI\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AI\bot SK.$
Suy ra $\Delta SAK$ cân tại $A\Rightarrow SA=AK=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là $V=\frac{1}{3}.\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{24}.$
Câu 42: Đáp án C.
Ta có $2I=\int\limits_{0}^{1}{2f\left( x \right)dx=\int\limits_{0}^{1}{\left[ \sqrt{1-{{x}^{2}}}-3f\left( 1-x \right) \right]}}dx=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx-3\int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-x \right)dx.}$
Mà $\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}dx=\frac{\pi }{4}}$ (casio) và $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx=\int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-x \right)dx\Rightarrow 2I=\frac{\pi }{4}-3I\Leftrightarrow I=\frac{\pi }{20}.}}$
Câu 43: Đáp án D.
Gọi r,l lần lượt là bán kính đáy, độ dài đường sinh của hình nón $\Rightarrow $ chiều cao $h=\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}.$
Từ giả thiết, ta có $\frac{1}{{{r}^{2}}}+\frac{1}{{{h}^{2}}}=\frac{1}{3}$ và $h=r\sqrt{3}$ suy ra $r=2\Rightarrow h=2\sqrt{3}\Rightarrow l=\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}=4.$
Vậy diện tích toàn phàn của hình nón là ${{S}_{tp}}=\pi rl+\pi {{r}^{2}}=\pi .2.4+\pi {{2}^{2}}=12\pi .$
Câu 44: Đáp án C.
Chọn 1 đỉnh bất kỳ có 100 cách
Tam giác tù nên 3 đỉnh nằm trên nửa dường tròn. Để tạo tam giác tù thì 2 đỉnh kia phải chọn trong 49 đỉnh còn lại của nửa đường tròn. Vậy có: $100.C_{49}^{2}=117600$ tam giác.
Câu 45: Đáp án A.
Do $AD//BC\Rightarrow d\left( AD;SK \right)=d\left( AD;\left( SBC \right) \right)$
Do các cạnh bên của hình chóp bằng nhau nên $SO\bot \left( ABCD \right)$
Khi đó $d=d\left( A;\left( SBC \right) \right)=2d\left( O;\left( SBC \right) \right)$
Dựng $OE\bot BC;\text{OF}\bot \text{SE}\Rightarrow \text{d=2OF}$
Trong đó $OE=a;SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\frac{a\sqrt{11}}{2}$
Suy ra $d=2\frac{SO.OE}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{E}^{2}}}}=\frac{2a\sqrt{165}}{15}.$
Câu 46: Đáp án D.
Giả sử phương trình đã cho có 3 nghiệm ${x_1},{x_2},{x_3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} + {x_3} = {x_1}{x_2}{x_3} = \frac{1}{a} > 0\\
{x_1}{x_2} + {x_1}{x_3} + {x_2}{x_3} = \frac{b}{a}
\end{array} \right..$
Khi đó $P=\frac{5{{a}^{2}}-ab+2}{{{a}^{2}}\left( b-a \right)}=\frac{\frac{5}{a}-\frac{3b}{{{a}^{2}}}+\frac{2}{{{a}^{3}}}}{\frac{b}{a}-1}$ mà ${{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{3}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}\le \frac{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right)}^{2}}}{3}\Leftrightarrow \frac{b}{a}\le \frac{1}{3{{a}^{2}}}$
Do ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}\ge 3\sqrt[3]{{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}}\Rightarrow \frac{1}{{{a}^{2}}}\ge \frac{27}{a}\Leftrightarrow a\le \frac{1}{3\sqrt{3}}$
Suy ra $P=\frac{\frac{5}{a}-\frac{3}{a}.\frac{b}{a}+\frac{2}{{{a}^{2}}}}{\frac{b}{a}-1}\ge \frac{\frac{5}{a}-\frac{3}{a}.\frac{1}{3{{a}^{2}}}+\frac{2}{{{a}^{3}}}}{\frac{1}{3{{a}^{3}}}-1}=\frac{15{{a}^{2}}+3}{a-3{{a}^{3}}}=f\left( x \right),$ với $0<a<\frac{1}{3\sqrt{3}}$
Xét hàm số $f\left( a \right)=\frac{15{{a}^{2}}+3}{a-3{{a}^{3}}}\left( a\le \frac{1}{3\sqrt{3}} \right)\Rightarrow \underset{\left( 0;\frac{1}{3\sqrt{3}} \right]}{\mathop{Min}}\,f\left( a \right)=f\left( \frac{1}{3\sqrt{3}} \right)=12\sqrt{3}.$
Câu 47: Đáp án C.
Ta có ${e^x} - {e^{ - x}} = 2\cos ax + 4 \Leftrightarrow {\left( {{e^{\frac{x}{2}}} - {e^{ - \frac{x}{2}}}} \right)^2} = 2\left( {\cos {\rm{ax + 1}}} \right)$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{e^{\frac{x}{2}}} - {e^{ - \frac{x}{2}}} = 2\cos \frac{{ax}}{2}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
{e^{\frac{x}{2}}} - {e^{ - \frac{x}{2}}} = - 2\cos \frac{{ax}}{2}\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right..$
Giả sử ${{x}_{0}}$ là nghiệm của phương trình ${{e}^{x}}-{{e}^{-x}}=2\operatorname{cosa}x$ (*), thì ${{x}_{0}}\ne 0$ và $2{{x}_{0}}$ là nghiệm của (1) và $-2{{x}_{0}}$ là nghiệm của (2) hoặc ngược lại.
Phương trình (*) có 5 nghiemj nên hai phương trình (1), (2) có 5 nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình ${{e}^{x}}-{{e}^{-x}}=2\operatorname{cosa}x+4$ có 10 nghiệm phân biệt.
Câu 48: Đáp án B.
Ta có: $g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right) - 2\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 3\\
x = 1\\
x = 3
\end{array} \right.$
Với $x<-3$ ta có: $f'\left( x \right)<x+1$ suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-3 \right)$
Tương tự ta suy ra hình dạng đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ bên dưới, ta cần so sánh $g\left( -3 \right)$ và $g\left( 3 \right).$
Ta có $g\left( x \right)=2f\left( x \right)-{{\left( x+1 \right)}^{2}}\Rightarrow g'\left( x \right)=2f'\left( x \right)-2\left( x+1 \right);\forall x\in \mathbb{R}.$
Phương trình $g'\left( x \right) = \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \pm 3\\
x = 1
\end{array} \right.$ (Dựa vào ĐTHS $y=f'\left( x \right)$).
Bảng xét dấu $g'\left( x \right)$
|
x |
-3 1 3 |
|
g’(x) |
0 + 0 - 0 |
Dựa vào bảng xét dấu, ta được $\underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{max}}\,g\left( x \right)=g\left( 1 \right).$
Dựa vào hình vẽ lại có $\int\limits_{-3}^{1}{\left[ 2f'\left( x \right)-2x \right]}\,dx>-\int\limits_{1}^{3}{\left[ 2f'\left( x \right)-2x \right]dx}$
Do đó $g\left( 1 \right)-g\left( -3 \right)>g\left( 1 \right)-g\left( 3 \right)\Leftrightarrow g\left( 3 \right)>g\left( -3 \right).$
Câu 49: Đáp án A.
Giải nhanh: Chọn trường hợp đăc biệt nhất là S.ABCD là chóp đều có chiều cao h và cạnh đáy bằng $AB=a,$ khi đó S.MNPQ có chiều cao $\frac{2h}{3}$ và cạnh đáy là $MN=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{3}$
Suy ra $\frac{{{V}_{S.ABCD}}}{{{V}_{S.MNPQ}}}=\frac{2}{3}.{{\left( \frac{\sqrt{2}}{3} \right)}^{2}}=\frac{4}{27}.$
Câu 50: Đáp án B.
Tam giác ABC vuống tại A, có $AB=AC.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}\Rightarrow BC=2a.$
Và $AB\bot AC$ mà $\text{AA }\!\!'\!\!\text{ }\bot \left( ABC \right)\Rightarrow AB\bot mp\left( ACC'A' \right).$
Khi đó $\widehat{BC';\left( ACC'A' \right)}=\widehat{\left( BC';AC' \right)}=\widehat{BAC'}={{30}^{0}}\Rightarrow BC'=\frac{AB}{\sin {{30}^{0}}}=2a\sqrt{3}.$
Tam giác $BCC'$ vuông tại C, có $CC'=\sqrt{BC{{'}^{2}}-BC{{'}^{2}}}=2a\sqrt{2.}$
Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là $V=\text{AA }\!\!'\!\!\text{ }\times {{\text{S}}_{\Delta ABC}}=2a\sqrt{2}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}={{a}^{3}}\sqrt{6}.$
