Câu 41: Đáp án D
Để ý rằng OH nằm trong mặt phẳng (OAB) và OH vuông góc với AB, nên một vecto chỉ phương của OH là tích có hướng của $\overrightarrow{AB}$ và vecto pháp tuyến của mặt phẳng (OAB).
Câu 42: Đáp án A
Ta có
$\begin{array}{l}
\cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{AB.CD}}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} )}}{{AB.CD}}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.CD}}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{A{B^2} + A{D^2} - B{D^2} - (A{B^2} + A{C^2} - B{C^2})}}{{2.AB.CD}}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{A{D^2} + B{C^2} - A{C^2} - B{D^2}}}{{2.AB.CD}}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \frac{1}{2}
\end{array}$
Vậy góc cần tìm bằng ${{60}^{0}}.$
Câu 43: Đáp án C
- Gọi a là cạnh của tứ diện đều. Khi đó, chiều cao h của tứ diện đều bằng $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
- Bán kính mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện là ${{r}_{2}}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{2h}=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$
- Bán kính mặt cầu nội tiếp của tứ diện là ${{r}_{1}}=h-{{r}_{2}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{12}$
- Do đó, ${{r}_{1}}:{{r}_{2}}=1:3$
- Gọi b là cạnh của hình lập phương, thì ${{r}_{2}}=\dfrac{b}{2}$ và ${{r}_{3}}=\dfrac{b\sqrt{3}}{2}$ . Do đó ${{r}_{2}}:{{r}_{3}}=1:\sqrt{3}$
Câu 44: Đáp án B
- Số các số có chín chữ số khác nhau là 9!. Trong 9! số này, số các số mà chữ số 1 đứng trước chữ số 2 hoặc chữ số 1 đứng sau chữ số 2 là bằng nhau. Do đó, số các số mà chữ số 1 đứng trước chữ số 2 là $\dfrac{9!}{2}.$
- Tương tự, số các số mà chữ số 1 đứng trước chữ số 2 và chữ số 3 đứng trước chữ số 4 là $\dfrac{9!}{4}.$
- Số các số cần tìm là $\dfrac{9!}{8}=45360.$
Câu 45: Đáp án B
- Phương trình đã cho tương đương với
$\sin \left( \dfrac{x}{{{x}^{2}}+6} \right)=\sin \left( \dfrac{80}{{{x}^{2}}+32x+332} \right)$ (5)
- Ta biết rằng hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên khoảng $\left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right)$ . Ta chỉ ra rằng các hàm số $f(x)=\dfrac{x}{{{x}^{2}}+6}$ và $g(x)=\dfrac{60}{{{x}^{2}}+32x+332}$ nhận giá trị trong khoảng này.
Thật vậy $\left| \dfrac{x}{{{x}^{2}}+6} \right|\le \left| \dfrac{x}{2\sqrt{6{{x}^{2}}}} \right|=\dfrac{1}{2\sqrt{6}}$
Mặt khác $0<\dfrac{80}{{{x}^{2}}+32x+332}=\dfrac{80}{{{(x+16)}^{2}}+76}\le \dfrac{80}{76}<\dfrac{\pi }{2}$
- Từ những đánh giá trên, (5) xảy ra khi và chỉ khi
$\dfrac{x}{{{x}^{2}}+6}=\dfrac{60}{{{x}^{2}}+32+332}\Leftrightarrow {{x}^{3}}-48{{x}^{2}}+332x-480=0\Leftrightarrow x=2\vee x=6\vee x=40.$
Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là $2 + 6 + 40 = 48.$
Câu 46: Đáp án C
- Đặt $t=2018-x,\,\,dt=-dx$. Khi đó
- $I=-\int\limits_{2018}^{0}{\frac{dt}{1+f(2018-t)}}=\int\limits_{0}^{2018}{\frac{dt}{1+\frac{1}{f(t)}}}=\int\limits_{0}^{2018}{\frac{(t)dt}{1+f(t)}}$
Do đó $2I=I+I=\int\limits_{0}^{2018}{\frac{1}{1+f(x)}dx+\int\limits_{0}^{2018}{\frac{f(x)}{1+f(x)}dx}}=\int\limits_{0}^{2018}{1dx}=2018$
Vậy $I=1019.$
Câu 47: Đáp án D
- Từ giả thiết ta có $6x+2y={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+5$ . Do đó,
$P=\frac{{{x}^{2}}+4xy+4{{y}^{2}}+x+2y+4}{x+2y+1}=x+2y+\frac{4}{x+2y+1}$
- Đặt $t=x+2y,\,\,P=t+\frac{4}{t+1}$ . Theo bất đẳng thức B.C.S, ta có
${{\left[ (x-3)+2(y-1) \right]}^{2}}\le 5\left[ {{(x-3)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}} \right]=25$
Suy ra $-5\le (x-3)+2(y-1)\le 5\Rightarrow 0\le t\le 10$
- Theo bất đẳng thức Cauchy
$t+1+\frac{4}{t+1}\ge 4\Rightarrow P\ge 3$
- Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
$t+1=\frac{4}{t+1}\Leftrightarrow t=1$
.Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y = 1\\
{(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow (x - 1 \wedge y = 0) \vee \left( {x = \frac{{17}}{5} \wedge y = - \frac{6}{5}} \right)$
$\begin{array}{l}
\sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(x - 2)}^2}} + \sqrt {{{(x - 5)}^2} + {{(x - 6)}^2}} = \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(x - 2)}^2}} + \sqrt {{{(5 - x)}^2} + {{(6 - x)}^2}} \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge \sqrt {{{(x - 1 + 6 - x)}^2} + {{(x - 2 + 5 - x)}^2}} \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge \sqrt {34} .
\end{array}$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{x-1}{6-x}=\dfrac{x-2}{5-x}\Leftrightarrow x=\dfrac{7}{2}$
- Mặt khác $\sqrt{{{(x-3)}^{2}}+{{(x-4)}^{2}}}=\sqrt{2{{x}^{2}}-14x+25}=\sqrt{2}\sqrt{{{\left( x-\dfrac{7}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{1}{4}}\ge \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=\dfrac{7}{2}$
- Từ hai trường hợp trên, ta thấy, giá trị nhỏ nhất của P là $\dfrac{1+2\sqrt{17}}{\sqrt{2}}$ . Khi đó $a+b=3.$
Câu 49: Đáp án B
- ${{V}_{1}}$ bằng thể tích khối trụ có bán kính đáy bằng 4 và chiều cao bằng 8 trừ bốn lần thể tích của vật tròn xoay tạo thành khi vật thể giới hạn bởi các đường $x=2\sqrt{y},\,\,x=0,\,\,y=0,\,\,x=4$ quay quanh trục Oy.
${{V}_{1}}=\pi {{.4}^{2}}.8-4\pi \int\limits_{0}^{4}{2ydy}=64\pi $
- Thể tích ${{V}_{2}}=\dfrac{4}{3}\pi ({{4}^{3}}-{{2}^{3}}-{{2}^{3}})=64\pi .$
Câu 50: Đáp án A
- Ta có $y'=\dfrac{{{m}^{2}}+1}{{{(x+1)}^{2}}}>0,\,\forall x\ne 1$ , nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định với mọi m.
- (C) cắt trục hoành tại $A({{m}^{2}};0)$ và cắt trục tung $B(0;-{{m}^{2}})$
- $S=-\int\limits_{0}^{{{m}^{2}}}{\dfrac{x-{{m}^{2}}}{x+1}dx}=({{m}^{2}}+1)\ln ({{m}^{2}}+1)-{{m}^{2}}$
- $S=1\Leftrightarrow ({{m}^{2}}+1).\left[ \ln ({{m}^{2}}+1)-1 \right]=0\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{e-1}.$
