Câu 39: Đáp án A
$f\left( x \right)$ là hàm chẵn $\Rightarrow \int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right).dx}=2\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=2.2018=4036$
$g\left( x \right)+g\left( -x \right)=1\Leftrightarrow f\left( x \right)\left[ g\left( x \right)+g\left( -x \right) \right]=f\left( x \right)\Leftrightarrow f\left( x \right).g\left( x \right)+f\left( x \right).g\left( -x \right)=f\left( x \right)$
$\Leftrightarrow \int\limits_{-1}^{1}{\left[ f\left( x \right).g\left( x \right)+f\left( x \right).g\left( -x \right) \right]dx}=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)dx}\Leftrightarrow \int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right).g\left( x \right)dx}+\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right).g\left( -x \right)dx}=4036\left( 1 \right)$
để tính $\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right).g\left( x \right)dx},$ đặt $t = - x \Rightarrow dx = - dt,\left\{ \begin{array}{l}
x = - 1 \Rightarrow t = 1\\
x = 1 \Rightarrow t = - 1
\end{array} \right.$
$\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right).g\left( -x \right)dx}=-\int\limits_{1}^{-1}{f\left( -t \right).g\left( t \right)dx}=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( -t \right).g\left( t \right)dx}=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( -x \right).g\left( x \right)dx}=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right).g\left( x \right)dx}\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) $\Rightarrow 2\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right).g\left( x \right)dx}=4036\Leftrightarrow \int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right).g\left( x \right)dx}=2018$
Câu 40: Đáp án B
Gắn hình lập phương $ABCD.ABCD$ vào hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: $\left\{ \begin{array}{l}
A' \equiv O\\
A'B' \equiv Ox\\
A'D' \equiv Oy\\
A'A \equiv Oz
\end{array} \right.$
Vì kết quả không bị ảnh hưởng bởi độ dài cạnh của lập phương nên để thuận tiện tính toán, ta cho $a=1$
$\Rightarrow A'\left( 0;0;0 \right),B\left( 1;0;1 \right),C\left( 1;1;1 \right),D\left( 0;1;1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{A'B}=\left( 1;0;1 \right),\overrightarrow{A'C}=\left( 1;1;1 \right),\overrightarrow{A'D}=\left( 0;1;1 \right)$
Khi đó $mp\left( BA'C \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left[ \overrightarrow{A'B},\overrightarrow{A'C} \right]=\left( -1;0;1 \right),$ $mp\left( DA'C \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ \overrightarrow{A'D},\overrightarrow{A'C} \right]=\left( 0;1;-1 \right)$
Vậy
$cos\left( {\left( {BA'C} \right),\left( {DA'C} \right)} \right) = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt 2 \sqrt 2 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\left( {BA'C} \right),\left( {DA'C} \right)} \right) = 60^\circ $
Câu 41: Đáp án A
Đặt $A=\int\limits_{3}^{4}{f'\left( x \right)dx}=\int\limits_{3}^{4}{\frac{1}{{{x}^{2}}+x-2}dx}=f\left( 4 \right)-f\left( 3 \right)$
$B=\int\limits_{-1}^{0}{f'\left( x \right)dx}=\int\limits_{-1}^{0}{\frac{1}{{{x}^{2}}+x-2}dx}=f\left( 0 \right)-f\left( 1 \right)$
$C=\int\limits_{-4}^{-3}{f'\left( x \right)dx}=\int\limits_{-4}^{-3}{\frac{1}{{{x}^{2}}+x-2}dx}=f\left( -3 \right)-f\left( -4 \right)$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow f\left( 4 \right) - f\left( 3 \right) + f\left( 0 \right) - f\left( { - 1} \right) + f\left( { - 3} \right) - f\left( { - 4} \right) = A + B + C\\
\Leftrightarrow f\left( { - 3} \right) - f\left( 3 \right) + f\left( 0 \right) - \left( {A + B + C} \right) = f\left( { - 4} \right) + f\left( { - 1} \right) - f\left( 4 \right)\\
\Leftrightarrow f\left( { - 4} \right) + f\left( { - 1} \right) - f\left( 4 \right) = \frac{1}{3} - \left( {A + B + C} \right)
\end{array}$
Dùng máy tính bỏ túi tính A, B, C và so sánh các đáp án $\Rightarrow f\left( -4 \right)+f\left( -1 \right)-f\left( 4 \right)=\frac{1}{3}\ln 2+\frac{1}{3}$
Câu 42: Đáp án B
Dùng máy tính bỏ túi tính $\int\limits_{0}^{1}{\frac{xdx}{\sqrt{5{{x}^{2}}+4}}=\frac{1}{5}\Rightarrow T={{1}^{2}}+{{5}^{2}}=26}$
Câu 43: Đáp án C
$\begin{array}{l}
2{\sin ^3}2x + m\sin 2x + 2m + 4 = 4co{s^2}2x \Leftrightarrow 2{\sin ^3}2x + m\sin 2x + 2m + 4 = 4\left( {1 - {{\sin }^2}2x} \right)\\
\Leftrightarrow 2{\sin ^3}2x + 4{\sin ^2}2x + m\sin 2x + 2m = 0
\end{array}$
Đặt $t = \sin 2x \Rightarrow t \in \left( {0;\frac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow t \in \left( {0;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right),$
ta được $\Leftrightarrow 2{{t}^{3}}+4{{t}^{2}}+mt+2m=0\Leftrightarrow \left( t+2 \right)\left( 2{{t}^{2}}+m \right)=0$
Vì $t\in \left( 0;\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\Rightarrow t+2>0,$ vậy $\left( t+2 \right)\left( 2{{t}^{2}}+m \right)=0\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}+m=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}=\dfrac{-m}{2}$
Với $t\in \left( 0;\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\Rightarrow 0\le {{t}^{2}}<\dfrac{3}{4},$ vậy để phương trình có nghiệm thì $0<\dfrac{-m}{2}<\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow -\dfrac{3}{2}<m<0$
$\Rightarrow m=-1\left( m\in \mathbb{Z} \right)\Rightarrow $ Có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 44: Đáp án D
Đặt độ dài $AB=b,$ chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: $B\equiv O,$ tia BA trùng với Ox, BC trùng với Oy, tia Bz song song với SA.
Khi đó: $B\left( 0;0;0 \right),A\left( b;0;0 \right),C\left( 0;2\text{a};0 \right),S\left( b;0;2a\sqrt{3} \right).$
M là trung điểm AC $\Rightarrow M\left( \dfrac{b}{2};a;0 \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{BA}=\left( b;0;0 \right),\overrightarrow{MS}=\left( \dfrac{b}{2};-a;2a\sqrt{3} \right),\overrightarrow{BM}=\left( \dfrac{b}{2};a;0 \right)$
Vậy $d\left( AB,SM \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{MS} \right].\overrightarrow{BM} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{MS} \right] \right|}\Rightarrow \dfrac{2a\sqrt{39}}{13}$
Câu 45: Đáp án D
$\left| z-5+3i \right|=3\Leftrightarrow \left| \dfrac{3iz-9-15i}{3i} \right|=3\Leftrightarrow \left| 3iz-9-15i \right|=3\left| 3i \right|=9$
$\left| iw+4+2i \right|=2\Leftrightarrow \left| \dfrac{-i}{2}\left( -2w-4+8i \right) \right|=2\Leftrightarrow \left| \dfrac{-i}{2} \right|.\left| -2w-4+8i \right|=2\Leftrightarrow \left| -2w-4+8i \right|=4$
Gọi A và B lần lượt là điểm biểu diễn của 3iz và $-2w\Rightarrow $ A, B lần lượt thuộc các đường tròn tâm $O(9;15)$ bán kính bằng 9 và đường tròn tâm $I(4;-8)$ bán kính bằng $4\Rightarrow OI=\sqrt{554}\text{ }$
Khi đó $T=\left| 3iz+2w \right|=\left| 3iz-\left( -2w \right) \right|=AB$
Yêu cầu bài toán trở thành tìm $A{{B}_{max}}$
Vì $OI=\sqrt{554}>4+9$
$\Rightarrow A{{B}_{max}}=AO+OI+IB=\sqrt{554}+13$
Câu 46: Đáp án C
$y=\dfrac{x+m}{mx+4}\Rightarrow y'=\dfrac{4-{{m}^{2}}}{{{\left( mx+4 \right)}^{2}}}$
Để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định thì $y'\ge 0\Leftrightarrow \dfrac{4-{{m}^{2}}}{{{\left( mx+4 \right)}^{2}}}\ge 0\Leftrightarrow 4-{{m}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow -2\le m\le 2$
$m=\pm 2\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}$ hoặc $y=-\dfrac{1}{2}$ là hàm hằng, không biến thiên.
Vậy giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $m\in \left\{ -1;0;1 \right\}$
Câu 47: Đáp án A
Gọi $h\left( h>0 \right)$ là chiều cao của lăng trụ.
$\Delta ABC$ vuông cân tại A, cạnh huyền $BC=a\sqrt{6}\Rightarrow AB=AC=a\sqrt{3}$
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: $A\equiv O,$ tia AB trùng với Ox, AC trùng với Oy, AA’ trùng với Oz.
Khi đó: $A\left( 0;0;0 \right),B\left( a\sqrt{3};0;0 \right),C\left( 0;a\sqrt{3};0 \right),$
$B'\left( a\sqrt{3};0;h \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\left( 0;a\sqrt{3};0 \right),\overrightarrow{BC}=\left( -a\sqrt{3};a\sqrt{3};0 \right),$
$\overrightarrow{B'C}=\left( a\sqrt{3};-a\sqrt{3};h \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left[ \overrightarrow{AC};\overrightarrow{B'C} \right]=\left( ha\sqrt{3};0;-3{{a}^{2}} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( AB'C \right)$
$\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ \overrightarrow{BC};\overrightarrow{B'C} \right]=\left( ha\sqrt{3};ha\sqrt{3};0 \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$
Vì $\left( \left( AB'C \right),\left( BCC'B' \right) \right)=60{}^\circ \Rightarrow cos\left( \left( AB'C \right),\left( BCC'B' \right) \right)=\left| cos\left( \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|$
$\begin{array}{l}
\frac{1}{2} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{3{a^2}{h^2}}}{{\sqrt {3{a^2}{h^2} + 9{a^4}} \sqrt {6{a^2}{h^2}} }} \Leftrightarrow \sqrt {3{a^2}{h^2} + 9{a^4}} \sqrt {6{a^2}{h^2}} = 6{a^2}{h^2} \Leftrightarrow \sqrt {3{a^2}{h^2} + 9{a^4}} = \sqrt {6{a^2}{h^2}} \\
\Leftrightarrow 3{a^2}{h^2} + 9{a^4} = 6{a^2}{h^2} \Leftrightarrow 9{a^4} = 3{a^2}{h^2} \Leftrightarrow {h^2} = 3{a^2} \Leftrightarrow h = a\sqrt 3
\end{array}$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = a\sqrt 3 .\frac{1}{2}{\left( {a\sqrt 3 } \right)^2} = \frac{{{a^3}3\sqrt 3 }}{2},{V_{B'.ABC}} = \frac{1}{3}a\sqrt 3 .\frac{1}{2}{\left( {a\sqrt 3 } \right)^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\\
\Rightarrow {V_{AB'CA'C'}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{B'.ABC}} = {a^3}\sqrt 3
\end{array}$
Câu 48: Đáp án D
$\left| z-1 \right|=5\Leftrightarrow \left| \overline{z}-1 \right|=5.$ Ta có:
$w=\left( 2+3i \right).\overline{z}+3+4i\Leftrightarrow \overline{z}=\dfrac{\text{w}-3-4i}{2+3i}\Leftrightarrow \overline{z}-1=\dfrac{\text{w}-5-7i}{2+3i}\Leftrightarrow \left| \overline{z}-1 \right|=\left| \dfrac{\text{w}-5-7i}{2+3i} \right|=5$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| \text{w}-5-7i \right|}{\left| 2+3i \right|}=5\Leftrightarrow \dfrac{\left| \text{w}-5-7i \right|}{\sqrt{13}}=5\Leftrightarrow \left| \text{w}-5-7i \right|=5\sqrt{13}$
Dễ thấy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm $(5;7),$ bán kính $5\sqrt{13}$
Câu 49: Đáp án C
$I=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{{{\left( 2ax+b \right)}^{2}}.{{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}}dx}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{{{\left( 2ax+b \right)}^{2}}.{{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}}\left( 2ax+b \right)dx}$
Đặt $a{x^2} + bx + c = t \Rightarrow \left( {2ax + b} \right)dx = dt,{\left( {2ax + b} \right)^2} = g\left( t \right),\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_1} \Rightarrow t = ax_1^2 + b{x_1} + c = 0\\
x = {x_2} \Rightarrow t = ax_2^2 + b{x_2} + c = 0
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow \int\limits_0^0 {g\left( t \right).{e^t}.dt} = 0$
Câu 50: Đáp án A
Gọi M là trung điểm của AC, E là chân đường phân giác trong góc C. Ta có:$CE:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 2t\\
y = 4 - t\\
z = 2 - t
\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {2 + 2t;4 - t;2 - t} \right).$
Mà $A(2;3;3),$
$\Rightarrow M\left( 2+t;\dfrac{7-t}{2};\dfrac{5-t}{2} \right).$ Vì M thuộc đường trung tuyến kẻ từ B có phương trình $\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z-2}{-1}$
$\Rightarrow \dfrac{2+t-3}{-1};\dfrac{\dfrac{7-t}{2}-3}{2};\dfrac{\dfrac{5-t}{2}-2}{-1}\Leftrightarrow t=1\Rightarrow C\left( 4;3;1 \right)$
Kẻ AH vuông góc với CE tại H, cắt BC tại $D\Rightarrow \Delta ACD$ cân tại C vậy H là trung điểm của AD.
$H\in CE\Rightarrow H\left( 2+2m;4-m;2-m \right)\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\left( 2m;1-m;-1-m \right),$ vectơ chỉ phương của CE là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;-1;-1 \right)$
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow 4m + m - 1 + m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = 0 \Rightarrow H\left( {2;4;2} \right) \Rightarrow D\left( {2;5;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CD} = \left( { - 2;2;0} \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 4 - 2k\\
y = 3 + 2k\\
z = 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\,M = CD \cap BM \Rightarrow \frac{{4 - 2k - 3}}{{ - 1}} = \frac{{3 + 2k - 3}}{2} = \frac{{1 - 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow k = 1 \Rightarrow D \equiv B\left( {2;5;1} \right)
\end{array}$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 0;2;-2 \right).\overrightarrow{u}=\left( m;n;-1 \right)$ là một vectơ chỉ phương của $AB\Rightarrow \overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{u}$ cùng phương.
$\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left( 0;1;-1 \right)\Rightarrow m=0;n=1.$ Vậy $T={{m}^{2}}+{{n}^{2}}=1$
