Ta có trung điểm M của AB là $M\left( {4;2;0} \right) \Rightarrow OM:\left\{ \begin{array}{l}
x = 4t\\
y = 2t\\
z = 0
\end{array} \right.$
Lại có $K\in OM\Rightarrow K\left( 4t;2t;0 \right)\Rightarrow \overline{AK}=\left( 4t-5;2t;0 \right)$
Suy ra $\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow 3\left( 4t-5 \right)+4.2t=0\Leftrightarrow t=\frac{3}{4}\Rightarrow K\left( 3;\frac{3}{2};0 \right)$
Vậy bán kính đường tròn cần tính $R=\frac{KM}{2}=\frac{\sqrt{5}}{4}$
Câu 43: Đáp án D
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD)
Ta có $SA=SO\Rightarrow \Delta SHA=\Delta SHO\left( c-g-c \right)\Rightarrow HA=HO$
$\Rightarrow \Delta HAO$ cân tại H, có $\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {HAO} = 30^\circ \\
OA = a
\end{array} \right. \Rightarrow HA = \frac{a}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow HD = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}$
Xác định góc $\widehat{SD;\left( ABCD \right)}=\widehat{SDH}=60{}^\circ \Rightarrow SH=2a$
Qua B kẻ đường thẳng $d//AC,K$ là hình chiếu của H trên d
$\Rightarrow AC//\left( SBK \right)\Rightarrow d\left( SB;AC \right)=d\left( AC;\left( SBK \right) \right)=d\left( A;\left( SBK \right) \right)$
Mặt khác $\frac{d\left( H;d \right)}{d\left( A;d \right)}=\frac{4}{3}\Rightarrow d\left( A;\left( SBK \right) \right)=\frac{3}{4}d\left( H;\left( SBK \right) \right)$
Vậy $d\left( A;\left( SBK \right) \right)=\frac{3}{4}\frac{SH.HK}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{K}^{2}}}}=\frac{3a}{4}\Rightarrow d\left( SB;AC \right)=\frac{3a}{4}$
Câu 44: Đáp án C
Câu 30: Đáp án A
phương trình $f\left( x \right)+m=0$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow -1<-m<2\Leftrightarrow -2<m<1$
Câu 31: Đáp án D
Do A và B là 2 biến cố độc lập với nhau nên $P\left( A.B \right)=P\left( A \right).P\left( B \right)=0,12$
Câu 32: Đáp án A
Ta có $d\left( AM;B'N \right)=d\left( ABC;A'B'C' \right)=AA'=2a$
Câu 33: Đáp án B
Đặt $\widehat{\text{CEF}}=\varphi \Rightarrow \widehat{\text{AED}}=90{}^\circ -\varphi $
KHI ĐO $AE=\frac{DE}{cos\left( 90{}^\circ -\varphi \right)};EC=\frac{EF}{cos\varphi }$
Do đó
$AC=\frac{2}{\sin \varphi }+\frac{2}{cos\varphi }\ge \frac{8}{\sin \varphi +cos\varphi }\ge \frac{8}{\sqrt{2}\sin \left( \varphi +\frac{\pi }{4} \right)}\ge 4\sqrt{2}$
Câu 34: Đáp án B
Dựng $\left\{ \begin{array}{l}
AE \bot BC\\
BC \bot SA
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SEA} \right)$
Do đo góc giữa 2 mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng $\widehat{SEA}$
Ta có $AE=\frac{BC}{2}=a;SA=a\Rightarrow \widehat{SEA}=45{}^\circ $
Câu 35: Đáp án D
$f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow x=2\Rightarrow $với $x\in \left[ 1;3 \right]$
$f\left( 1 \right)=m-2;f\left( 2 \right)=m-4;f\left( 3 \right)=m\Rightarrow \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=m-4$
Để với mọi bộ ba số phân biệt $a,b,c\in \left[ 1;3 \right]$ thì $f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( c \right)$ là ba cạnh của một tam giác thì $\left\{ \begin{array}{l}
10 > m > 4\\
f\left( a \right) + f\left( b \right) + f\left( c \right)\left( {\forall a,b,c \in \left[ {1;3} \right]} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
10 > m > 4\\
2\left( {m - 4} \right) \ge m
\end{array} \right. \Leftrightarrow 10 > m \ge 8 \Rightarrow m = \left\{ {8;9} \right\}$
Câu 36: Đáp án A
Ta có $y'=4{{x}^{3}}+4x\Rightarrow y'\left( 1 \right)=-8,y'\left( -1 \right)=2$
PTTT:$y=-8\left( x+1 \right)+2=-8x-6$
Câu 37: Đáp án B
Xét khai triển ${{\left( x-1 \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{x}^{n}}-C_{n}^{1}{{c}^{n-1}}+C_{n}^{2}{{x}^{n-2}}-...+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}{{x}^{0}}$
Chọn $x=3\Rightarrow $ ${{3}^{n}}C_{n}^{0}-{{3}^{n-1}}C_{n}^{1}+{{3}^{n-2}}C_{n}^{2}-...+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}=2048\Rightarrow n=11$
Hệ số của ${{x}^{10}}$ trong khai triển ${{\left( x+2 \right)}^{n}}$ là $C_{11}^{10}.2=22$
Câu 38: Đáp án C
Đặt $t={{2}^{x}}>0\Rightarrow {{t}^{2}}-2m-3=0$
Điều kiện phương trình có 2 nghiệm phân biệt là $\left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' = {m^2} - 3m + 3 > 0\\
S = 2m > 0\\
P = 3m - 3 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 1$
Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}
{2^{{x_1}}} = {t_1}\\
{2^{{x_2}}} = {t_2}
\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} = {\log _2}{t_1};{x_2} = {\log _2}{t_2}$
Để ${{x}_{1}}{{x}_{2}}<0\Rightarrow 0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}\Rightarrow \left( {{t}_{1}}-1 \right)\left( {{t}_{2}}-1 \right)<0\Leftrightarrow {{t}_{1}}{{t}_{2}}-{{t}_{1}}-{{t}_{2}}<0$
$\Leftrightarrow 3m-3-2m+1=m-2<0\Leftrightarrow m<2$
Vậy $m\in \left( 1;2 \right)$
Câu 39: Đáp án D
Gọi
$\begin{array}{l}
A\left( { - 1 + 2t; - 1 + t; - 1 + 3t} \right) \in {d_1}\\
B\left( {2 + u;2u;3 + 3u} \right)
\end{array}$
Khi đó $\overrightarrow{AB}=\left( 3+u-2t;2u-t;4+3u-3t \right)$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\
\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2\left( {3 + u - 2t} \right) + 1 + 2u - t + 3\left( {4 + 3u - 3t} \right) = 0\\
1\left( {3 + u - 2t} \right) + 2\left( {1 + 2u - t} \right) + 3\left( {4 + 3u - 3t} \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u = \frac{1}{3}\\
t = \frac{5}{3}
\end{array} \right.$
Suy ra $A\left( \frac{7}{3};\frac{2}{3};4 \right),B\left( \frac{7}{3};\frac{2}{3};4 \right)\Rightarrow {{d}_{1}}$ cắt ${{d}_{2}}$tại điểm $\left( \frac{7}{3};\frac{2}{3};4 \right)$do đó không tồn tại mặt cầu thỏa mãn
Câu 40: Đáp án B
Gọi $A\left( -1+2t;-1+t;2-t \right)\in {{d}_{1}};B\left( 1-u;2+u;3+3u \right)\in {{d}_{2}}$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {2 - u - 2t;3 + u - t;1 + 3u + t} \right)\\
do{\rm{ }}AB//d \Rightarrow \frac{{2 - u - 2t}}{1} = \frac{{3 + u - t}}{1} = \frac{{1 + 3u + t}}{{ - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = 1\\
u = - 1
\end{array} \right.
\end{array}$
$\Rightarrow \left( \Delta \right):\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$
Câu 41: Đáp án B
Ta có $y'=\frac{{{x}^{2}}+2x-m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}},\forall x\ne -1.$
Phương trình $y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-m=0\left( * \right)$
Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác $-1\Leftrightarrow m>-1$
Khi đó gọi $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số
Suy ra $\overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}};{{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)$ mà $\overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}};2{{x}_{2}}-2{{x}_{1}} \right)$
Do đó $AB=\sqrt{5{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}=5\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=5\Leftrightarrow $ ${{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=5$(1)
Theo hệ thức viet cho phương trình (*) ta được ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2;{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-m$(2)
Từ (1) và (2) suy ra ${{\left( -2 \right)}^{2}}+4m=5\Leftrightarrow m=\frac{1}{4}$ (thỏa mãn dk)
Chú ý: Đồ thị hàm số $y=\frac{a{{x}^{2}}+bx+c}{dx+e}$ có đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là $y=\frac{\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)'}{\left( dx+e \right)'}$
Câu 42: Đáp án A
Gọi K là trực tâm của tam giác OAB
Và M là trung điểm của $AB\Rightarrow OM\bot AB$ vì tam giác OAB cân
Mà $IH=\frac{1}{3}d\left( C;\left( AB \right) \right)=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow SI=\tan 60{}^\circ .\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{a}{2}$Gọi I là trọng tâm của tam giác ABC, H là hình chiếu vuông góc của I trên AB $\Rightarrow \widehat{\left( SAB \right);\left( ABCD \right)}=\widehat{SH;HI}=\widehat{SHI}=60{}^\circ $
Kẻ $IK\bot CD;IE\bot SK\Rightarrow IE\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( I;\left( SCD \right) \right)=IE$
Mà $IK=\frac{2}{3}d\left( B;\left( CD \right) \right)=\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow IE=\frac{SI.IK}{\sqrt{S{{I}^{2}}+I{{K}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{7}}{7}$
Vậy $d\left( B;\left( SCD \right) \right)=\frac{3}{2}d\left( I;\left( SCD \right) \right)=\frac{3a\sqrt{7}}{14}$
Câu 45: Đáp án C
Vì AB giao mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ tại $A\Rightarrow A\left( 1;2;0 \right)$
Điểm $B\in \left( AB \right)\Rightarrow B\left( t+3;t+4;-4t-8 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( t+2;t+2;-4t-8 \right)$
Mà
Gọi H là hình chiếu của B trên $\left( \alpha \right)$
Khi đó $BH=d\left( B;\left( \alpha \right) \right)=\frac{\left| 2-4-1 \right|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}
AB = 3\sqrt 2 \\
\widehat {ABC} = 60^\circ
\end{array} \right. \Rightarrow BC = 3\sqrt 2 cos60^\circ = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}$
Và BHC vuông tại H và BC là cạnh huyền $\Rightarrow BH<BC$
Mà $BH=BC=\frac{3\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow H\equiv C\Rightarrow C$ là hình chiếu của B trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$
phương trình BC $\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + t\\
y = 3\\
z = - 4 + t
\end{array} \right. \Rightarrow C \equiv BC \cap \left( \alpha \right) \Rightarrow C\left( {\frac{7}{2};3; - \frac{5}{2}} \right) \Rightarrow a + b + c = 4$
Câu 46: Đáp án C
Vì $\left( C\text{DD}'C' \right)//\left( ABB'A' \right)\Rightarrow \widehat{\left( ABCD \right);\left( C\text{DD}'C' \right)}=\widehat{\left( ABCD \right);\left( ABB'A' \right)}$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
B'D' = 3a\\
A'B' = a\sqrt 3
\end{array} \right. \Rightarrow AM = \sqrt {A'B{'^2} - {{\left( {\frac{{B'D'}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow A'C' = a\sqrt 3 \Rightarrow \Delta A'B'C'$ đều
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của C’, M trên $A'B'$
$\Rightarrow MK=\frac{1}{2}C'H\Rightarrow MK=\frac{1}{2}.\frac{A'B'.\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{4}$
Lại có $\left\{ \begin{array}{l}
A'B' \bot MK\\
A'B' \bot BM
\end{array} \right. \Rightarrow A'B' \bot \left( {BMK} \right) \Rightarrow A'B' \bot BK \Rightarrow \widehat {\left( {ABCD} \right);\left( {ABB'A'} \right)} = \widehat {BKM}$
Xét tam giác BKM vuông tại M, ta có $BM=\tan \widehat{BMK}.MK=\sqrt{\frac{1}{co{{s}^{2}}\alpha }-1}.\frac{3a}{4}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
khi đó ${{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}={{S}_{A'B'C'D'}}.BM=2{{S}_{A'B'C'}}.BM=2\frac{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{9{{a}^{3}}}{4}$
Câu 47: Đáp án D
Phương trình hoành độ giao điểm $\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = x + m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne - 1\\
\underbrace {{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m + 1}_{f\left( x \right)} = 0
\end{array} \right.$
Để (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt $ \Leftrightarrow f\left( x \right) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khác $ - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 3 + 2\sqrt 3 \\
m < 3 - 2\sqrt 3
\end{array} \right.$
Khi đó, gọi $A\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+m \right),B\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+m \right)$ là giao điểm của $\left( C \right)$ cắt d
Theo hệ thức viet ta có $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 1 - m\\
{x_1}.{x_2} = m + 1
\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}.{x_2} = {m^2} - 6m - 3\left( 1 \right)$
Do đó $AB\le 4\Leftrightarrow A{{B}^{2}}\le 16\Leftrightarrow 2{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}\le 16\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}.{{x}_{2}}\le 8\left( 2 \right)$
TỪ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ suy ra $0<{{m}^{2}}-6m-3\le 8,$ kết hợp với $m \in \left[ \begin{array}{l}
m = - 1\\
m = 7
\end{array} \right.$
Câu 48: Đáp án A
Ta có
Suy ra $P=\sqrt{lo{{g}_{3}}2}.\sqrt{{{\log }_{2}}a}+\sqrt{{{\log }_{2}}3}.\sqrt{{{\log }_{3}}b}$
$\Rightarrow {{P}^{2}}\le \left( {{\log }_{3}}2+{{\log }_{2}}3 \right)\left( {{\log }_{2}}a+{{\log }_{3}}b \right)={{\log }_{3}}2+{{\log }_{2}}3$ (bdt Bunhiacopxki)
$\Rightarrow P\le \sqrt{{{\log }_{3}}2+{{\log }_{2}}3}.$
Vậy giá trị lớn nhất là $\sqrt{{{\log }_{3}}2+{{\log }_{2}}3}$
Câu 49: Đáp án A
Ta có $y'=-\frac{1}{{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}}<0,\forall x\ne -\frac{3}{2}\Rightarrow $tiếp tuyến của đồ thị (C) đều có hệ số góc âm
Phương trình tiếp tuyến của (C) có dạng $\frac{x}{a}+\frac{b}{y}=1$ với $A\left( a;0 \right),B\left( 0;b \right)$
Tam giác OAB cân $ \Rightarrow OA = OB \Rightarrow \left| a \right| = \left| b \right| \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = b\\
a = - b
\end{array} \right.$
Mà d phải có hệ số góc âm nên $a=b\Rightarrow \left( d \right):\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1\Leftrightarrow y=-x+a$
Suy ra $k = - \frac{1}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} = - 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 2 \Rightarrow y\left( { - 2} \right) = 0\\
x = - 1 \Rightarrow y\left( { - 1} \right) = 1
\end{array} \right. \Rightarrow a = - 2.$
Vậy $\left( d \right):y=-x-2$
Câu 50: Đáp án D
Điểm $A\left( -1;0 \right)$ thuộc đồ thị hàm số $\left( C \right)\Rightarrow a+b+c=0$
Phương trình tiếp tuyến tại $A\left( -1;0 \right)$là $\left( d \right):y=y'\left( 1 \right)\left( x+1 \right)=\left( -4a-2b \right)\left( x+1 \right)$
Phương trình hoành độ giao điểm của (*) suy ra $\left( -4a-2b \right)\left( x+1 \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\left( * \right)$
Mà $x = 0,x = 2$ là nghiệm của (*) suy ra $\left\{ \begin{array}{l}
- 4a - 2b = c\\
- 12a - 6b = 16a + 4b + c
\end{array} \right.\left( 1 \right)$
Và $\frac{28}{5}=\int\limits_{0}^{2}{\left[ \left( -4a-2b \right)\left( x+1 \right)-a{{x}^{4}}-b{{x}^{2}}-c \right]}dx=4\left( -4a-2b \right)-\frac{32}{3}a-\frac{8}{3}b-2c=\frac{28}{5}\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ suy ra $a=1,b=-3,c=2\xrightarrow{{}}y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2$
Vậy diện tích cần tính là $S=\int\limits_{0}^{2}{\left| 2x+2-{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-2 \right|}dx=\frac{1}{5}$
