Loading [MathJax]/jax/input/TeX/config.js

Lời giải: Đề thi thử THPTQG môn Toán chuyên KHTN năm 2017-2018 trang 2

 

Suy ra $HKbot HMRightarrow H$ thuộc đường tròn đường kính KMMà H là trực tâm của tam giác $ABCRightarrow HKbot leftABCright$

Ta có trung điểm M của AB là $Mleft4;2;0right Rightarrow OM:left{ begin{array}{l}
x = 4t\
y = 2t\
z = 0
end{array} right.$ 

Lại có $Kin OMRightarrow Kleft4t;2t;0rightRightarrow overline{AK}=left4t5;2t;0right$

Suy ra $overrightarrow{AK}.overrightarrow{OB}=0Leftrightarrow 3left4t5right+4.2t=0Leftrightarrow t=frac{3}{4}Rightarrow Kleft3;frac32;0right$

Vậy bán kính đường tròn cần tính $R=frac{KM}{2}=frac{sqrt{5}}{4}$

Câu 43: Đáp án D

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD

Ta có $SA=SORightarrow Delta SHA=Delta SHOleftcgcrightRightarrow HA=HO$

$Rightarrow Delta HAO$ cân tại H, có $left{ begin{array}{l}
widehat {HAO} = 30^circ \
OA = a
end{array} right. Rightarrow HA = frac{a}{{sqrt 3 }} Rightarrow HD = frac{{2a}}{{sqrt 3 }}$ 

Xác định góc $widehat{SD;leftABCDright}=widehat{SDH}=60{}^circ Rightarrow SH=2a$

Qua B kẻ đường thẳng $d//AC,K$ là hình chiếu của H trên d

 

$Rightarrow AC//leftSBKrightRightarrow dleftSB;ACright=dleftAC;left(SBKright right)=dleftA;left(SBKright right)$

Mặt khác $frac{dleftH;dright}{dleftA;dright}=frac{4}{3}Rightarrow dleftA;left(SBKright right)=frac{3}{4}dleftH;left(SBKright right)$

Vậy $dleftA;left(SBKright right)=frac{3}{4}frac{SH.HK}{sqrt{S{{H}^{2}}+H{{K}^{2}}}}=frac{3a}{4}Rightarrow dleftSB;ACright=frac{3a}{4}$

Câu 44: Đáp án C

 

Câu 30: Đáp án A

phương trình $fleftxright+m=0$ có 3 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow -1<-m<2Leftrightarrow -2<m<1$

Câu 31: Đáp án D

Do A và B là 2 biến cố độc lập với nhau nên $PleftA.Bright=PleftAright.PleftBright=0,12$

 

Câu 32: Đáp án A

Ta có $dleftAM;BNright=dleftABC;ABCright=AA’=2a$

Câu 33: Đáp án B

Đặt $widehat{text{CEF}}=varphi Rightarrow widehat{text{AED}}=90{}^circ -varphi $

KHI ĐO $AE=frac{DE}{cosleft90circvarphiright};EC=frac{EF}{cosvarphi }$

Do đó

 $AC=frac{2}{sin varphi }+frac{2}{cosvarphi }ge frac{8}{sin varphi +cosvarphi }ge frac{8}{sqrt{2}sin leftvarphi+fracpi4right}ge 4sqrt{2}$

 

 

 

 

 

 

Câu 34: Đáp án B

Dựng  $left{ begin{array}{l}
AE bot BC\
BC bot SA
end{array} right. Rightarrow BC bot leftSEAright$

Do đo góc giữa 2 mặt phẳng $leftSBCright$ và $leftABCright$ bằng $widehat{SEA}$

Ta có $AE=frac{BC}{2}=a;SA=aRightarrow widehat{SEA}=45{}^circ $
Câu 35: Đáp án D

$f’leftxright=3{{x}^{2}}-6x=0Leftrightarrow x=2Rightarrow $với $xin left1;3right$

$fleft1right=m-2;fleft2right=m-4;fleft3right=mRightarrow underset{left1;3right}{mathop{min }},fleftxright=m-4$

Để với mọi bộ ba số phân biệt $a,b,cin left1;3right$ thì $fleftaright,fleftbright,fleftcright$ là ba cạnh của một tam giác thì  $left{ begin{array}{l}
10 > m > 4\
fleftaright + fleftbright + fleftcrightleftforalla,b,cinleft[1;3right]right
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
10 > m > 4\
2leftm4right ge m
end{array} right. Leftrightarrow 10 > m ge 8 Rightarrow m = left{ {8;9} right}$

Câu 36: Đáp án A

Ta có $y’=4{{x}^{3}}+4xRightarrow y’left1right=-8,y’left1right=2$

PTTT:$y=-8leftx+1right+2=-8x-6$

Câu 37: Đáp án B

Xét khai triển ${{leftx1right}^{n}}=C_{n}^{0}{{x}^{n}}-C_{n}^{1}{{c}^{n-1}}+C_{n}^{2}{{x}^{n-2}}-…+{{left1right}^{n}}C_{n}^{n}{{x}^{0}}$

Chọn $x=3Rightarrow $ ${{3}^{n}}C_{n}^{0}-{{3}^{n-1}}C_{n}^{1}+{{3}^{n-2}}C_{n}^{2}-…+{{left1right}^{n}}C_{n}^{n}=2048Rightarrow n=11$

Hệ số của ${{x}^{10}}$ trong khai triển ${{leftx+2right}^{n}}$ là $C_{11}^{10}.2=22$

 

Câu 38: Đáp án C

Đặt $t={{2}^{x}}>0Rightarrow {{t}^{2}}-2m-3=0$

Điều kiện phương trình có 2 nghiệm phân biệt là $left{ begin{array}{l}
Delta ‘ = {m^2} – 3m + 3 > 0\
S = 2m > 0\
P = 3m – 3 > 0
end{array} right. Leftrightarrow m > 1$ 

Khi đó $left{ begin{array}{l}
{2^{{x_1}}} = {t_1}\
{2^{{x_2}}} = {t_2}
end{array} right. Rightarrow {x_1} = {log _2}{t_1};{x_2} = {log _2}{t_2}$ 

Để ${{x}_{1}}{{x}_{2}}<0Rightarrow 0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}Rightarrow leftt11rightleftt21right<0Leftrightarrow {{t}_{1}}{{t}_{2}}-{{t}_{1}}-{{t}_{2}}<0$

$Leftrightarrow 3m-3-2m+1=m-2<0Leftrightarrow m<2$

Vậy $min left1;2right$

Câu 39: Đáp án D

Gọi

$begin{array}{l}
Aleft1+2t;1+t;1+3tright in {d_1}\
Bleft2+u;2u;3+3uright
end{array}$ 

Khi đó $overrightarrow{AB}=left3+u2t;2ut;4+3u3tright$

Ta có $left{ begin{array}{l}
overrightarrow {AB} .overrightarrow {{u_1}}  = 0\
overrightarrow {AB} .overrightarrow {{u_2}}  = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2left3+u2tright + 1 + 2u – t + 3left4+3u3tright = 0\
1left3+u2tright + 2left1+2utright + 3left4+3u3tright = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
u = frac{1}{3}\
t = frac{5}{3}
end{array} right.$ 

Suy ra $Aleftfrac73;frac23;4right,Bleftfrac73;frac23;4rightRightarrow {{d}_{1}}$ cắt ${{d}_{2}}$tại điểm $leftfrac73;frac23;4right$do đó không tồn tại mặt cầu thỏa mãn

Câu 40: Đáp án B

Gọi $Aleft1+2t;1+t;2trightin {{d}_{1}};Bleft1u;2+u;3+3urightin {{d}_{2}}$

$begin{array}{l}
 Rightarrow overrightarrow {AB}  = left2u2t;3+ut;1+3u+tright\
do{rm{ }}AB//d Rightarrow frac{{2 – u – 2t}}{1} = frac{{3 + u – t}}{1} = frac{{1 + 3u + t}}{{ – 1}} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
t = 1\
u =  – 1
end{array} right.
end{array}$

$Rightarrow leftDeltaright:frac{x-1}{1}=frac{y}{1}=frac{z-1}{-1}$

 

Câu 41: Đáp án B

Ta có $y’=frac{{{x}^{2}}+2x-m}{{{leftx+1right}^{2}}},forall xne -1.$

Phương trình $y’=0Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-m=0leftright$

Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị $y’=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác $-1Leftrightarrow m>-1$

Khi đó gọi $Aleftx1;y1right,Bleftx2;y2right$ là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số

Suy ra $overrightarrow{AB}=leftx2x1;y2y1right$ mà  $overrightarrow{AB}=leftx2x1;2x22x1right$

Do đó $AB=sqrt{5{{leftx2x1right}^{2}}}=5Leftrightarrow {{leftx1x2right}^{2}}=5Leftrightarrow $ ${{leftx1+x2right}^{2}}-4{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=5$1

Theo hệ thức viet cho phương trình ta được ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2;{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-m$2

Từ 12 suy ra ${{left2right}^{2}}+4m=5Leftrightarrow m=frac{1}{4}$ thamãndk

Chú ý: Đồ thị hàm số $y=frac{a{{x}^{2}}+bx+c}{dx+e}$ có đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là $y=frac{leftax2+bx+cright’}{leftdx+eright’}$

Câu 42: Đáp án A

Gọi K là trực tâm của tam giác OAB

Và M là trung điểm của $ABRightarrow OMbot AB$ vì tam giác OAB cân

 

 

 

 

 

 

 


Mà $IH=frac{1}{3}dleftC;left(ABright right)=frac{1}{3}frac{asqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{6}Rightarrow SI=tan 60{}^circ .frac{asqrt{3}}{6}=frac{a}{2}$
Gọi  I là trọng tâm của tam giác ABC, H là hình chiếu vuông góc của I trên AB $Rightarrow widehat{leftSABright;leftABCDright}=widehat{SH;HI}=widehat{SHI}=60{}^circ $

Kẻ $IKbot CD;IEbot SKRightarrow IEbot leftSCDrightRightarrow dleftI;left(SCDright right)=IE$

Mà $IK=frac{2}{3}dleftB;left(CDright right)=frac{2}{3}frac{asqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{3}Rightarrow IE=frac{SI.IK}{sqrt{S{{I}^{2}}+I{{K}^{2}}}}=frac{asqrt{7}}{7}$

Vậy $dleftB;left(SCDright right)=frac{3}{2}dleftI;left(SCDright right)=frac{3asqrt{7}}{14}$

Câu 45: Đáp án C

Vì AB giao mặt phẳng $leftalpharight$ tại $ARightarrow Aleft1;2;0right$

Điểm $Bin leftABrightRightarrow Bleftt+3;t+4;4t8rightRightarrow overrightarrow{AB}=leftt+2;t+2;4t8right$

Mà 

Gọi H là hình chiếu của B trên $leftalpharight$

Khi đó $BH=dleftB;left(alpharight right)=frac{left| 2-4-1 right|}{sqrt{2}}=frac{3sqrt{2}}{2}$

Vì $left{ begin{array}{l}
AB = 3sqrt 2 \
widehat {ABC} = 60^circ 
end{array} right. Rightarrow BC = 3sqrt 2 cos60^circ  = frac{{3sqrt 2 }}{2}$ 

Và BHC vuông tại H và BC là cạnh huyền $Rightarrow BH<BC$

Mà $BH=BC=frac{3sqrt{2}}{2}Leftrightarrow Hequiv CRightarrow C$ là hình chiếu của B trên mặt phẳng $leftalpharight$

 phương trình BC $left{ begin{array}{l}
x = 2 + t\
y = 3\
z =  – 4 + t
end{array} right. Rightarrow C equiv BC cap leftalpharight Rightarrow Cleftfrac72;3;frac52right Rightarrow a + b + c = 4$ 

Câu 46: Đáp án C

Vì $leftCtextDDCright//leftABBArightRightarrow widehat{leftABCDright;leftCtextDDCright}=widehat{leftABCDright;leftABBAright}$

Ta có $left{ begin{array}{l}
B’D’ = 3a\
A’B’ = asqrt 3 
end{array} right. Rightarrow AM = sqrt {A’B{‘^2} – {{leftfracBD2right}^2}}  = frac{{asqrt 3 }}{2} Rightarrow A’C’ = asqrt 3  Rightarrow Delta A’B’C’$ đều

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của C’, M trên $A’B’$

$Rightarrow MK=frac{1}{2}C’HRightarrow MK=frac{1}{2}.frac{A’B’.sqrt{3}}{2}=frac{3a}{4}$

Lại có $left{ begin{array}{l}
A’B’ bot MK\
A’B’ bot BM
end{array} right. Rightarrow A’B’ bot leftBMKright Rightarrow A’B’ bot BK Rightarrow widehat {leftABCDright;leftABBAright} = widehat {BKM}$ 

Xét tam giác BKM vuông tại M, ta có $BM=tan widehat{BMK}.MK=sqrt{frac{1}{co{{s}^{2}}alpha }-1}.frac{3a}{4}=frac{asqrt{3}}{2}$

khi đó ${{V}_{ABCD.A’B’C’D’}}={{S}_{A’B’C’D’}}.BM=2{{S}_{A’B’C’}}.BM=2frac{{{leftasqrt3right}^{2}}sqrt{3}}{4}.frac{asqrt{3}}{2}=frac{9{{a}^{3}}}{4}$

Câu 47: Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm $frac{{2x – 1}}{{x + 1}} = x + m Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ne  – 1\
underbrace {{x^2} + leftm1rightx + m + 1}_{fleftxright} = 0
end{array} right.$

Để C cắt d tại 2 điểm phân biệt $ Leftrightarrow fleftxright = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khác $ – 1 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m > 3 + 2sqrt 3 \
m < 3 – 2sqrt 3 
end{array} right.$ 

Khi đó, gọi $Aleftx1;x1+mright,Bleftx2;x2+mright$ là giao điểm của $leftCright$ cắt d

Theo hệ thức viet ta có $left{ begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 1 – m\
{x_1}.{x_2} = m + 1
end{array} right. Rightarrow {leftx1+x2right^2} – 4{x_1}.{x_2} = {m^2} – 6m – 3left1right

Do đó $ABle 4Leftrightarrow A{{B}^{2}}le 16Leftrightarrow 2{{leftx1x2right}^{2}}le 16Leftrightarrow {{leftx1+x2right}^{2}}-4{{x}_{1}}.{{x}_{2}}le 8left2right$

TỪ $left1right,left2right$ suy ra $0<{{m}^{2}}-6m-3le 8,$ kết hợp với $m in left[ begin{array}{l}
m =  – 1\
m = 7
end{array} right.$ 

 

Câu 48: Đáp án A

Ta có  

Suy ra $P=sqrt{lo{{g}_{3}}2}.sqrt{{{log }_{2}}a}+sqrt{{{log }_{2}}3}.sqrt{{{log }_{3}}b}$

$Rightarrow {{P}^{2}}le leftlog32+log23rightleftlog2a+log3bright={{log }_{3}}2+{{log }_{2}}3$ bdtBunhiacopxki

$Rightarrow Ple sqrt{{{log }_{3}}2+{{log }_{2}}3}.$

Vậy giá trị lớn nhất là $sqrt{{{log }_{3}}2+{{log }_{2}}3}$

Câu 49: Đáp án A

Ta có $y’=-frac{1}{{{left2x+3right}^{2}}}<0,forall xne -frac{3}{2}Rightarrow $tiếp tuyến của đồ thị C đều có hệ số góc âm

Phương trình tiếp tuyến của C có dạng $frac{x}{a}+frac{b}{y}=1$ với $Alefta;0right,Bleft0;bright$

Tam giác OAB cân $ Rightarrow OA = OB Rightarrow left| a right| = left| b right| Rightarrow left[ begin{array}{l}
a = b\
a =  – b
end{array} right.$ 

Mà d phải có hệ số góc âm nên $a=bRightarrow leftdright:frac{x}{a}+frac{y}{a}=1Leftrightarrow y=-x+a$

Suy ra $k =  – frac{1}{{{{left2x+3right}^2}}} =  – 1 Rightarrow left[ begin{array}{l}
x =  – 2 Rightarrow yleft2right = 0\
x =  – 1 Rightarrow yleft1right = 1
end{array} right. Rightarrow a =  – 2.$ 

Vậy $leftdright:y=-x-2$

Câu 50: Đáp án D

Điểm $Aleft1;0right$ thuộc đồ thị hàm số $leftCrightRightarrow a+b+c=0$

Phương trình tiếp tuyến tại $Aleft1;0right$là $leftdright:y=y’left1rightleftx+1right=left4a2brightleftx+1right$

Phương trình hoành độ giao điểm của suy ra $left4a2brightleftx+1right=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+cleftright$

Mà $x = 0,x = 2$ là nghiệm của suy ra $left{ begin{array}{l}
 – 4a – 2b = c\
 – 12a – 6b = 16a + 4b + c
end{array} right.left1right$

Và $frac{28}{5}=intlimits_{0}^{2}{leftleft(4a2bright)left(x+1right)ax4bx2cright}dx=4left4a2bright-frac{32}{3}a-frac{8}{3}b-2c=frac{28}{5}left2right$

Từ $left1right,left2right$ suy ra $a=1,b=-3,c=2xrightarrow{{}}y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2$

Vậy diện tích cần tính là $S=intlimits_{0}^{2}{left| 2x+2-{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-2 right|}dx=frac{1}{5}$

 

 

 

 

 

 

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *