Câu 30: Đáp án D
Câu 31: Đáp án D
Chiều cao khối trụ $h=10$.
Bán kính đáy: $R=\frac{{{S}_{xq}}}{2\pi h}=4\Rightarrow V=\pi {{R}^{2}}h=160\pi .$
Câu 32: Đáp án B
Ta có: $y'=3{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x-3m$ Hàm số đạt cực trị tại ${{x}_{0}}=1\Rightarrow y'\left( 1 \right)=3+2m-2-3m=0\Leftrightarrow m=1.$
Câu 33: Đáp án D
Dễ thấy $f'\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( x-2 \right)$
Do $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm $x=2$ nên $f\left( x \right)$ đạt cực trị tại $x=2$
Hàm số $f\left( x \right)$nghịch biến trên $\left( -\infty ;2 \right)\,\,\,do\,\,\,f\left( x \right)<0\,\,\left( \forall x<2 \right).$
Đặt $t=2-{{x}^{2}}\Rightarrow g\left( x \right)=f\left( t \right)\Rightarrow g'\left( x \right)=f'\left( t \right).t\left( x \right)=f'\left( 2-{{x}^{2}} \right).\left( -2x \right)$
$={{\left( 2-{{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}\left( 2-{{x}^{2}}-2 \right).\left( -2x \right)={{\left( 3-{{x}^{2}} \right)}^{2}}.2{{x}^{3}}\Rightarrow g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right).$
Câu 34: Đáp án C
Xét hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3$ có đồ thị như hình vẽ. 
Dựa vào đồ thị suy ra PT có 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow -4<m<-3.$
Câu 35: Đáp án B
${\log _a}b > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a;b > 1\\
0 < a;b < 1
\end{array} \right..$
Câu 36: Đáp án C
TXĐ: $D=\left[ -\infty ;1 \right)\cup \left[ 5;+\infty \right)$ Ta có: $y'=\frac{2x-6}{2\sqrt{{{x}^{2}}-6x+5}}>0\Rightarrow x>3.$
Kết hợp với TXĐ suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 5;+\infty \right)$
Câu 37: Đáp án A
Ta có: $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim \,}}\,y=-2\Rightarrow y=-2.$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Câu 38: Đáp án B
Do mặt bên ABB’A’ là hình thoi nên $\text{AA}'=a$
Khi đó $A'AC$ là tam giác đều
Do đó $A'C=a.$ Xét hình chóp A’B’C’C có $A'B=A'C=A'C=a$
Do hình chiếu của A’xuống mặt đáy $\left( B'C'C \right)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác B’C’C.
Ta có: $c\text{os}\,\widehat{B'C'C}=\frac{B'C{{'}^{2}}+CC{{'}^{2}}-B'{{C}^{2}}}{2.B'C'.CC'}=\frac{5}{8}\Rightarrow \sin \widehat{B'C'C}=\frac{\sqrt{39}}{8}$
${{S}_{B'C'C}}=\frac{1}{2}C'B'.C'C\sin C'=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{39}}{16};{{R}_{B'C'C}}=\frac{B'C}{2\sin C'}=\frac{2a}{\sqrt{13}}$
Do đó $h=\sqrt{A'C{{'}^{2}}-{{R}^{2}}}=\frac{3a}{\sqrt{13}}\Rightarrow {{V}_{A'B'C'C}}=\frac{1}{3}h.{{S}_{d}}=\frac{\sqrt{3}}{16}$
Khi đó ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=3{{V}_{A'B'C'C}}=\frac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{16}.$
Câu 39: Đáp án D
Ta có: $y'=1+2{{e}^{2x}}>0\left( \forall x\in \left[ 0;1 \right] \right)$ nên hàm số đã cho đồng biến trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ Do đó $\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{M\text{ax}}}\,y=y\left( 1 \right)=1+{{e}^{2}}.$
Câu 40: Đáp án D
Ta có: $\widehat{SCH}={{45}^{\circ }};HC=\sqrt{H{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}$
Do đó $SH=HC=a\sqrt{2}\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
Câu 41: Đáp án A
Câu 42: Đáp án C
Ta có $y'=-3{{x}^{2}}+6x-m;\forall x\in \mathbb{R}$
Hàm số đã cho nghịch biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow y'\le 0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+6x-m\le 0;\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow -m\le 3{{x}^{2}}-6x,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow -m\le \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,\left\{ 3{{x}^{2}}-6x \right\}\Leftrightarrow -m\le -3\Leftrightarrow m\ge 3.$
Câu 43: Đáp án C
Thể tích khối trụ mới là $V={{2}^{2}}.24\pi =96\pi .$
Câu 44: Đáp án B
Theo giả thiết , ta có bán kính đáy $R=\frac{3a}{2};$ chiều cao $h=3a.$
Vậy diện tích toàn phần cần tính là ${{S}_{tp}}=2\pi Rh+2\pi {{R}^{2}}=\frac{27\pi {{a}^{2}}}{2}$
Câu 45: Đáp án D
Tam giác SAB vuông tại A $\Rightarrow SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}$
Thể tích khối chóp S.ABCD là $V=\frac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.a\sqrt{2}.{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
Câu 46: Đáp án A
Với $a>1,$ ta có ${{a}^{-\sqrt{3}}}>{{a}^{-\sqrt{5}}}\Leftrightarrow {{a}^{-\sqrt{3}}}>\frac{1}{{{a}^{\sqrt{5}}}}.$
Câu 47: Đáp án B
Xét hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với $AB=a;A\,A'=b.$
Mặt cầu (S) đi qua các đỉnh của hình lăng trụ chính là mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A’.ABC.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là ${{R}_{\Delta ABC}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A’.ABC là $R=\sqrt{{{R}^{2}}_{\Delta ABC}+\frac{A\,A{{'}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{\left( \frac{a3}{3} \right)}^{2}}+\frac{{{b}^{2}}}{4}}=\frac{\sqrt{4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}}}{2\sqrt{3}}$
Vậy thể tích khối cầu cần tính là $V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{\pi }{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}.$
Câu 48: Đáp án A
Hàm số cần tìm là $y={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+3.$
Câu 49: Đáp án C
Gọi H là trung điểm của $AC\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right).$ Suy ra $\widehat{SB;\left( ABC \right)}=\widehat{\left( SB;HB \right)}=\widehat{SHB}={{45}^{\circ }}\Rightarrow SH=BH.$
Tam giác ABC vuông cân tại $B\Rightarrow AC=a\sqrt{2}\Rightarrow BH=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$
Thể tích khối chóp S.ABC là $V=\frac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{{{a}^{2}}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$
Câu 50: Đáp án A
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi ${x^2} - 3x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 1\\
x \ne 2
\end{array} \right..$ Vậy $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1;2 \right\}.$
