Câu 1: Đáp án A
Câu 2: Đáp án C
Câu 3: Đáp án B
Câu 4: Đáp án D
Câu 5: Đáp án D
Câu 6: Đáp án A
Câu 7: Đáp án D
Câu 8: Đáp án D
Câu 9: Đáp án A
Câu 10: Đáp án A
Câu 11: Đáp án A
Câu 12: Đáp án C
- Số phần tử không gian mẫu là ${{6}^{3}}=216.$
- Các bộ ba số lập thành một cấp số cộng là $(1,2,3),\,(2,3,4),\,(3,4,5),\,(4,5,6)$ . Bốn trường hợp trên với các hoán vị sẽ có $4\cdot 6$ .
- Xác suất cần tìm là$\dfrac{24}{216}=\dfrac{1}{9}.$
Câu 13: Đáp án D
Câu 14: Đáp án A
Câu 15: Đáp án A
Câu 16: Đáp án D
Câu 17: Đáp án B
- Ta có $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x+3}{{{x}^{2}}-x-m}$ , nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y=0$ .
- Điều kiện cần đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là phương trình ${{x}^{2}}-x-m=0$ có đúng một nghiệm $x=-3$ hay có hai nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm là $-3$ . Tức ${{3}^{2}}+3-m=0$ hoặc $\Delta =0$ . Từ đây $m=12$ hoặc $m=-\dfrac{1}{4}$
- Với $m=12$, hàm số thành $y=\dfrac{x+3}{{{x}^{2}}-x-12}=\dfrac{x+3}{(x+3)(x-4)}$ . Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là $y=0$ và $x=4$ .
- Với $m=-\dfrac{1}{4}$, hàm số thành $y=\dfrac{x+3}{{{(x-\dfrac{1}{2})}^{2}}}$ . Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là $y=0$ và $x=\dfrac{1}{2}$ .
Câu 18: Đáp án B
Câu 19: Đáp án C
Câu 20: Đáp án D
Câu 21: Đáp án D
${{A}_{1}}A=\sqrt{{{A}_{1}}{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=\sqrt{5-4}=1.$
$\tan {{A}_{1}}MA=\dfrac{{{A}_{1}}A}{AM}=\dfrac{1}{2.\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$
|
|
Câu 22: Đáp án D
- $y=-{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-m.\,\,\,y'=-3{{x}^{2}}+2mx=x(-3x+2m).$
- $y'=0\Leftrightarrow x=0\vee x=\dfrac{2m}{3}.$
- Hàm số đồng biến trên khoảng $(1;2)$ khi và chỉ khi $0<1<2\le \dfrac{2m}{3}\Leftrightarrow m\ge 3.$
Câu 23: Đáp án C
Câu 24: Đáp án C
Câu 25: Đáp án B
Câu 26: Đáp án C
Phương trình mặt phẳng (ABC) là $2x+3y-6z+6=0$ .
Câu 27: Đáp án D
- Ta có $b={{a}^{3/2}},\,\,c={{d}^{5/4}}$. Giả sử $a={{x}^{2}},\,\,b={{y}^{4}}$ với x, y là các số nguyên dương.
- Ta có $a-c={{x}^{2}}-{{y}^{4}}=(x-{{y}^{2}}).(x+{{y}^{2}})=9.$
Suy ra $(x-{{y}^{2}};x+{{y}^{2}})=(1;9)$. Dễ dàng suy ra $x=5,\,\,y=2.$
- Do đó, $b-d={{x}^{3}}-{{y}^{5}}=93.$
Câu 28: Đáp án B
Gọi $M(x;y)$ biểu diễn cho z, ta có hệ
$\left\{ \begin{array}{l}
3x - 4y + 12 = 0\\
{(x - 1)^2} + {(y - 10)^2} = 25
\end{array} \right.$
Để ý đường thẳng $3x-4y+12=0$ tiếp xúc với đường tròn ${{(x-1)}^{2}}+{{(y-10)}^{2}}=25$ , nên chỉ có một số phức.
Câu 29: Đáp án A
- Thay $x=1$ vào giả thiết đã cho, ta được
${{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{1}}+...+{{a}_{2n}}=1.$ (1)
- Thay $x=-1$ vào giả thiết đã cho, ta được
${{a}_{0}}-{{a}_{1}}+{{a}_{2}}-...+{{a}_{2n}}={{3}^{n}}.$ (2)
- Cộng (1) và (2), ta có
${3^n} + 1 = 2({a_0} + {a_2} + {a_4} + ... + {a_{2n}})$
Hay $s=\dfrac{{{3}^{n}}+1}{2}.$
Câu 30: Đáp án C
|
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có AC vuông góc với mặt phẳng (SBD) tại O. Kẻ OH vuông góc với SB, thì OH là khoảng cách cần tìm. Tam giác SOB vuông cân tại O, nên $OH=\dfrac{SB}{2}=\dfrac{a}{2}.$ |
|
Câu 31: Đáp án C
Câu 32: Đáp án B
Câu 33: Đáp án D
- Mặt phẳng cần tìm sẽ vuông góc với (ABM). Một vecto pháp tuyến của nó là tích có hướng của vecto pháp tuyến mặt phẳng (ABM) và $\overrightarrow{AB.}$
- Cũng có thể làm như sau: Khoảng cách lớn nhất là MH với H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng AB. Ta tìm được $H(3;-3;-10)$.
Câu 34: Đáp án A
- Chú ý với mọi số nguyên dương k, ta có
$\dfrac{1}{k\sqrt{k+1}+(k+1)\sqrt{k}}=\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}$
Lần lượt thay $k=1,2,...,n$ , cộng lại ta được ${{S}_{n}}=1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$
Do đó, $\lim {{S}_{n}}=1.$
Câu 35: Đáp án C
Tâm $T(-5;-1;-7)$ , bán kính $r=24$
Câu 36: Đáp án A
- Ba số đã cho lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
${{25}^{x}}+{{25}^{-x}}+{{5}^{x+1}}+{{5}^{1-x}}=a$ (3)
- Đặt $t={{5}^{x}}+{{5}^{-x}},\,t\ge 2$, (3) trở thành ${{t}^{2}}+5t-2=a$ (4)
- Lập bảng biến thiên của hàm số $f(t)={{t}^{2}}+5t-2$ trên nửa khoảng $\left[ 2;+\infty \right)$ , (4) có nghiệm khi và chỉ khi $a\ge 12.$
Câu 37: Đáp án A
- Ta có ${{V}_{{{C}_{1}}KMN}}={{V}_{M.{{C}_{1}}KN}}.$
- $M{{B}_{1}}$ vuông góc $(BC{{C}_{1}}{{B}_{1}})$ , nên
${{V}_{M{{C}_{1}}KN}}=\dfrac{1}{3}.M{{B}_{1}}.{{S}_{{{C}_{1}}KN}}.$
${S_{{C_1}KN}} = {S_{BC{C_1}{B_1}}} - {S_{K{B_1}{C_1}}} - {S_{NC{C_1}}} - {S_{KBN}}$
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,60-15-15-\dfrac{15}{2}$
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,\dfrac{45}{2}.$
- ${{V}_{M{{C}_{1}}KN}}=\dfrac{1}{3}.2.\dfrac{45}{2}=15.$
Câu 38: Đáp án A
- Ta có $AM\bot (SBC),$ nên ${{V}_{AMNC}}=\dfrac{1}{3}.AM.{{S}_{MNC}}.$
- $SC\bot (AMN),$ nên tam giác MNC vuông tại N. Do đó
-
${{V}_{AMNC}}=\dfrac{1}{6}\cdot AM\cdot MN\cdot NC=\dfrac{1}{6}\cdot AM\cdot \sqrt{A{{N}^{2}}-A{{M}^{2}}}\cdot \sqrt{A{{C}^{2}}-A{{N}^{2}}},$
ở đây $AM=\dfrac{12}{5},\,\,AN=\dfrac{20\sqrt{41}}{41},\,\,AC=5.$
Câu 39: Đáp án A
Cách 1: Gọi O là tâm của đáy. Ta có
$S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}=2.S{{O}^{2}}+\dfrac{A{{C}^{2}}}{2}$ và $S{{B}^{2}}+S{{D}^{2}}=2.S{{O}^{2}}+\dfrac{B{{D}^{2}}}{2}$
Do ABCD là hình chữ nhật, nên AC = BD. Từ những điều trên, ta có
$S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}=S{{B}^{2}}+S{{D}^{2}}$
Cách 2: Gọi SH là chiều cao của hình chóp S.ABC. Đường thẳng qua H và song song với các cạnh AB, BC cắt các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại M, P, N, Q như hình vẽ. Đặt SH = h, BP = x, PC = y, CN = z, ND = t. Ta có
$\begin{array}{l}
S{A^2} = S{H^2} + A{H^2} = {h^2} + {x^2} + {t^2},\\
S{B^2} = S{H^2} + B{H^2} = {h^2} + {x^2} + {z^2},\\
S{C^2} = S{H^2} + C{H^2} = {h^2} + {y^2} + {z^2},\\
S{D^2} = S{H^2} + D{H^2} = {h^2} + {y^2} + {t^2}.
\end{array}$
Do đó, $S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}=2{{h}^{2}}+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+{{t}^{2}}=S{{B}^{2}}+S{{D}^{2}}.$
Chú ý: Cách chứng minh cho trường hợp này cũng đúng khi H nằm ngoài miền của hình chữ nhật.
Lời bình: Có lẽ, việc xét hình chóp với SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) dễ dàng cho ta nhận xét là $S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}=S{{B}^{2}}+S{{D}^{2}}.$
Câu 40: Đáp án C
Gọi A, B, C là tâm của các mặt cầu bán kính bằng 1 và S là tâm của mặt cầu bán kính bằng 2. Ta có
$AB=BC=CA=2,\,\,\,SA=SB=SC=1+2=3.$
Do đó, hình chóp S.ABC là hình chóp đều. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, thì $SG\bot (ABC)$ . Ta có
$SG=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{G}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}-{{\left( \frac{2}{3}.\frac{2\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{69}}{3}.$
Khoảng cách lớn nhất là $\frac{\sqrt{69}}{3}+2+1=\frac{\sqrt{69}}{3}+3.$
