Câu 1: Chọn B.
Theo định lý sin trong tam giác, ta có $\dfrac{a}{\sin A}=2R$
Câu 2: Chọn D.
- Hàm số $y=2x-3$ có hệ số $a=2>0$ nên hàm số đồng biến trên $R\Rightarrow \left( I \right)$ đúng
- Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
y = 2x - 3\\
2x + y - 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{3}{2}\\
y = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left( d \right)$
cắt đồ thị hàm số $2x+y-3=0$ tại điểm $\left( \frac{3}{2};0 \right)\Rightarrow \left( II \right)$ sai.
- Giao $Ox$: cho$y=0\Leftrightarrow 2x-3=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\Rightarrow$ giao $Ox$tại điểm $\left( \frac{3}{2};0 \right)\Rightarrow \left( III \right)$ sai
Vậy sô các phát biểu đúng là 1.
Câu 3: Chọn C.
Xem số nghiệm của phương trình là số giao điểm của $y=f\left( x \right)={{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-2$ với đường thẳng $y=0$
Đặt $f\left( x \right)={{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-2$
$f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}=2x\left( {{x}^{2}}+3 \right)=0\Leftrightarrow x=0$
Bảng xét dấu:
Dựa vào bảng biến thiên thì số nghiệm là 2.
Câu 4: Chọn C.
Sử dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Câu 5: Chọn B.
Định nghĩa: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\left( a;b \right)$ và ${{x}_{0}}\in \left( a;b \right)$. Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số $\dfrac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$ khi $x$ dần đến ${{x}_{0}}$ gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm ${{x}_{0}}$, kí hiệu là $f'\left( {{x}_{0}} \right)$, ta có $f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$.
Từ định nghĩa rút ra kết luận đáp án B sai.
A đúng do định nghĩa.
C đúng vì đặt $x = {x_0} + h \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - {x_0} = h\\
x \to {x_0} \Rightarrow h \to 0
\end{array} \right.$
D đúng vì đặt $x = {x_0} + \Delta x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - {x_0} = \Delta x\\
x \to {x_0} \Rightarrow \Delta x \to 0
\end{array} \right.$
Câu 6: Chọn D.
Ta có $\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$, nên đáp án D sai.
Câu 7: Chọn A.
Biểu diễn hai tập $A$ và $B$ trên cùng trục số ta được $A\cap B=\text{ }\!\![\!\!\text{ }2;5)$.
Câu 8: Chọn C.
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2 \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \left( -{{x}^{3}} \right)\left( -1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{{{x}^{3}}} \right) \right]=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -{{x}^{3}} \right).\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{{{x}^{3}}} \right)$
Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -{{x}^{3}} \right)=-\infty $ và $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{{{x}^{3}}} \right)=-1$. Vậy $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2 \right)=-\infty .\left( -1 \right)=+\infty $
Câu 9: Chọn C.
Dễ thấy $\left| {{u}_{n}} \right|=\left| \dfrac{{{\left( -1 \right)}^{n-1}}}{n+1} \right|=\dfrac{1}{n+1}<1,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ nên $\left( {{u}_{n}} \right)$ là dãy số bị chặn
Lại có ${{u}_{9}}=\dfrac{1}{10};{{u}_{10}}=\dfrac{-1}{11};{{u}_{11}}=\dfrac{1}{12};{{u}_{12}}=\dfrac{-1}{13};...$ Suy ra dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ không phải là dãy số tăng cũng không phải là dãy số giảm.
Do đó đáp án C sai.
Câu 10: Chọn D.
Ta có một vecto pháp tuyến của đường thẳng $\left( d \right)$ là $\overrightarrow{n}=\left( a;b \right)$
Câu 11: Chọn A.
Câu 12: Chọn A.
Mỗi cách lập một số tự nhiên có hai chữ số khác nhau từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7;8;9 là một chỉnh hợp chập 2 của 9.
Vậy có $A_{9}^{2}$số tự nhiên có hai chứ số khác nhau.
Câu 13: Chọn D.
Khi cộng hai bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều nên ta có
$\left\{ \begin{array}{l}
a > b\\
c > d
\end{array} \right. \Rightarrow a + c > b + d$
Câu 14: Chọn C.
Ta có $1+3+5+...+\left( 2n+1 \right)=\dfrac{\left( 1+2n+1 \right)\left( n+1 \right)}{2}={{\left( n+1 \right)}^{2}}$
$\lim \dfrac{1+3+5+...+\left( 2n+1 \right)}{3{{n}^{2}}+4}=\lim \dfrac{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{3{{n}^{2}}+4}=\lim \dfrac{1+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}}{3+\dfrac{4}{{{n}^{2}}}}=\dfrac{1}{3}$
Câu 15: Chọn D.
Ta có: + $\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{0}$ nên D đúng
+ $2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{0}$ nên A sai
+ $\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{BA}\ne \overrightarrow{0}$ nên B sai
+ $\overrightarrow{AI}-2\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IB}=3\overrightarrow{IB}\ne \overrightarrow{IB}$ nên B sai
Câu 16: Chọn A.
Vì DC // AB nên khoảng cách giữa SB và DC bằng khoảng cách giữa mặt phẳng (SAB) và DC.
Do đó: $d\left( DC,SB \right)=d\left( DC,\left( SAB \right) \right)=d\left( D,\left( SAB \right) \right)=AD=a\sqrt{2}$.
Câu 17: Chọn C.
+ $SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot BD$ (1)
+ $ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow AC\bot BD$ (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra $BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot SC$
Câu 18: Chọn D.
Theo công thức cấp số cộng ta có: $2\left( 2{{a}^{2}}-1 \right)=\left( 1+2a \right)+\left( -2a \right)\Leftrightarrow {{a}^{2}}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow a=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Câu 19: Chọn B.
Phương trình đã cho tương đương với phương trình $\sin 2x=\dfrac{{{m}^{2}}-5}{3}$
Vì $\sin 2x\in \left[ -1;1 \right]$ nên $\frac{{{m^2} - 5}}{3} \in \left[ { - 1;1} \right] \Leftrightarrow {m^2} \in \left[ {2;8} \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- 2\sqrt 2 \le m \le - \sqrt 2 \Rightarrow m = - 2(m \in )\\
\sqrt 2 \le m \le 2\sqrt 2 \Rightarrow m = 2(m \in )
\end{array} \right.$
Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 20: Chọn A.
Gọi E là trung điểm AD
Xét tam giác BCE có $\dfrac{BG}{BE}=\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{2}{3}$ nên suy ra $MG//\left( ACD \right)$ chọn A
Câu 21: Chọn A.
Ta có: $y'=2\sqrt{{{x}^{2}}+x}+\dfrac{\left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)}{2\sqrt{{{x}^{2}}+x}}=\dfrac{4{{x}^{2}}+4x+4{{x}^{2}}-1}{2\sqrt{{{x}^{2}}+x}}=\dfrac{8{{x}^{2}}+4x-1}{2\sqrt{{{x}^{2}}+x}}$
Vậy $y'=\dfrac{8{{x}^{2}}+4x-1}{2\sqrt{{{x}^{2}}+x}}$
Câu 22: Chọn A.
Số trung bình của dãy số liệu 1; 1; 2 ; 3 ; 3; 4 ; 5 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 9 ; 9 là
${{x}_{tb}}=\dfrac{1+1+2+3+3+4+5+5+6+7+8+9+9+9}{14}=\dfrac{36}{7}\approx 5,142857$
Câu 23: Chọn D.
Ta có: $x{{\left( 3x-1 \right)}^{8}}=x\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}{{\left( 3x \right)}^{k}}{{\left( -1 \right)}^{8-k}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{8}^{k}{{3}^{k}}{{x}^{k+1}}{{\left( -1 \right)}^{8-k}}}}$
Vậy hệ số của ${{x}^{5}}$ trong khai triển biểu thức $x{{\left( 3x-1 \right)}^{8}}$ là: $\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{4}{{3}^{4}}{{\left( -1 \right)}^{8-4}}=5670}$
Câu 24: Chọn D.
Hệ số góc k của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3x+2$ tại điểm có hoành độ ${{x}_{0}}=-2$ là: $k=y'\left( -2 \right)=3{{\left( -2 \right)}^{2}}-3=9$
Câu 25: Chọn B.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
AB \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABC} \right),\left( {AB \subset \left( {ABC} \right)} \right)} \right)\\
AB \bot AC
\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAC} \right)$
Vì $AB\bot \left( SAC \right)$ nên $\left( SAC \right)\bot \left( SAB \right)$
Câu 26: Chọn B.
Giả sử vận tốc của vật chuyển động có phương trình là:
$v\left( t \right)=a{{t}^{2}}+bt+c$
Ta có: $v\left( 2 \right)=9\Leftrightarrow 4a+2b+c=9;v\left( 0 \right)=6\Leftrightarrow c=6$
Lại có $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{ - b}}{{2a}} = 2\\
4a + 2b + 6 = 9
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4a + b = 0\\
4a + 2b = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - \frac{3}{4}\\
b = 3
\end{array} \right.$
Do đó $v\left( t \right)=-\frac{3}{4}{{t}^{2}}+3t+6$
Vậy $v\left( 2,5 \right)=8,8125$.
Câu 27: Chọn B.
TH1: $m+1=0\Leftrightarrow m=-1$ bất phương trình (1) trở thành $4\ge 0\forall x\in \mathbb{R}$ (luôn đúng) (*)
TH2: $m+1\ne 0\Leftrightarrow m\ne -1$ bất phương trình (1) có tập nghiệm S=R
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\Delta ' \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + 1 > 0\\
\Delta ' = {m^2} - 2m - 3 \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < m \le 3$
Từ (*) và (**) ta suy ra: $-1\le m\le 3$
Câu 28: Chọn C.
Điều kiện để phương trình (1) có nghĩa $\left\{ \begin{array}{l}
\cos x \ne 0\\
\cos 3x \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}
\end{array} \right.$
Khi đó, phương trình (1) $3x=x+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{2}$ so sánh với điều kiện (*)
$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k2\pi \\
x = \pi + k2\pi
\end{array} \right.,x \in \left[ {0;30} \right] \Rightarrow k = \left\{ {0;...;4} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {0;\pi ;2\pi ;...;9\pi } \right\}$
Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn $\left[ 0;30 \right]$ của phương trình (1) là: $45\pi $
Câu 29: Chọn C.
Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega \right)=C_{12}^{3}=220$
Gọi A là biến cố: “Lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu”.
- Trường hợp 1: Lấy 1 quả màu vàng và 2 quả màu đỏ có: $C_{8}^{2}=28$ cách
- Trường hợp 2: Lấy 1 quả màu vàng và 2 quả màu xanh có: $C_{3}^{2}=3$ cách
- Trường hợp 3: Lấy 1 quả màu đỏ và 2 quả màu xanh có: $C_{8}^{1}.C_{3}^{2}=24$ cách
- Trường hợp 4: Lấy 1 quả màu xanh và 2 quả màu đỏ có: $C_{3}^{1}.C_{8}^{2}=84$ cách
Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: $n\left( A \right)=28+3+24+84=139$ cách
Xác suất cần tìm là: $P\left( A \right)=\dfrac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}=\dfrac{139}{220}$
Cách 2: Lấy 3 quả bất kì trừ đi trường hợp 3 quả khác màu (1 Đ, 1X, 1 V), và 3 quả chung 1 màu ( cùng đỏ hoặc cùng xanh). ĐS: (220-81)/220. Chọn C.
Câu 30: Chọn A.
Gọi ${{T}_{0}}$ là số tiền người đó gửi vào ngân hàng vào ngày 01/01 hàng năm, ${{T}_{n}}$ là tổng số tiền cả vốn lẫn lãi người đó có được ở cuối năm thứ n , với $n\in \mathbb{N}*$, r là lãi suất ngân hàng mỗi năm.
Ta có: ${{T}_{1}}={{T}_{0}}+r{{T}_{0}}={{T}_{0}}\left( 1+r \right)$
Đầu năm thứ 2 , người đó có tổng số tiền là:
${{T}_{0}}\left( 1+r \right)+{{T}_{0}}={{T}_{0}}\left[ \left( 1+r \right)+1 \right]=\dfrac{{{T}_{0}}}{\left[ \left( 1+r \right)-1 \right]}\left[ {{\left( 1+r \right)}^{2}}-1 \right]=\dfrac{{{T}_{0}}}{r}\left[ {{\left( 1+r \right)}^{2}}-1 \right]$
Do đó: ${{T}_{2}}=\dfrac{{{T}_{0}}}{r}\left[ {{\left( 1+r \right)}^{2}}-1 \right]+\dfrac{{{T}_{0}}}{r}\left[ {{\left( 1+r \right)}^{2}}-1 \right]r=\dfrac{{{T}_{0}}}{r}\left[ \left( 1+{{r}^{2}} \right)-1 \right]\left( 1+r \right)$
Tổng quát: Ta có: ${{T}_{n}}=\dfrac{{{T}_{0}}}{r}\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n}}-1 \right]\left( 1+r \right)$
Áp dụng vào bài toán, ta có: ${{10}^{9}}=\dfrac{{{T}_{0}}}{0,07}\left[ {{\left( 1+0,07 \right)}^{6}}-1 \right]\left( 1+0,07 \right)\Rightarrow {{T}_{0}}\approx 130650280$ đồng
Câu 31: Chọn D.
Gọi $O=AC\cap BD$
Do S.ABCD chóp đều nên đáy ABCD là hình vuông và $SO\bot \left( ABCD \right)$
Ta có: $\dfrac{d\left( A,\left( SCD \right) \right)}{d\left( O,\left( SCD \right) \right)}=\dfrac{AC}{OC}=2\Rightarrow d\left( A,\left( SCD \right) \right)=2.d\left( O,\left( SCD \right) \right)=2h$
Xét $\Delta ACD$ vuông tại D có: $AC=\sqrt{A{{D}^{2}}+C{{D}^{2}}}=CD\sqrt{2}=2a\sqrt{2}\Rightarrow OC=OD=a\sqrt{2}$
Xét $\Delta SOC$ vuông tại O có: $SO=\sqrt{S{{C}^{2}}-O{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3a \right)}^{2}}-{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{7}$
Do tứ diện S.OCD có 3 cạnh OS, OC, OD đôi một vuông góc
$\Rightarrow \dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( a\sqrt{7} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{8}{7{{a}^{2}}}\Rightarrow h=\dfrac{a\sqrt{14}}{4}$
Vậy khoảng cách từ A đến $\left( SCD \right)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{14}}{2}$
Câu 32: Chọn C.
$\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x-2 \right)\sqrt{\dfrac{x}{{{x}^{2}}-4}}=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{\dfrac{x.{{\left( x-2 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}}=\underset{x\to 2+}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{\dfrac{\left( x-2 \right)x}{x+2}}=0$
Câu 33: Chọn B.
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{9{{x}^{2}}+ax}+3x \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \dfrac{ax}{\sqrt{9{{x}^{2}}+ax}-3x} \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{a}{-\sqrt{9+\dfrac{a}{x}}-3}=-\dfrac{a}{6}$
$\Rightarrow -\dfrac{a}{6}=-2\Leftrightarrow a=12$
