Đề thi: THPT Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số $y=2{{x}^{3}}+9a{{x}^{2}}+12{{a}^{2}}x+1$ để hàm số $y=2{{x}^{3}}+9a{{x}^{2}}+12{{a}^{2}}x+1$ có cực đại, cực tiểu và hoành độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số bằng 1.
A. $a=-\frac{1}{2}.$ B. $a=-1.$ C. $a=\frac{1}{2}.$ D. $a=1.$
Câu 2: Phương trình $cos3x.\tan 5x=\sin 7x$ nhận những giá trị sau của x làm nghiệm
A. $x=5\pi ,x=\frac{\pi }{20}.$ B. $x=5\pi ,x=\frac{\pi }{10}.$ C. $x=\frac{\pi }{2}.$ D. $x=10\pi ,x=\frac{\pi }{10}.$
Câu 3: Khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$ đến trục tung bằng
A. 0. B. 2. C. 1. D. 4.
Câu 4: Cho hình hộp xiên ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng nhau và bằng a, $\widehat{BAD}=\widehat{BAA'}=\widehat{BAD}={{60}^{0}}.$ Khoảng cánh giữa hai đường thẳng AC’ và BD bằng
A. a. B. $\frac{a}{2\sqrt{3}}.$ C. $\frac{a}{\sqrt{3}}.$ D. $\frac{a\sqrt{3}}{2}.$
Câu 5: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng $y=-2x+m$ tiếp xúc với đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ là
A. $m\in \left\{ 7;-1 \right\}.$ B. $m=6.$ C. $m\in \left\{ 6;-1 \right\}.$ D. $m=-1.$
Câu 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Cho hình chóp tam giác đều S và có đường tròn
đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC gọi là hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC, hình nón có đỉnh S và có đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC gọi là hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tỉ số thể tích của hình nón nội tiếp và hình nón ngoại tiếp hình chóp đã cho là
A. $\frac{1}{2}.$ B. $\frac{1}{4}.$ C. $\frac{1}{3}.$ D. $\frac{2}{3}.$
Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình $\left( x+2 \right)\left[ \sqrt{{{\left( x+2 \right)}^{2}}+3}+1 \right]+x\left( \sqrt{{{x}^{2}}+3}+1 \right)>0$ là
A. $\left( 1,2 \right).$ B. $\left( -1,2 \right).$ C. $\left( -1,+\infty \right).$ D. $\left( 1,+\infty \right).$
Câu 8: Một hộp đựng 7 quả cầu trắng và 3 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 quả cầu. Tính xác suất để trong 4 quả cầu được lấy có đúng 2 quả cầu đỏ.
A. $\frac{20}{71}.$ B. $\frac{21}{71}.$ C. $\frac{21}{70}.$ D. $\frac{62}{211}.$
Câu 9: Tích các nghiệm của phương trình ${{\log }_{\frac{1}{\sqrt{5}}}}\left( {{6}^{x+1}}-{{36}^{x}} \right)=-2$ bằng
A. 1. B. C. 5. D. ${{\log }_{6}}5.$
Câu 10: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right)=\operatorname{s}\text{inx}+cos2x$ trên $\left[ 0;\pi \right]$ là
A. $\frac{5}{4}.$ B. 1. C. 2. D. $\frac{9}{8}.$
Câu 11: Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông cân tại a, $AB=AC=a,$ $\text{AA}'=2a.$ Thể tích khối tứ diện $A'BB'C$ là
A. $2{{a}^{3}}.$ B. ${{a}^{3}}.$ C. $\frac{2{{a}^{3}}}{3}.$ D. $\frac{{{a}^{3}}}{3}.$
Câu 12: Cho $f\left( x \right)=\frac{1}{2}{{.5}^{2x+1}};g\left( x \right)={{5}^{x}}+4x.\ln 5.$ Tập nghiệm của bất phương trình $f'\left( x \right)>g'\left( x \right)$ là
A. $x>1.$ B. $x>0.$ C. $0<x<1.$ D. $x<0.$
Câu 13: Số nghiệm thuộc khoảng $\left[ \frac{-4\pi }{3};\frac{\pi }{2} \right)$ của phương trình $cos\left( \pi +x \right)+\sqrt{3}s\text{inx}=\sin \left( 3x-\frac{3\pi }{2} \right)$ là
A. 6. B. 2. C. 4. D. 3.
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có $A\left( 0;0;0 \right),$ $B\left( 1;0;0 \right),$ $D\left( 0;1;0 \right)$ và $A'\left( 0;0;1 \right).$ Khoảng cách giữa AC và B’D là
A. $\frac{1}{\sqrt{3}}.$ B. $\frac{1}{\sqrt{6}}.$ C. 1. D. $\sqrt{2}.$
Câu 15: Cho biểu thức $P={{\left( \frac{x+1}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}-\sqrt[3]{x+1}}-\frac{x-1}{x-\sqrt{x}} \right)}^{10}}$ với $x>0,x\ne 1.$ Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của P .
A. 200. B. 100. C. 210. D. 160.
Câu 16: Điểm thuộc đường thẳng $d:x-y-1=0$ cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$ là
A. $\left( -1;2 \right).$ B. $\left( 0;-1 \right).$ C. $\left( 1;0 \right).$ D. $\left( 2;1 \right).$
Câu 17: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình $\frac{a}{{{3}^{x}}+{{3}^{-x}}}={{3}^{x}}-{{3}^{-x}}$ có nghiệm duy nhất
A. $-1<a<0.$ B. Không tồn tại a. C. $a>0.$ D. $a\in \mathbb{R}.$
Câu 18: Gọi A,B,C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+4.$ Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng
A. $\sqrt{2}.$ B. 1. C. $\sqrt{2}-1.$ D. $\sqrt{2}+1.$
Câu 19: Cho tứ diện ABCD, hỏi có bao nhiêu véctơ khác véctơ $\overrightarrow{0}$ mà mỗi véctơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD
A. 4. B. 12. C. 10. D. 8.
Câu 20: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hàm số $y={{x}^{3}}+3\sqrt{3}\text{ax}$có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ
A. $a<0.$ B. $a<-1.$ C. $-1<a<0.$ D. $a>0.$
Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S.ABCD là
A. ${{a}^{3}}.$ B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}.$ C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$ D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$
Câu 22: Cho $f\left( x \right)={{2.3}^{{{\log }_{81}}x}}+3.$ Tính $f'\left( 1 \right)$
A. $f'\left( 1 \right)=-1.$ B. $f'\left( 1 \right)=\frac{1}{2}.$ C. $f'\left( 1 \right)=1.$ D. $f'\left( 1 \right)=\frac{-1}{2}.$
Câu 23: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân cạnh bằng B, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, $AB=BC=a$ và $SA=a.$ Góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng
A. ${{90}^{0}}.$ B. ${{30}^{0}}.$ C. ${{60}^{0}}.$ D. ${{45}^{0}}.$
Câu 24: Cho hai phương trình $cos3x-1=0\,\,\left( 1 \right);\,\,\,\cos 2x=\frac{-1}{2}\,\,\left( 2 \right).$ Tập các nghiệm của phương trình (1) đồng thời là nghiệm của phương trình (2) là
A. $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.$ B. $x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.$
C. $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.$ D. $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.$
Câu 25: Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{5+x}-1}{{{x}^{2}}+4x}$
A. $x=0.$ B. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
C. $x=-4.$ D. $x=0,\,x=-4.$
Câu 26: Tìm hệ số của ${{x}^{5}}$ trong khai triển nhị thức Newton ${{\left( x\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)}^{n}},$biết tổng các hệ số của khai triển bằng 128
A. 37. B. 36. C. 35. D. 38.
Câu 27: Tập nghiệm của bất phương trình ${{\log }_{\frac{1}{5}}}\frac{4x+6}{x}\ge 0$ là
A. $\left( -2;\frac{-3}{2} \right].$ B. $\left[ -2,\frac{-3}{2} \right].$ C. $\left( -2,\frac{-3}{2} \right).$ D. $\left[ -2,\frac{-3}{2} \right).$
Câu 28: Cho $f\left( x \right)=x.{{e}^{-3x}},$tập nghiệm của bất phương trình $f'\left( x \right)>0$ là
A. $\left( 0,1 \right).$ B. $\left( 0,\frac{1}{3} \right).$ C. $\left( -\infty ,\frac{1}{3} \right).$ D. $\left( \frac{1}{3},+\infty \right).$
Câu 29: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+1$ tại các điểm có tung độ bằng 5 là
A. $y=20x-35.$ B. $y=-20-35;y=20x+35.$
C. $y=-20x-35.$ D. $y=20x-35;y=-20x-35.$
Câu 30: Số nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;3\pi \right)$ của phương trình $co{{s}^{2}}x+\frac{5}{2}\cos x+1=0$ là
A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.
Câu 31: Tổng của n số hạng đầu tiên của một dãy số $\left( {{a}_{n}} \right),n\ge 1$ là ${{S}_{n}}=2{{n}^{2}}+3n.$ Khi đó
A. $\left( {{a}_{n}} \right)$ là cấp số cộng với công sai bằng 1. B. $\left( {{a}_{n}} \right)$ là cấp số cộng với công sai bằng 4.
C. $\left( {{a}_{n}} \right)$ là cấp số nhân với công bội bằng 1. D. $\left( {{a}_{n}} \right)$ là cấp số nhân với công bội bằng 4.
Câu 32: Tập nghiệm của bất phương trình ${{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\sqrt{x+2}}}>{{3}^{-x}}$ là
A. $\left( 1,2 \right).$ B. $\left( 2,+\infty \right).$ C. $\left[ 2,+\infty \right).$ D. $\left( 1,2 \right].$
Câu 33: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, $AB=2a,\widehat{BAC}={{60}^{0}}$ và $Sa=3\sqrt{2}.$ Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng $\left( SAC \right)$ bằng
A. ${{45}^{0}}.$ B. ${{30}^{0}}.$ C. ${{60}^{0}}.$ D. ${{90}^{0}}.$
Câu 34: Cho hình nón có đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, bán kính $R=3cm,$ góc ở đỉnh của hình nón là $\varphi ={{120}^{0.}}.$ Cắt hình nón bởi một mặt phẳng qua đỉnh S tạo thành tam giác đều SAB, trong đó A,B thuộc đường tròn đáy. Diện tích của tam giác SAB bằng
A. $3\sqrt{3}c{{m}^{2}}.$ B. $6\sqrt{3}c{{m}^{2}}.$ C. $6c{{m}^{2}}.$ D. $3c{{m}^{2}}.$
Câu 35: Tìm số đo ba góc của một tam giác cân, biết rằng số đo của một góc là nghiệm của phương trình $cos2x=\frac{-1}{2}$
A. $\left\{ \frac{2\pi }{3},\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6} \right\}.$ B. $\left\{ \frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3} \right\}.$
C. $\left\{ \frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3} \right\};\left\{ \frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2} \right\}.$ D. $\left\{ \frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3} \right\};\left\{ \frac{2\pi }{3},\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6} \right\}.$
Câu 36: Cho tứ diện ABCD có cạnh DA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và $AB=3cm,$ $AC=4cm,$ $AD=\sqrt{6}cm,$ $BC=5cm.$ Khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left( BCD \right)$ bằng
A. $\frac{12}{5}cm.$ B. $\frac{12}{7}cm.$ C. $\sqrt{6}cm$ D. $\frac{6}{\sqrt{10}}cm.$
Câu 37: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh $a=4\sqrt{2}cm,$ cạnh bên SC vuông góc với đáy và $SC=2cm.$ Gọi M,N là trung điểm của AB và BC. Góc giữa hai đường thẳng SN và CM là
A. ${{45}^{0}}.$ B. ${{30}^{0}}.$ C. ${{60}^{0}}.$ D. ${{90}^{0}}.$
Câu 38: Cần đẽo thanh gỗ hình hộp có đáy là hình vuông thành hình trụ có cùng chiều cao. Tỉ lệ thể tích gỗ cần phải đẽo đi ít nhất (tính gần đúng) là
A. 21%. B. 11%. C. 50%. D. 30%.
Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho $A\left( -3;0;0 \right),$ $B\left( 0;0;3 \right),$ $C\left( 0;-3;0 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-3=0.$ Tìm trên (P) điểm M sao cho $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|$ nhỏ nhất
A. $M\left( 3;3;-3 \right).$ B. $M\left( -3;-3;3 \right).$ C. $M\left( 3;-3;3 \right).$ D. $M\left( -3;3;3 \right).$
Câu 40: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A, $AB=AC=a,$ $\text{AA }\!\!'\!\!\text{ =}\sqrt{2}a.$ Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện AB’B’C’ là
A. $\frac{4\pi {{a}^{3}}}{3}.$ B. $\frac{\pi {{a}^{3}}}{3}.$ C. $4\pi {{a}^{3}}.$ D. $\pi {{a}^{3}}.$
Câu 41: Tập nghiệm của bất phương trình $\frac{\sqrt{x+24}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+24}-\sqrt{x}}<\frac{27}{8}.\frac{12+x-\sqrt{{{x}^{2}}+24x}}{12+x+\sqrt{{{x}^{2}}+24x}}$
A. $0\le x\le 1.$ B. $x\ge 0.$ C. $0\le x\le \frac{1}{2}.$ D. $0\le x<1.$
Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm $A\left( 0;1;2 \right),B\left( 2;-2;0 \right),$ $C\left( -2;0;1 \right).$ Mặt phẳng (P) đi qua A, trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ( ABC) có phương trình là
A. $4x+2y-z+4=0.$ B. $4x+2y+z-4=0.$
C. $4x-2y-z+4=0.$ D. $4x-2y+z+4=0.$
Câu 43: Khoảng cách từ gốc tọa độ đến giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số
$y=\frac{2x+1}{x+1}$ bằng
A. $\sqrt{2}.$ B. $\sqrt{5}.$ C. 5. D. $\sqrt{3}.$
Câu 44: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho $A\left( -1;0;0 \right),$ $B\left( 0;0;2 \right),$ $C\left( 0;-3;0 \right).$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là
A. $\frac{\sqrt{14}}{3}.$ B. $\frac{\sqrt{14}}{4}.$ C. $\frac{\sqrt{14}}{2}.$ D. $\sqrt{14}.$
Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm $A\left( 0;0;-2 \right),B\left( 4;0;0 \right).$ Mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất, đi qua O, A, B có tâm là
A. $I\left( 2;0;-1 \right).$ B. $I\left( 0;0;-1 \right).$ C. $I\left( 2;0;0 \right).$ D. $I=\left( \frac{4}{3};0;-\frac{2}{3} \right).$
Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi M,N là trung điểm của SA,SB. Mặt phẳng MNCD chia hình chóp đã cho thành hai phần. Tỉ số thể tích hai phần S.MNCD và MNABCD là
A. $\frac{3}{4}.$ B. $\frac{3}{5}.$ C. $\frac{4}{5}.$ D. 1.
Câu 47: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có $A\left( 0;0;0 \right),B\left( 2;0;0 \right),C\left( 0;2;0 \right),A'\left( 0;0;2 \right).$ Góc giữa BC’ và A’C bằng
A. ${{90}^{0}}.$ B. ${{60}^{0}}.$ C. ${{30}^{0}}.$ D. ${{45}^{0}}.$
Câu 48: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình sau có nghiệm duy nhất $a{{\log }_{3}}{{x}^{3}}+4\sqrt{{{\log }_{3}}{{x}^{8}}}+a+1=0$
A. $a=1.$ B. $a<-1.$ C. Không tồn tại a. D. $a<1.$
Câu 49: Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-2x+1$ bằng
A. $\frac{10\sqrt{6}}{3}.$ B. $\frac{10}{3}.$ C. $\frac{10\sqrt{3}}{3}.$ D. $\frac{10\sqrt{6}}{9}.$
Câu 50: Một người làm vườn có 12 cây giống gồm 6 cây xoài, 4 cây mít và 2 cây ổi. Người đó muốn chọn ra 6 cây giống để trồng. Tính xác suất để 6 cây được chọn, mỗi loại có đúng 2 cây
A. $\frac{1}{8}.$ B. $\frac{25}{154}.$ C. $\frac{1}{10}.$ D. $\frac{15}{154}.$
