Câu 1: Đáp án D
$\log \left( {{a}^{10}} \right)\ne a$ với $\forall a\ne 10$
Câu 2: Đáp án B
Phương trình ${{2}^{\sqrt{x}}}={{2}^{2-x}}\Leftrightarrow \sqrt{x}=2-x.$ Giải phương trình ta được duy nhất một nghiệm x=1
Câu 3: Đáp án A
$P=\sqrt[3]{5}.\dfrac{1}{\sqrt{{{a}^{3}}}}={{a}^{\dfrac{5}{3}-\dfrac{3}{2}}}={{a}^{\dfrac{1}{6}}}$
Câu 4: Đáp án D
Hàm $y=f\left( x \right)=\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)$ là hàm lẻ do: hàm $y=\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)$ có tập xác định là $D=\mathbb{R}$ và $f\left( -x \right)=\ln \left( -x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)=-\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)=-f\left( x \right)$ Các mệnh đề còn lại kiểm tra đều thấy đúng
Câu 5: Đáp án D
Đặt $t={{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}-1 \right)\Rightarrow t\left( 1+t \right)=6\Rightarrow t=2;t=-3$
Từ dó, ta tính được ${{x}_{1}}={{\log }_{3}}\dfrac{28}{27};{{x}_{2}}={{\log }_{3}}10\Rightarrow \dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=\dfrac{{{\log }_{3}}\dfrac{28}{27}}{{{\log }_{3}}10}=\log \dfrac{28}{27}$
Câu 6: Đáp án D
$z=3+i\Rightarrow \overline{z}=3-i\Rightarrow $$\left| \overline{z} \right|=\sqrt{10}$
Câu 7: Đáp án B
Dựa vào hình vẽ ta thấy M biểu thị cho số phức $-2+3i$
Câu 8: Đáp án A
Hai nghiệm của phương trình $2{{z}^{2}}+1=0$là ${{z}_{1}}=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}i,{{z}_{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}i$ (do ${{z}_{1}}$ có phần ảo âm). Vậy ${{z}_{1}}+3{{z}_{2}}=\sqrt{2}.i$
Câu 9: Đáp án A
Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là góc $\widehat{SBA}=30{}^\circ $
Câu 10: Đáp án C
$d\left( AA',CB' \right)=d\left( AA',\left( CBB'C' \right) \right)=d\left( A,\left( CBB'C' \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Câu 11: Đáp án B
Qua I dựng đường thẳng d song song với SA (vuông góc với mặt phẳng (ABC)). Mặt phẳng trung trực của SA cắt d tại tâm mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC.
Bán kính mặt cầu là $R=\sqrt{4{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{17}}{2}$
Câu 12: Đáp án C
Tọa độ tâm và bán kính mặt cầu (S): $I\left( -1;3;2 \right),R=3$
Câu 13: Đáp án D
Nhận thấy đường thẳng: $\dfrac{x-3}{4}=\dfrac{y+2}{-2}=\dfrac{z-1}{-1}$ đi qua A và song song với (P)
Câu 14: Đáp án D
Áp dụng công thức khoảng cách: $d\left( M;\left( P \right) \right)=3$
Câu 15: Đáp án A
Mặt phẳng $ax+by+cz+d=0\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0 \right)$ chứa trục Ox $\Leftrightarrow a=d=0$
Câu 16: Đáp án D
Tọa độ các điểm ${{A}_{1}}\left( 0;2;3 \right),A\left( 1;0;3 \right),{{A}_{3}}\left( 1;2;0 \right)\Rightarrow \left( {{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}} \right):6x+3y+2z-12=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{4}+\dfrac{z}{6}=1$
Câu 17: Đáp án B
Đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x-4}{x-3}$ có hai trục đối xứng
Câu 18: Đáp án B
Dựa vào bảng biến thiên
Câu 19: Đáp án A
Dựa vào hình vẽ
Câu 20: Đáp án C
$\int{f\left( x \right)dx}=\int{\left( 4{{x}^{3}}+2x+1 \right)}dx={{x}^{4}}+{{x}^{2}}+x+C$
Câu 21: Đáp án B
Dựa vào hình vẽ ta có $S=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)dx}-\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}$
Câu 22: Đáp án A
$I=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}=8$
Câu 23: Đáp án A
Áp dụng công thức tính thể tích khối trụ ta được thể tích khối trụ: $V=\pi a{{R}^{2}}$
Câu 24: Đáp án D
Áp dụng quy tắc nhân ta được số các số số tự nhiên có 3 chữ số và 3 chữ số đo đôi một khác nhau là: $9\times 9\times 8$
Câu 25: Đáp án D
S là tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn có ${{u}_{1}}=1;q=\dfrac{1}{2}.$ Vậy $S=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2}}=2$
Câu 26: Đáp án C
Ta có $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ 2;4 \right],f'\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}-2x-3}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$
Với $x\in \left[ 2;4 \right],f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=3$
Ta có $f\left( 2 \right)=4;f\left( 3 \right)=3;f\left( 4 \right)=\dfrac{10}{3}$
Vậy $\underset{x\in \left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=3$ (tại $x=3);$ $\underset{x\in \left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=4$ (tại $x=2)\Rightarrow S=M+m=3+4=7$
Câu 27: Đáp án B
Phương trình $2\left| f\left( x \right) \right|-1=0\Leftrightarrow \left| f\left( x \right) \right|=\frac{1}{2}.$
Bảng biến thiên của hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ như sau:
Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình $2\left| f\left( x \right) \right|-1=0$ là 6
Câu 28: Đáp án C
Giao điểm $M\left( 0;-1 \right),$ hệ số góc: $k=f'\left( 0 \right)=2.$ Phương trình tiếp tuyến có dạng $y=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}$
Vậy phương trình tiếp tuyến là $y=2x-1$
Câu 29: Đáp án C
$F\left( x \right)=\dfrac{-1}{2}\cos 2x+C,$ vì $F\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=0$ nên $C=\dfrac{1}{4}.$
Vậy $F\left( x \right)={{\sin }^{2}}x-\dfrac{1}{4}$
Câu 30: Đáp án D
$V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{y}^{2}}dx}=\pi \int\limits_{1}^{2}{xdx}=\left. \pi \dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{1}^{2}=\dfrac{3\pi }{2}$
Câu 31: Đáp án A
Sử dụng công thức diện tích xung quanh nón ta có: $S=2\pi {{a}^{2}}$
Câu 32: Đáp án A
Ta có: ${{\left( 2x+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{9}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}.{{\left( 2x \right)}^{9-k}}.{{\left( \dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{.2}^{9-k}}.{{x}^{9-3k}}}$
Số hạng chứa ${{x}^{3}}$ ứng với k thỏa mãn: $9-3k=3\Rightarrow k=2$
Hệ số ${{x}^{3}}$ trong khai triển là: $C_{9}^{2}{{.2}^{7}}=4608$
Câu 33: Đáp án C
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2x-1}{x+2}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2-\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{2}{x}}=2$
Câu 34: Đáp án B
$y=\dfrac{2{{x}^{2}}+2x+3}{{{x}^{2}}+x+3}=2-\dfrac{3}{{{x}^{2}}+x+3}\Rightarrow y'=\dfrac{6x+3}{{{\left( {{x}^{2}}+x+3 \right)}^{2}}}$
