Câu 35: Đáp án C
$y'=3\left( {{x}^{2}}-2mx+3 \right).$ Điều kiện hàm số có cực trị: ${{m}^{2}}-3>0$
Lúc này theo Viet: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m\\
{x_1}{x_2} = 3
\end{array} \right..$ Theo giả thiết:
$\left| {{x_1} - {x_2}} \right| \le 2 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} \le 4 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} \le 4 \Leftrightarrow {m^2} \le 4.$
Mà m dương nên $3<{{m}^{2}}\le 4\Leftrightarrow \sqrt{3}<m\le 2$
Vậy $a=\sqrt{3},b=2\Rightarrow b-a=2-\sqrt{3}$
Câu 36: Đáp án C
Điều kiện xác định: $x>-m-2$
Ta có: $y'=2x+\dfrac{1}{x+m+2}=\dfrac{2{{x}^{2}}+2\left( m+2 \right)x+1}{x+m+2}$
Để hàm số đồng biến trên TXĐ thì $g\left( x \right)=2{{x}^{2}}+2\left( m+2 \right)x+1\ge 0$ $\forall x>-m-2$
Nhận thấy: $g\left( -m-2 \right)=1>0,g\left( \dfrac{-b}{2a} \right)=g\left( \dfrac{-m-2}{2} \right)=1-\dfrac{{{\left( m+2 \right)}^{2}}}{2}$
+Xét $-m-2\ge \dfrac{-m-2}{2}\Leftrightarrow m\le -2\Rightarrow g\left( x \right)>g\left( -m-2 \right)=1>0$ luôn thỏa mãn với$\forall x>-m-2$
+ Xét $-m-2<\dfrac{-m-2}{2}\Leftrightarrow m>-2\Rightarrow \underset{\left( -m-2;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=g\left( \dfrac{-m-2}{2} \right)=1-\dfrac{{{\left( m+2 \right)}^{2}}}{2}\ge 0\Rightarrow -2\le m\le -2+\sqrt{2}$Kết hợp hai trường hợp ta được: $S=\left( -\infty ;-2+\sqrt{2} \right]\Rightarrow a=-2;b=2\Rightarrow a+b=0$
Câu 37: Đáp án A
Đăt $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right).$ Thay vào biểu thức của bài toán ta có:
$\left( a-1 \right)+\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+b-\dfrac{3}{4} \right)i=0\Rightarrow a=1;{{b}^{2}}+b+\dfrac{1}{4}=0\Rightarrow a=1,b=\dfrac{-1}{2}$
Vậy chỉ có đúng một số phức thỏa mãn bài toán
Câu 38: Đáp án C
Đặt $M\left( t;0;0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AM}\left( t-1;0;-6 \right),\overrightarrow{{{u}_{Ox}}}\left( 1;0;0 \right)$
Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng ta có: $cos45^\circ = \frac{{\left| {t - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {t - 1} \right)}^2} + 36} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} = 36 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 7\\
t = - 5
\end{array} \right.$
Hai điểm $M\left( 7;0;0 \right),N\left( -5;0;0 \right).$ Tổng hoành độ là: $7+\left( -5 \right)=2$
Câu 39: Đáp án D
Phương trình $3\cos x-1=0\Leftrightarrow x=\alpha ,x=2\pi -\alpha ,x=2\pi +\alpha ,x=4\pi -\alpha $ với $\cos \alpha =\dfrac{1}{3}$và $\alpha \in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn $\left[ 0;4\pi \right]$ là $8\pi $
Câu 40: Đáp án B
Đặt $t=f\left( x \right),$ phương trình $f\left( f\left( x \right) \right)=0$ trở thành $f\left( t \right)=0.$ Nhìn vào đồ thị thấy phương trình này có 3 nghiệm t thuộc khoảng $(-2;2),$ với mỗi giá trị t như vậy phương trình $f\left( x \right)=t$ có 3 nghiệm phân biệt. Vậy phương trình $f\left( f\left( x \right) \right)=0$ có 9 nghiệm
Câu 41: Đáp án C
$\begin{array}{l}
I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{x + x\cos x - {{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} x dx - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}} dx\\
{I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} x dx = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{{{\pi ^2}}}{8}\\
{I_2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x\sin x}}{{1 + \cos x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\sin xdx} = \frac{1}{2}
\end{array}$
Suy ra $I=\dfrac{{{\pi }^{2}}}{8}-\dfrac{1}{2}.$
Vậy $T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=69$
Câu 42: Đáp án C
Tỉ số giữa thể tích giữa lượng chất lỏng ban đầu và lượng chất lỏng còn lại trong ly thứ nhất là: ${{\left( \dfrac{2}{1} \right)}^{3}}=8$
Vậy tỉ số giữa thể tích giữa lượng chất lỏng chuyển và lượng chất lỏng còn lại trong ly thứ nhất là: $8-1=7.$
Tỉ số này cũng chính là: ${{\left( \dfrac{h}{1} \right)}^{3}}=7\Rightarrow h=\sqrt[3]{7}\approx 1,91dm$
Câu 43: Đáp án A
$C_{n}^{k-1};C_{n}^{k};C_{n}^{k+1}$ theo thứ tự là các số hạng thứ nhất, thứ 3, thứ 5 của một cấp số cộng $\Leftrightarrow C_{n}^{k-1}+C_{n}^{k+1}=2C_{n}^{k}\left( 1 \right)$
Vì $n\ge k+1\Rightarrow n\ge 2$
$\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - k + 1} \right)!}} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k - 1} \right)!}} = \frac{2}{{k!\left( {n - k} \right)!}} \Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {n - k} \right)\left( {n - k + 1} \right)}} + \frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{2}{{k\left( {n - k} \right)}}\\
\Leftrightarrow k\left( {k + 1} \right) + \left( {n - k} \right)\left( {n - k + 1} \right) = 2\left( {k + 1} \right)\left( {n - k + 1} \right)
\end{array}$
$\Leftrightarrow {{\left( 2k-n \right)}^{2}}=n+2$ suy ra $n+2$ là số chính phương, mà $n<20\Rightarrow n=\left\{ 2;7;14 \right\}$
$n=2\Rightarrow {{\left( k-1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow k=2$ (loại)
$n = 7 \Rightarrow {\left( {2k - 7} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
k = 5\\
k = 2
\end{array} \right.\left( {TM} \right)$
$n = 14 \Rightarrow {\left( {2k - 14} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
k = 9\\
k = 5
\end{array} \right.\left( {TM} \right)$
Vậy có 4 cặp số $\left( n,k \right)$ thỏa mãn là $\left( 7;5 \right),\left( 7;2 \right),\left( 14;9 \right),\left( 14;5 \right).$
Câu 44: Đáp án A
Phương trình ${{3}^{x}}=\sqrt{a{{.3}^{x}}\cos \left( \pi x \right)-9}\Leftrightarrow {{9}^{x}}+9=a{{.3}^{x}}\cos \left( \pi x \right)\Leftrightarrow {{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}=a\cos \left( \pi x \right)\left( 1 \right)$
Điều kiện cần: Nhận thấy nếu ${{x}_{0}}$ là một nghiệm của phương trình đã cho thì $2-{{x}_{0}}$ cũng là nghiệm của phương trình đã cho. Vậy để phương trình có đúng một nghiệm thực thì ${{x}_{0}}=2-{{x}_{0}}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=1.$ Thay vào (1) ta tìm được $a=-6\in \left[ -2018;2018 \right]$
Điều kiện đủ: Với $a=-6,$ phương trình (1) trở thành ${{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}=-6\cos \left( \pi x \right)\left( 1 \right)$
Sử dụng Cauchy ta có: ${{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}\ge 6\ge -6\cos \left( \pi x \right).$Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - x\\
cos\pi x = - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1$
Vậy có đúng một giá trị của tham số thực aÎ -[ 2018;2018] để phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực
Câu 45: Đáp án D
Đặt $M\left( 1;1 \right),N\left( a;5 \right),P\left( b;0 \right)\left( b>1 \right)$ lần lượt là các điểm biểu thị cho các số phức $z,{{z}_{1}},{{z}_{2}}$
Vậy $\overrightarrow{MN}=\left( a-1;4 \right),\overrightarrow{MP}=\left( b-1;-1 \right)$
Từ giả thiết cho ta tam giác MNP cân tại M có $\widehat{NMP}=120{}^\circ $
Vậy $\left\{ \begin{array}{l}
\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| {\overrightarrow {MP} } \right|\\
cos120^\circ = \frac{{\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MP} }}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {MP} } \right|}}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {a - 1} \right)^2} + 16 = {\left( {b - 1} \right)^2} + 1\\
\frac{{ - 1}}{2} = \frac{{\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) - 4}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 16}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {a - 1} \right)^2} - {\left( {b - 1} \right)^2} = - 15\\
{\left( {a - 1} \right)^2} + 2\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) = - 8
\end{array} \right.\left( 1 \right)$
Đặt $x = a - 1,y = b - 1\left( {y > 0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - {y^2} = - 15\left( 1 \right)\\
{x^2} + 2xy = - 8\left( 2 \right)
\end{array} \right. \Rightarrow 7{x^2} + 30xy + 8{y^2} = 0$ (nhân chéo vế với vế của hai phương trình).
Tìm được $\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{ - 2}}{7}y\\
x = - 4y
\end{array} \right..$
Thay vào (1) thì thấy chỉ có $x=\dfrac{-2}{7}y$thỏa mãn. Lúc này do ${{y}^{2}}=\dfrac{49}{3}.$
Do $y>0\Rightarrow y=\dfrac{7}{\sqrt{3}},x=\dfrac{-2}{\sqrt{3}}.$ Vậy $b-a=y-x=3\sqrt{3}$
Câu 46: Đáp án C
Kẻ ME vuông góc với CB, tam giác MEN vuông tại E nên $MN=2EK.$
Vậy MN bé nhất khi và chỉ khi EK bé nhất. Lúc này EK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và đường thẳng CB.
Qua I kẻ PQ song song với BC (như hình vẽ).
Vậy $d\left( BC,d \right)=d\left( BC,\left( D'PQ \right) \right)=d\left( C,\left( D'PQ \right) \right)=d\left( {C}',\left( D'PQ \right) \right)=C'H$ (trong đó $C'H$ vuông góc với$D'P)$
Tính $C'H.\dfrac{1}{C'{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{{{a}^{2}}}\Rightarrow C'H=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\Rightarrow d\left( BC,d \right)=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$
Câu 47: Đáp án D
Ta có d đi qua $N(2;5;2),$ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}(1;2;1),d'$ đi qua $N'(2;1;2),$ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d'}}}(1;-2;1).$
Gọi (R) là mặt phẳng chứa A và d, gọi (Q) là mặt phẳng chứa A¢ và d¢
Từ giả thiết ta nhận thấy điểm M nằm trong các mặt phẳng (R), (Q) nên đường thẳng cố định chứa M chính là giao tuyến của các mặt phẳng (R), (Q).
Vậy (R) đi qua $N(2;5;2),$ có cặp chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}\left( 1;2;1 \right),\overrightarrow{u}\left( 15;-10;-1 \right)$
$\Rightarrow {{n}_{P}}=\left( 1;2;-5 \right)\Rightarrow \left( R \right):x+2y-5z-2=0.$ (R) đi qua $A\left( a;0;0 \right)\Rightarrow a=2$
Tương tự (Q) đi qua $N'(2;1;2),$ có cặp chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}\left( 1;-2;1 \right),\overrightarrow{u}\left( 15;-10;-1 \right)$$\Rightarrow {{n}_{Q}}=\left( 3;4;5 \right)\Rightarrow \left( R \right):3x+4y+5z-20=0.$ (Q) đi qua $A\left( 0;0;b \right)\Rightarrow b=4.$ Vậy $a+b=6$ .
Câu 48: Đáp án D
${{f}^{3}}\left( 2-x \right)-2{{f}^{2}}\left( 2+3x \right)+{{x}^{2}}.g\left( x \right)+36x=0\forall x\in \mathbb{R}\left( 1 \right)$
(1) đúng $\forall x\in \mathbb{R}$ nên cũng đúng với $x=0\Rightarrow $ ${f^3}\left( 2 \right) - 2{f^2}\left( 2 \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
f\left( 2 \right) = 0\\
f\left( 2 \right) = 2
\end{array} \right.$
Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta có:
$-3{{f}^{2}}\left( 2-x \right).f'\left( 2-x \right)-12f\left( 2+3x \right).f'\left( 2+3x \right)+2x.g\left( x \right)+{{x}^{2}}.g'\left( x \right)+36=0\forall x\in \mathbb{R}$
Cho $x=0\Rightarrow -3{{f}^{2}}\left( 2 \right).f'\left( 2 \right)-12f\left( 2 \right).f'\left( 2 \right)+36=0$
Ta thấy $f\left( 2 \right)=0$ không thỏa mãn nên nên $f\left( 2 \right)=2,$ khi đó $f'\left( 2 \right)=1\Rightarrow 3f\left( 2 \right)+4f'\left( 2 \right)=10$
(Chú ý: hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là tồn tại, chẳng hạn $f\left( x \right)=x$ và $g\left( x \right)=x+12.$ Nếu đoán được kết quả này thì sẽ được kết quả của bài toán luôn).
Câu 49: Đáp án B
Từ giả thiết ta có: ${{\left( xf\left( x \right)+1 \right)}^{2}}=f\left( x \right)+xf'\left( x \right).$
Đặt $u=x.f\left( x \right)+1\Rightarrow {{u}^{2}}=u'\Rightarrow \dfrac{u'}{{{u}^{2}}}=1\Rightarrow \int{\dfrac{u'}{{{u}^{2}}}dx=x+C\Rightarrow \dfrac{-1}{u}=x+C}$
Vậy $x.f\left( x \right)=\dfrac{-1}{x+C}-1,$ mà $f\left( 1 \right)=-2\Rightarrow C=0$
Vậy $f\left( x \right)=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{x}\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}=-\ln 2-\dfrac{1}{2}$
Câu 50: Đáp án B
Bình có 2 khả năng thắng cuộc:
+) Thắng cuộc sau lần quay thứ nhất. Nếu Bình quay vào một trong 5 nấc: 80, 85, 90, 95, 100 thì sẽ thắng nên xác suất thắng cuộc của Bình trường hợp này là ${{P}_{1}}=\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}$
+) Thắng cuộc sau 2 lần quay. Nếu Bình quay lần 1 vào một trong 15 nấc: 5, 10, ..., 75 thì sẽ phải quay thêm lần thứ 2. Ứng với mỗi nấc quay trong lần thứ nhất, Bình cũng có 5 nấc để thắng cuộc trong lần quay thứ 2, vì thế xác suất thắng cuộc của Bình trường hợp này là ${{P}_{2}}=\dfrac{15\times 5}{20\times 20}=\dfrac{3}{16}$
Từ đó, xác suất thắng cuộc của Bình là $P={{P}_{1}}+{{P}_{2}}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{16}=\dfrac{7}{16}$
