Lời giải: Đề 3 Chuyên Lam Sơn – Lần 3 năm 2017-2018-Trang 2

Câu 35: Đáp án C

$y’=3left$x^2-2mx+3right$.$ Điều kiện hàm số có cực trị: ${{m}^{2}}-3>0$

Lúc này theo Viet: $left{ begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m\
{x_1}{x_2} = 3
end{array} right..$ Theo giả thiết:

$left| {{x_1} – {x_2}} right| le 2 Leftrightarrow {left$x_1–x_{2}right$^2} le 4 Leftrightarrow {left$x_1+x_{2}right$^2} – 4{x_1}{x_2} le 4 Leftrightarrow {m^2} le 4.$ 

Mà m dương nên $3<{{m}^{2}}le 4Leftrightarrow sqrt{3}<mle 2$

Vậy $a=sqrt{3},b=2Rightarrow b-a=2-sqrt{3}$

Câu 36: Đáp án C

Điều kiện xác định: $x>-m-2$

Ta có: $y’=2x+dfrac{1}{x+m+2}=dfrac{2{{x}^{2}}+2left$m+2right$x+1}{x+m+2}$

Để hàm số đồng biến trên TXĐ thì $gleft$xright$=2{{x}^{2}}+2left$m+2right$x+1ge 0$ $forall x>-m-2$

Nhận thấy: $gleft$-m-2right$=1>0,gleft$dfrac-b2aright$=gleft$dfrac-m-22right$=1-dfrac{{{left$m+2right$}^{2}}}{2}$

+Xét $-m-2ge dfrac{-m-2}{2}Leftrightarrow mle -2Rightarrow gleft$xright$>gleft$-m-2right$=1>0$ luôn thỏa mãn với$forall x>-m-2$

+ Xét $-m-2<dfrac{-m-2}{2}Leftrightarrow m>-2Rightarrow underset{left$-m-2;+inftyright$}{mathop{min }},gleft$xright$=gleft$dfrac-m-22right$=1-dfrac{{{left$m+2right$}^{2}}}{2}ge 0Rightarrow -2le mle -2+sqrt{2}$Kết hợp hai trường hợp ta được: $S=left( -infty ;-2+sqrt{2} right]Rightarrow a=-2;b=2Rightarrow a+b=0$

Câu 37: Đáp án A

Đăt $z=a+bileft$a,binmathbbRright$.$ Thay vào biểu thức của bài toán ta có:

$left$a-1right$+left$a^2+b^2+b-dfrac34right$i=0Rightarrow a=1;{{b}^{2}}+b+dfrac{1}{4}=0Rightarrow a=1,b=dfrac{-1}{2}$

Vậy chỉ có đúng một số phức thỏa mãn bài toán

Câu 38: Đáp án C

Đặt $Mleft$t;0;0right$Rightarrow overrightarrow{AM}left$t-1;0;-6right$,overrightarrow{{{u}_{Ox}}}left$1;0;0right$$

Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng ta có: $cos45^circ  = frac{{left| {t – 1} right|}}{{sqrt {{{left$t–1right$}^2} + 36} }} = frac{1}{{sqrt 2 }} Rightarrow {left$t–1right$^2} = 36 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = 7\
t =  – 5
end{array} right.$

Hai điểm $Mleft$7;0;0right$,Nleft$-5;0;0right$.$ Tổng hoành độ là: $7+left$-5right$=2$

Câu 39: Đáp án D

Phương trình $3cos x-1=0Leftrightarrow x=alpha ,x=2pi -alpha ,x=2pi +alpha ,x=4pi -alpha $ với $cos alpha =dfrac{1}{3}$và $alpha in left$0;dfracpi2right$$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn $left$$0;4piright$$$ là $8pi $

Câu 40: Đáp án B

Đặt $t=fleft$xright$,$ phương trình $fleft$fleft(xright$ right)=0$ trở thành $fleft$tright$=0.$ Nhìn vào đồ thị thấy phương trình này có 3 nghiệm t thuộc khoảng $$-2;2$,$ với mỗi giá trị t như vậy phương trình $fleft$xright$=t$ có 3 nghiệm phân biệt. Vậy phương trình $fleft$fleft(xright$ right)=0$ có 9 nghiệm

Câu 41: Đáp án C

$begin{array}{l}
I = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {frac{{x + xcos x – {{sin }^3}x}}{{1 + cos x}}} dx = intlimits_0^{frac{pi }{2}} x dx – intlimits_0^{frac{pi }{2}} {frac{{{{sin }^3}x}}{{1 + cos x}}} dx\
{I_1} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} x dx = left. {frac{{{x^2}}}{2}} right|_0^{frac{pi }{2}} = frac{{{pi ^2}}}{8}\
{I_2} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {frac{{{{sin }^3}x}}{{1 + cos x}}} dx = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {frac{{{{sin }^2}xsin x}}{{1 + cos x}}dx}  = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {left$1–{cos}^{2}xright$sin xdx}  = frac{1}{2}
end{array}$

Suy ra $I=dfrac{{{pi }^{2}}}{8}-dfrac{1}{2}.$

Vậy $T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=69$

Câu 42: Đáp án C

Tỉ số giữa thể tích giữa lượng chất lỏng ban đầu và lượng chất lỏng còn lại trong ly thứ nhất là: ${{left$dfrac21right$}^{3}}=8$

Vậy tỉ số giữa thể tích giữa lượng chất lỏng chuyển và lượng chất lỏng còn lại trong ly thứ nhất là: $8-1=7.$

Tỉ số này cũng chính là: ${{left$dfrach1right$}^{3}}=7Rightarrow h=sqrt$$3$${7}approx 1,91dm$

Câu 43: Đáp án A

$C_{n}^{k-1};C_{n}^{k};C_{n}^{k+1}$ theo thứ tự là các số hạng thứ nhất, thứ 3, thứ 5 của một cấp số cộng $Leftrightarrow C_{n}^{k-1}+C_{n}^{k+1}=2C_{n}^{k}left$1right$$

Vì $nge k+1Rightarrow nge 2$

$begin{array}{l}
left$1right$ Leftrightarrow frac{1}{{left$k–1right$!left$n–k+1right$!}} + frac{1}{{left$k+1right$!left$n–k–1right$!}} = frac{2}{{k!left$n–kright$!}} Leftrightarrow frac{1}{{left$n–kright$left$n–k+1right$}} + frac{1}{{kleft$k+1right$}} = frac{2}{{kleft$n–kright$}}\
 Leftrightarrow kleft$k+1right$ + left$n–kright$left$n–k+1right$ = 2left$k+1right$left$n–k+1right$
end{array}$

$Leftrightarrow {{left$2k-nright$}^{2}}=n+2$ suy ra $n+2$ là số chính phương, mà $n<20Rightarrow n=left{ 2;7;14 right}$

$n=2Rightarrow {{left$k-1right$}^{2}}=1Leftrightarrow k=2$ $loại$

$n = 7 Rightarrow {left$2k–7right$^2} = 9 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
k = 5\
k = 2
end{array} right.left$TMright$$

$n = 14 Rightarrow {left$2k–14right$^2} = 16 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
k = 9\
k = 5
end{array} right.left$TMright$$

Vậy có 4 cặp số $left$n,kright$$ thỏa mãn là $left$7;5right$,left$7;2right$,left$14;9right$,left$14;5right$.$

Câu 44: Đáp án A                  

Phương trình ${{3}^{x}}=sqrt{a{{.3}^{x}}cos left$pixright$-9}Leftrightarrow {{9}^{x}}+9=a{{.3}^{x}}cos left$pixright$Leftrightarrow {{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}=acos left$pixright$left$1right$$

Điều kiện cần: Nhận thấy nếu ${{x}_{0}}$ là một nghiệm của phương trình đã cho thì $2-{{x}_{0}}$ cũng là nghiệm của phương trình đã cho. Vậy để phương trình có đúng một nghiệm thực thì ${{x}_{0}}=2-{{x}_{0}}Leftrightarrow {{x}_{0}}=1.$ Thay vào $1$ ta tìm được $a=-6in left$$-2018;2018right$$$

Điều kiện đủ: Với $a=-6,$ phương trình $1$ trở thành ${{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}=-6cos left$pixright$left$1right$$

Sử dụng Cauchy ta có: ${{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}ge 6ge -6cos left$pixright$.$Dấu bằng xảy ra khi $left{ begin{array}{l}
x = 2 – x\
cospi x =  – 1
end{array} right. Leftrightarrow x = 1$

Vậy có đúng một giá trị của tham số thực aÎ –[ 2018;2018] để phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực

Câu 45: Đáp án D

Đặt $Mleft$1;1right$,Nleft$a;5right$,Pleft$b;0right$left$b>1right$$ lần lượt là các điểm biểu thị cho các số phức $z,{{z}_{1}},{{z}_{2}}$

Vậy $overrightarrow{MN}=left$a-1;4right$,overrightarrow{MP}=left$b-1;-1right$$

Từ giả thiết cho ta tam giác MNP cân tại M có $widehat{NMP}=120{}^circ $

Vậy $left{ begin{array}{l}
left| {overrightarrow {MN} } right| = left| {overrightarrow {MP} } right|\
cos120^circ  = frac{{overrightarrow {MN} .overrightarrow {MP} }}{{left| {overrightarrow {MN} } right|.left| {overrightarrow {MP} } right|}}
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
{left$a–1right$^2} + 16 = {left$b–1right$^2} + 1\
frac{{ – 1}}{2} = frac{{left$a–1right$left$b–1right$ – 4}}{{{{left$a–1right$}^2} + 16}}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{left$a–1right$^2} – {left$b–1right$^2} =  – 15\
{left$a–1right$^2} + 2left$a–1right$left$b–1right$ =  – 8
end{array} right.left$1right$$

Đặt $x = a – 1,y = b – 1left$y>0right$ Rightarrow left{ begin{array}{l}
{x^2} – {y^2} =  – 15left$1right$\
{x^2} + 2xy =  – 8left$2right$
end{array} right. Rightarrow 7{x^2} + 30xy + 8{y^2} = 0$ $nhânchéovếvớivếcủahaiphươngtrình$.

Tìm được $left{ begin{array}{l}
x = frac{{ – 2}}{7}y\
x =  – 4y
end{array} right..$

Thay vào $1$ thì thấy chỉ có $x=dfrac{-2}{7}y$thỏa mãn. Lúc này do ${{y}^{2}}=dfrac{49}{3}.$

Do $y>0Rightarrow y=dfrac{7}{sqrt{3}},x=dfrac{-2}{sqrt{3}}.$ Vậy $b-a=y-x=3sqrt{3}$

Câu 46: Đáp án C

Kẻ ME vuông góc với CB, tam giác MEN vuông tại E nên $MN=2EK.$

Vậy MN bé nhất khi và chỉ khi EK bé nhất. Lúc này EK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và đường thẳng CB.

Qua I kẻ PQ song song với BC $nhưhìnhvẽ$.

Vậy $dleft$BC,dright$=dleft$BC,left(D^{\prime }PQright$ right)=dleft$C,left(D^{\prime }PQright$ right)=dleft$C^{\prime },left(D^{\prime }PQright$ right)=C’H$ $trongđó\$C^{\prime }H\$vuônggócvới\$D^{\prime }P$$

Tính $C’H.dfrac{1}{C'{{H}^{2}}}=dfrac{1}{{{a}^{2}}}+dfrac{4}{{{a}^{2}}}=dfrac{5}{{{a}^{2}}}Rightarrow C’H=dfrac{asqrt{5}}{5}Rightarrow dleft$BC,dright$=dfrac{2asqrt{5}}{5}$

Câu 47: Đáp án D

Ta có d đi qua $N$2;5;2$,$ chỉ phương $overrightarrow{{{u}_{d}}}$1;2;1$,d’$ đi qua $N'$2;1;2$,$ chỉ phương $overrightarrow{{{u}_{d’}}}$1;-2;1$.$

Gọi $R$ là mặt phẳng chứa A và d, gọi $Q$ là mặt phẳng chứa A¢ và d¢

Từ giả thiết ta nhận thấy điểm M nằm trong các mặt phẳng $R$, $Q$ nên đường thẳng cố định chứa M chính là giao tuyến của các mặt phẳng $R$, $Q$.

Vậy $R$ đi qua $N$2;5;2$,$ có cặp chỉ phương là $overrightarrow{{{u}_{d}}}left$1;2;1right$,overrightarrow{u}left$15;-10;-1right$$

$Rightarrow {{n}_{P}}=left$1;2;-5right$Rightarrow left$Rright$:x+2y-5z-2=0.$ $R$ đi qua $Aleft$a;0;0right$Rightarrow a=2$

Tương tự $Q$ đi qua $N'$2;1;2$,$ có cặp chỉ phương $overrightarrow{{{u}_{d}}}left$1;-2;1right$,overrightarrow{u}left$15;-10;-1right$$$Rightarrow {{n}_{Q}}=left$3;4;5right$Rightarrow left$Rright$:3x+4y+5z-20=0.$ $Q$ đi qua $Aleft$0;0;bright$Rightarrow b=4.$ Vậy $a+b=6$ .

Câu 48: Đáp án D

${{f}^{3}}left$2-xright$-2{{f}^{2}}left$2+3xright$+{{x}^{2}}.gleft$xright$+36x=0forall xin mathbb{R}left$1right$$

$1$ đúng $forall xin mathbb{R}$ nên cũng đúng với $x=0Rightarrow $ ${f^3}left$2right$ – 2{f^2}left$2right$ = 0 Rightarrow left[ begin{array}{l}
fleft$2right$ = 0\
fleft$2right$ = 2
end{array} right.$

Lấy đạo hàm hai vế của $1$ ta có:

$-3{{f}^{2}}left$2-xright$.f’left$2-xright$-12fleft$2+3xright$.f’left$2+3xright$+2x.gleft$xright$+{{x}^{2}}.g’left$xright$+36=0forall xin mathbb{R}$

Cho $x=0Rightarrow -3{{f}^{2}}left$2right$.f’left$2right$-12fleft$2right$.f’left$2right$+36=0$

Ta thấy $fleft$2right$=0$ không thỏa mãn nên nên $fleft$2right$=2,$ khi đó $f’left$2right$=1Rightarrow 3fleft$2right$+4f’left$2right$=10$

$Chúý:hàmsố\$fleft(xright$$ và $gleft$xright$$ là tồn tại, chẳng hạn $fleft$xright$=x$ và $gleft$xright$=x+12.$ Nếu đoán được kết quả này thì sẽ được kết quả của bài toán luôn).

Câu 49: Đáp án B

Từ giả thiết ta có: ${{left$xfleft(xright$+1 right)}^{2}}=fleft$xright$+xf’left$xright$.$

Đặt $u=x.fleft$xright$+1Rightarrow {{u}^{2}}=u’Rightarrow dfrac{u’}{{{u}^{2}}}=1Rightarrow int{dfrac{u’}{{{u}^{2}}}dx=x+CRightarrow dfrac{-1}{u}=x+C}$

Vậy $x.fleft$xright$=dfrac{-1}{x+C}-1,$ mà $fleft$1right$=-2Rightarrow C=0$

Vậy $fleft$xright$=-dfrac{1}{{{x}^{2}}}-dfrac{1}{x}Rightarrow intlimits_{1}^{2}{fleft$xright$dx}=-ln 2-dfrac{1}{2}$

Câu 50: Đáp án B

Bình có 2 khả năng thắng cuộc:

+) Thắng cuộc sau lần quay thứ nhất. Nếu Bình quay vào một trong 5 nấc: 80, 85, 90, 95, 100 thì sẽ thắng nên xác suất thắng cuộc của Bình trường hợp này là ${{P}_{1}}=dfrac{5}{20}=dfrac{1}{4}$

+) Thắng cuộc sau 2 lần quay. Nếu Bình quay lần 1 vào một trong 15 nấc: 5, 10, …, 75 thì sẽ phải quay thêm lần thứ 2. Ứng với mỗi nấc quay trong lần thứ nhất, Bình cũng có 5 nấc để thắng cuộc trong lần quay thứ 2, vì thế xác suất thắng cuộc của Bình trường hợp này là ${{P}_{2}}=dfrac{15times 5}{20times 20}=dfrac{3}{16}$

Từ đó, xác suất thắng cuộc của Bình là $P={{P}_{1}}+{{P}_{2}}=dfrac{1}{4}+dfrac{3}{16}=dfrac{7}{16}$