Câu 38: Đáp án D
Ta có: ${{S}_{AOB}}=\int\limits_{0}^{3}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}=9$
Xét: $\Delta AOC$ có ${{S}_{\Delta AOC}}=\dfrac{1}{2}OA.OC=3\Rightarrow C\left( \dfrac{2}{3};0 \right)$
$\Rightarrow {{d}_{1}}:\dfrac{x}{\dfrac{2}{3}}+\dfrac{y}{9}=1\Rightarrow {{k}_{C}}=-\dfrac{27}{2}$
Xét: ${{S}_{\Delta AOD}}=\dfrac{1}{2}OA.OD=6\Rightarrow D\left( \dfrac{4}{3};0 \right)$
$\Rightarrow {{d}_{2}}:\dfrac{x}{\dfrac{4}{3}}+\dfrac{y}{1}=1\Rightarrow {{k}_{D}}=-\dfrac{27}{4}$
Do ${k_1} > {k_2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{k_1} = - \frac{{27}}{4}\\
{k_2} = - \frac{{27}}{2}
\end{array} \right.$
Câu 39: Đáp án A
Viết lại: $P=-\dfrac{1}{3}{{\log }_{3}}a+\log _{3}^{2}a+3{{\log }_{3}}a+1$
Đặt $t={{\log }_{3}}a;\,\,a\in \left[ \dfrac{1}{27};3 \right]\Rightarrow t\in \left[ -3;1 \right]$
$f\left( t \right)=-\dfrac{{{t}^{3}}}{3}+{{t}^{2}}+3t+1$
$ \Rightarrow f'\left( t \right) = - {t^2} + 2t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = - 1\\
t = 3
\end{array} \right.$
BBT:
$\underset{t\in \left[ -3;1 \right]}{\mathop{Max}}\,P=10=M;\,\,\underset{t\in \left[ -3;1 \right]}{\mathop{Min}}\,P=-\dfrac{2}{3}=m$
$\Rightarrow S=4M-3m=42$.
Câu 40: Đáp án A
${{\sin }^{2}}x.tanx+co{{s}^{2}}x.cotx+2sinx.\cos x=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
Đk : $sinx.\cos x\ne 0\Leftrightarrow \sin 2x\ne 0$
Quy đồng khử mẫu với: $\operatorname{tanx}=\dfrac{\operatorname{s}\text{inx}}{\cos x};\,\,\cot x=\dfrac{\cos x}{\operatorname{s}\text{inx}}$
$\Rightarrow {{\sin }^{4}}x+co{{s}^{4}}x+2{{\sin }^{2}}x.co{{s}^{2}}x=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\operatorname{s}\text{inx}.\cos x$
$ \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\sin 2x = \left( {{{\sin }^2}x + co{s^2}x} \right) \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\
2x = \frac{{2\pi }}{3} + k'2\pi
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{3} + k'\pi
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\rm{x}} = \frac{\pi }{6}\\
{\rm{ x}} = - \frac{{2\pi }}{3}
\end{array} \right.$
Câu 41: Đáp án C
Dễ thấy: ${{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}\Rightarrow $ Cấp số nhân với $q=2$
$\Rightarrow {{u}_{n}}={{u}_{1}}{{.2}^{n-1}}\Rightarrow {{u}_{10}}={{u}_{1}}{{.2}^{9}}$ thế vào $\log {{u}_{1}}+\sqrt{2+\log {{u}_{1}}-2\log {{u}_{10}}}=2\log {{u}_{10}}$
$\Rightarrow \log {{u}_{1}}=1-18\log 2$
$\Leftrightarrow {{u}_{1}}={{10}^{1-18\log 2}}$
Theo bài:${{u}_{n}}<{{5}^{100}}\Leftrightarrow {{u}_{1}}{{.2}^{n-1}}<{{5}^{100}}\Rightarrow n\le 247,87\Rightarrow {{n}_{Max}}=247$.
Câu 42: Đáp án D
Mở rộng $\left( A'MN \right)$ như sau:
Dễ thấy $A'B//CN\Rightarrow A',\,\,B,\,\,C,\,\,N$ đồng phẳng.
Kéo dài: $A'N$ cắt $BC$ tại $T$.
Nối $MT$ cắt $AB,CD$ tại $H,K$
Nối $KN$ cắt $C'D'$ tại $E$
Thiết diện là tứ giác $A'HKE$
Dễ thấy C là trung điểm BT, K là trọng tâm ABDT
$\Rightarrow \dfrac{KC}{DC}=\dfrac{1}{3};\,\,\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{2}{3};\,\,\dfrac{ED'}{D'C'}=\dfrac{2}{3}$
${{V}_{1}}={{V}_{A'.D'EKH}}+{{V}_{A'.AHKD}}=\dfrac{1}{3}a.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}+\dfrac{1}{3}a.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}\Rightarrow {{V}_{2}}={{a}^{3}}-\dfrac{{{a}^{3}}}{3}=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}=2$.
Câu 43: Đáp án D
$\left\{ \begin{array}{l}
\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 1\\
{z_1}^2 = {z_2}.{z_3}\\
\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}
\end{array} \right.$
Tính $M=\left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|-\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|$
Cách 1: Đại số
Ta có: $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| z_{1}^{2}-{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{2}}.{{z}_{3}}-{{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|$
$=\left| {{z}_{2}} \right|\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$ (1)
Ta lại có: $z_{1}^{2}={{z}_{2}}.{{z}_{3}}\Leftrightarrow z_{1}^{2}-z_{3}^{2}={{z}_{3}}\left( {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right)$
$\Rightarrow \left| z_{1}^{2}-z_{3}^{2} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|\left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}+{{z}_{3}} \right|\left| {{z}_{1}}-{{z}_{3}} \right|=\left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|$ (2)
Tính chất: $2\left( {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{3}} \right|}^{2}} \right)={{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{3}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{3}} \right|}^{2}}$
Từ (1) $\Rightarrow \left| {{z}_{1}}+{{z}_{3}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$ . Thế vào (2) ta được: $\left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|=\dfrac{\left( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right)}{4}=1$(3)
Từ (1) và (3): $M=1-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}=\dfrac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}-2}{2}$ .
Cách 2: Hình học
Ta có: $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=...=\left| {{z}_{2}} \right|\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|\Rightarrow \left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}={{M}_{1}}{{M}_{3}}$(1)
Gọi ${{M}_{1}},\,\,{{M}_{2}},\,\,{{M}_{3}}$ là 3 điểm biểu diễn ${{z}_{1}},\,{{z}_{2}},\,\,{{z}_{3}}$
Dễ dàng có: $\widehat{{{M}_{2}}{{M}_{1}}O}={{15}^{0}}$
$\Rightarrow \widehat{{{M}_{2}}{{M}_{1}}{{M}_{2}}}={{30}^{0}}$
$\Rightarrow \widehat{{{M}_{2}}O{{M}_{3}}}={{60}^{0}}$
$\Rightarrow \Delta O{{M}_{2}}{{M}_{3}}$ đều
${{M}_{2}}{{M}_{3}}=\left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|=1$(2)
Từ (1) và (2): $M=1-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}=\dfrac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}-2}{2}$ .
Cách 3: Chuẩn hóa chọn ${{z}_{1}}=1$.
Câu 44: Đáp án D
A$d:y=5x-9$. Dễ thấy: ${{b}^{2}}-3ac<0\,\forall m\Rightarrow $ Hàm số luôn có 2 cực trị.
$ycbt\Rightarrow u\in d$
Ta có: $u\left( m;\dfrac{{{m}^{3}}}{3}-m \right)\in d$
$\Rightarrow \dfrac{1}{3}{{m}^{3}}-m=5m-9$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}{{m}^{3}}-6m+9=0$
Bấm casio có 3 nghiệm phân biệt.
$\Rightarrow {{m}_{1}}.{{m}_{2}}.{{m}_{3}}=-\dfrac{d}{a}=-27$ (Viét).
Câu 45: Đáp án C
Xét $f\left( x \right)={{\left( 1+x \right)}^{n}}=$ (1)
$=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}.{{x}^{k}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\sum\limits_{k=0}^{n}{k.C_{n}^{k}}.{{x}^{k-1}}$
Nhân $x$ vào 2 vế ta có:
$x.f'\left( x \right)=\sum\limits_{k=0}^{n}{k.C_{n}^{k}}.{{x}^{k}}$
$\Rightarrow \left( x.f'\left( x \right) \right)'=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{k}^{2}}.C_{n}^{k}}.{{x}^{k-1}}$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow {{\left[ x.n{{\left( x+1 \right)}^{n-1}} \right]}^{\prime }}=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{k}^{2}}.C_{n}^{k}}.{{x}^{k-1}}$
$\Leftrightarrow n{{\left( x+1 \right)}^{n-1}}+n\left( n-1 \right)x{{\left( x+1 \right)}^{n-2}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{k}^{2}}.C_{n}^{k}}.{{x}^{k-1}}$
Cho $\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
n = 2018
\end{array} \right.$ ta được:
${{2018.3}^{2017}}+{{2.2018.2017.3}^{2016}}=\sum\limits_{k=0}^{2018}{{{k}^{2}}.C_{2018}^{k}}{{.2}^{k-1}}$
Theo bài:
${{2018.3}^{2016}}\left( 3+2.2017 \right)={{2018.3}^{a}}\left( 2b+1 \right)$
Đồng nhất thức: ${{2018.3}^{2016}}\left( 2.2018+1 \right)={{2018.3}^{a}}\left( 2b+1 \right)$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2016\\
b = 2018
\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 4034$
Câu 46: Đáp án B
$d\left( MN;SC \right)=?$
Cách 1: Kẻ $Cx//MN$
$\Rightarrow d\left( MN;SC \right)=d\left( MN;\left( SCx \right) \right)$
$=d\left( I;\left( SCx \right) \right)=\dfrac{IC}{HC}.d\left( H;\left( SCx \right) \right)$ $\left( \dfrac{IC}{HC}=K \right)$ (1)
Ta có: $d\left( H;\left( SCx \right) \right)=HK$
Ta có: $MH=HP=\dfrac{4a}{5}$
$NH=\dfrac{6a}{5}$.
$\Rightarrow IH=\dfrac{12a\sqrt{13}}{65}$
$HC=\dfrac{2a\sqrt{13}}{5}$
$\Rightarrow K=\dfrac{IC}{HC}=\dfrac{19}{13}$
Từ (1) $\Rightarrow d\left( MN;SC \right)=\dfrac{19}{13}.HK=\dfrac{19\sqrt{2}a}{13}$.
Câu 47: Đáp án C
Bài giao hai mặt cầu:
Gọi $M\left( x,y,z \right)$ theo bài: $M{{A}^{2}}+\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{MB}=16$
$\Rightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2\sqrt{2} \right)}^{2}}+x\left( x+4 \right)+y\left( y+4 \right)+{{z}^{2}}=16$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x+2y+2\sqrt{2}z-2=0\left( S' \right)$
Giao tuyến của $\left( S \right)$ và $\left( S' \right)$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y + 1 = 0,\,I\left( { - 1; - 2;0} \right)\\
\left( {S'} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 2y + 2\sqrt 2 z - 2 = 0
\end{array} \right.$
$\Rightarrow 2x-2y+2\sqrt{2}z-1=0\left( P \right)$
Ta có: $d\left( I;\left( P \right) \right)=IH=\dfrac{1}{4}$
$\Rightarrow r=\sqrt{I{{M}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{{{R}_{\left( S \right)}}^{2}-\dfrac{1}{16}}=\dfrac{3\sqrt{7}}{4}$.
Câu 48: Đáp án C
$\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=27\Rightarrow I\left( 1;-2;3 \right);R=3\sqrt{3}$
$A\left( 0;0;-4 \right),\,\,B\left( 2;0;0 \right);\,\,\left( \alpha \right):ax+by-z+c=0$
Ta có: $A,\,\,B \in \left( \alpha \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
c = - 4
\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right):2x + by - z - 4 = 0$
Ta có: ${{V}_{no\grave{u}n}}=\dfrac{1}{3}\pi .\sqrt{27-{{r}^{2}}}.{{r}^{2}}$
Xét: $T=\sqrt{27-{{r}^{2}}}.{{r}^{2}}\Rightarrow {{T}^{2}}=\left( 27-{{r}^{2}} \right).{{r}^{4}}$
$=4.\left( 27-{{r}^{2}} \right).\dfrac{{{r}^{2}}}{2}.\dfrac{{{r}^{2}}}{2}\overset{AM-GM}{\mathop{\le }}\,\dfrac{4.{{\left( 27-{{r}^{2}}+{{r}^{2}} \right)}^{3}}}{27}=4$
Dấu ‘=’ xảy ra: $27-{{r}^{2}}=\dfrac{{{r}^{2}}}{2}\Rightarrow r=3\sqrt{2}$
$\Rightarrow h=\sqrt{27-{{r}^{2}}}=3$
Ta có: $h=d\left( I;\alpha \right)=3\Rightarrow b=2$
Vậy $\left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = 2\\
c = - 4
\end{array} \right.$
Câu 49: Đáp án A
$g\left( x \right)=2f\left( x \right)+2{{x}^{3}}-4x-3m-6\sqrt{5}$
Để $g\left( x \right)\le 0\,\,\forall x\in \left[ -\sqrt{5};\sqrt{5} \right]$
$\Leftrightarrow \underset{x\in \left[ -\sqrt{5};\sqrt{5} \right]}{\mathop{Max}}\,\,g\left( x \right)\le 0$
Xét $g'\left( x \right)=2f'\left( x \right)+6{{x}^{2}}-4$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)=2-3{{x}^{2}}\Rightarrow $ Vẽ $\left( P \right):y=2-3{{x}^{2}}$
BBT
$\Leftrightarrow \underset{x\in \left[ -\sqrt{5};\sqrt{5} \right]}{\mathop{Max}}\,\,g\left( x \right)=g\left( \sqrt{5} \right)=2f\left( \sqrt{5} \right)-3m$
$\Rightarrow 2f\left( \sqrt{5} \right)-3m\le 0\Leftrightarrow m\ge \frac{2}{3}f\left( \sqrt{5} \right)$
Câu 50: Đáp án A
Ta có hình vẽ sau:
Mở rộng $\left( ABI \right)$ thành $\left( ABCD \right)$
Gọi $E,F$ là hình chiếu $A,\,\,B$ xuống $\left( O \right)$
Ta có: ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{{{S}_{EFCD}}}{cos\varphi }$ (1)
Với $cos\varphi =cos\left( \left( ABI \right);\left( O \right) \right)=\dfrac{3}{5}$
Phương trình đường tròn $\left( O \right)$
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=144$
Ta có:
${{S}_{EFCD}}=4\int\limits_{0}^{6}{\sqrt{144-{{x}^{2}}}}dx$
Từ (1) ta có: ${{S}_{ABCD}}=120\sqrt{3}+80\pi $.
