Câu 30: Đáp án A
Bán kính đáy của hình nón là: $R-=\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
Chiều cao của hình nón là: $h=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$
Diện tích xung quanh của hình nón là:
${{S}_{xq}}=\pi Rl=\pi .\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}.$
Câu 31: Đáp án A
Dựng hình như hình vẽ.
Ta có: $OA=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Khi đó $\tan \,\varphi =\tan \widehat{SHO}=\frac{SO}{OH}=\sqrt{2}$
Do đó $c\text{os}\varphi =\frac{1}{\sqrt{3}}$
Câu 32: Đáp án A
Ta có: $f\left( 1 \right)=0\Rightarrow a+b=0.$ Do $f\left( x \right)=a\,x+\frac{b}{{{x}^{2}}}\left( x\ne 0 \right)\Rightarrow F\left( x \right)=\frac{a\,{{x}^{2}}}{2}-\frac{b}{x}+C$
Do $F\left( -1 \right)=1\Rightarrow \frac{a}{2}+b+C=1;F\left( 1 \right)=4\Rightarrow \frac{a}{2}-b+C=4$
Suy ra $a=\frac{3}{2};b=-\frac{3}{2};c=\frac{7}{4}\Rightarrow F\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}}{4}+\frac{3}{2x}+\frac{7}{4}$
Câu 33: Đáp án C
Gọi $I\left( -1;-1;-4 \right);A{{B}^{2}}=24$ là trung điểm của AB khi đó $A{{M}^{2}}+B{{M}^{2}}=30$
Suy ra ${{\overrightarrow{MA}}^{2}}+{{\overrightarrow{MB}}^{2}}=30{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{M}I+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}=30$
$2M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} \right)=30\Leftrightarrow 2M{{I}^{2}}=30-\frac{A{{B}^{2}}}{2}\Leftrightarrow MI=3.$
Do đó mặt cầu $\left( S \right)$tâm $I\left( -1;-1;-4 \right);R=3$.
Câu 34: Đáp án B
Cách 1: CALC
Cách 2: $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,f\left( x \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\sqrt{1+x}-2+2-\sqrt[3]{8-x}}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\left[ \frac{\left( 1+x \right)-1}{\sqrt{1+x}+1} \right]+\frac{8-\left( 8-x \right)}{4+2\sqrt[3]{8-x}+\sqrt[3]{{{\left( 8-x \right)}^{2}}}}}{x}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{2}{\sqrt{1+x}+1}+\frac{1}{4+2\sqrt[3]{8-x}+\sqrt[3]{{{\left( 8-x \right)}^{2}}}} \right)=\frac{13}{12}$
Câu 35: Đáp án D
Phương trình đã cho $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x-6+{{x}^{2}}-x-3=\left( {{x}^{2}}-x-3 \right){{.8}^{{{x}^{2}}+3x-6}}+\left( {{x}^{2}}+3x-6 \right){{.8}^{{{x}^{2}}-x-3}}$
$\Rightarrow u+v=u{{.8}^{v}}+v{{.8}^{u}}$(với $u={{x}^{2}}+3x-6;v={{x}^{2}}-x-3$) $\Leftrightarrow \left( {{8}^{u}}-1 \right)v+\left( {{8}^{v}}-1 \right)u=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).$
TH1. Nếu $u=0$, khi đó $\left( * \right) \Leftrightarrow v = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} + 3x - 6 = 0\\
{x^2} - x - 3 = 0
\end{array} \right.$
TH2. Nếu $v=0,$tương tự TH1.
TH3. Nếu $u>0;v>0,$khi đó $\left( {{8}^{u}}-1 \right)v+\left( {{8}^{v}}-1 \right)u>0\Rightarrow \left( * \right)$ vô nghiệm.
TH4. Nếu $u<0;v<0,$tương tự TH3.
TH5. Nếu $u>0;v<0$, khi đó $\left( {{8}^{u}}-1 \right)v+\left( {{8}^{v}}-1 \right)u<0\Rightarrow \left( * \right)$vô nghiệm.
TH6. Nếu $u<0;v>0,$ tương tự TH5.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt .
Hoặc biến đổi $\left( * \right)\Leftrightarrow \frac{{{8}^{u}}-1}{u}+\frac{{{8}^{v}}-1}{v}=0,$dễ thấy $\frac{{{8}^{u}}-1}{u}>0;\forall u\ne 0$ (Table = Mode 7).
Câu 36: Đáp án C
Gọi O là tâm hình vuông ABCD.
$I=SO\cap B'D'\Rightarrow C'=AI'\cap SC.$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AB\\
BC \bot SA
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AB'$
Lại có $AB'\bot SB\Rightarrow AB\bot 'SC$, tương tự $AD'\bot SC$
Do đó $AC'\bot SC$
Xét tam giác SAB có: $SB'.SB=S{{A}^{2}}\Rightarrow \frac{SB'}{SB}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\frac{2}{3}$
Tương tự $\frac{SC'}{SC}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{C}^{2}}}=\frac{2}{4}$
Do đó $\frac{{{V}_{S.AB'C'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{2}{3}.\frac{2}{4}=\frac{1}{3},$do tính chất đối xứng nên:
$\frac{{{V}_{S.AB'C'D'}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{3};{{V}_{S.ABCD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}\Rightarrow V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{9}.$
Câu 37: Đáp án A
Giả sử ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d\Rightarrow {{u}_{5}}={{u}_{1}}+4d=18\left( 1 \right).$
Ta có: ${{S}_{n}}=\frac{n\left[ 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right]}{2};{{S}_{2n}}=\frac{2n\left[ 2{{u}_{1}}+\left( 2n-1 \right)d \right]}{2}$
Do ${{S}_{2n}}=4{{S}_{n}}\Rightarrow 2n\left[ 2{{u}_{1}}+\left( 2n-1 \right)d \right]=4n\left[ 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right]\Leftrightarrow 2{{u}_{1}}+\left( 2n-1 \right)d=4{{u}_{1}}+\left( 2n-2 \right)d$
$\Leftrightarrow 2{{u}_{1}}=d\,\,\left( 2 \right).$ Từ (1) và (2) suy ra ${{u}_{1}}=2,d=4.$
Câu 38: Đáp án A
Do $AB//CD$do đó $d\left( CD;\left( SAB \right) \right)=d\left( D;\left( SAB \right) \right)$
Dựng $DH\bot SA\Rightarrow DH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow d=DH=\frac{SD.DA}{\sqrt{S{{D}^{2}}+D{{A}^{2}}}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}$
Câu 39: Đáp án A
Ta có đáy của hình hộp đã cho là hình thoi:
Do đó $\left\{ \begin{array}{l}
AC \bot BD\\
AC//A'C'
\end{array} \right. \Rightarrow A'C' \bot BD$ nên A đúng,
tương tự C, D đúng.
Câu 40: Đáp án C
PTTT của $\left( C \right)$tại điểm $M\left( a;2{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}+5 \right)$là: $y=\left( 6{{a}^{2}}-6a \right)\left( x-a \right)+2{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}+5$
Do tiếp tuyến đi qua điểm $A\left( \frac{19}{12};4 \right)$nên $4 = \left( {6{a^2} - 6a} \right)\left( {\frac{{19}}{{12}} - a} \right) + 2{a^3} - 3{a^2} + 5$
$ \Leftrightarrow 4{a^3} - \frac{{25}}{2}{a^2} + \frac{{19}}{2}a - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = \frac{1}{8}\\
a = 1\\
a = 2
\end{array} \right.$
Vậy từ điểm $A\left( \frac{19}{12};4 \right)$kẻ được 3 tiếp tuyến tới $\left( C \right)$.
Câu 41: Đáp án D
Gọi $I\left( a;b;c \right)$là điểm cách đều bốn mặt phẳng $\left( ABC \right),\left( BCD \right),\left( CDA \right),\left( DAB \right).$
Khi đó, ta có $\left| a \right|=\left| b \right|=\left| c \right|=\frac{\left| a+b+c-1 \right|}{\sqrt{3}}\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)$. Suy ra có 8 cặp $\left( a;b;c \right)$ thỏa mãn (*).
Câu 42: Đáp án A
Gọi r, l lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón.
Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}$, với h là chiều cao khối nón.
Ta có ${{r}^{4}}\left( {{l}^{2}}-{{r}^{2}} \right)=4.\frac{{{r}^{2}}}{2}.\frac{{{r}^{2}}}{2}.\left( {{l}^{2}}-{{r}^{2}} \right)\le \frac{4}{27}\left( \frac{{{r}^{2}}}{2}+\frac{{{r}^{2}}}{2}+{{l}^{2}}-{{r}^{2}} \right)=\frac{4}{27}{{l}^{6}}$
Suy ra ${{r}^{2}}\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}\le \frac{2{{l}^{3}}}{3\sqrt{3}}\Rightarrow {{V}_{\left( N \right)}}\le \frac{2\pi {{l}^{3}}}{9\sqrt{3}}.$ Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{{{r}^{2}}}{2}={{l}^{2}}-{{r}^{2}}\Leftrightarrow {{l}^{2}}=\frac{3{{r}^{2}}}{2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$
Mà x là chu vi đường tròn đáy hình nón $\Rightarrow x=2\pi r$ và đường sinh $l=R\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$
Từ (1), (2) suy ra ${{R}^{2}}=\frac{3}{2}.{{\left( \frac{x}{2\pi } \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{8{{\pi }^{2}}{{R}^{2}}}{3}\Rightarrow x=\frac{2\pi R\sqrt{6}}{3}.$
Câu 43: Đáp án C
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy
+) Đồ thị hàm số có TCĐ và tiệm cận ngang là $x = - \frac{d}{c},y = \frac{a}{c} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- \frac{d}{c} < 0\\
\frac{a}{c} > 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
cd > 0\\
ac > 0
\end{array} \right. \Rightarrow ad > 0$
+) Đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọa độ $\left( {0;\frac{b}{d}} \right),\left( { - \frac{b}{a};0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{b}{d} < 0\\
- \frac{b}{a} > 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
bd < 0\\
ab < 0
\end{array} \right.$
Câu 44: Đáp án B
Ta có $y'=\frac{-\sin x\left( \cos x-m \right)+\sin x\left( \cos x-2 \right)}{{{\left( \cos x-m \right)}^{2}}}=\frac{\sin x\left( m-2 \right)}{{{\left( \cos x-m \right)}^{2}}}$
Hàm số nghịch biến trên $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow y' < 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m - 2 < 0\\
\cos x \ne m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 2\\
m \notin \left( {0;1} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m \le 0\\
{\cos ^{ - 1}}1 \le m < 2
\end{array} \right.$
Câu 45: Đáp án B
Ô tô dừng hẳn $\Leftrightarrow v\left( t \right)=0\Leftrightarrow -5t+10=0\Leftrightarrow t=2\left( s \right)$
Suy ra quãng đường đi được bằng $\int\limits_{0}^{2}{\left( -5t+10 \right)d}t=\left. \left( -\frac{5}{2}{{t}^{2}}+10t \right) \right|_{0}^{2}=10\left( m \right)$
Câu 46: Đáp án C
PT hoành độ giao điểm là $m+1={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-2\xrightarrow{t={{x}^{2}}}{{t}^{2}}-3t-m-3=0\,\,\left( 1 \right).$
Hai đồ thị có 2 giao điểm $\Leftrightarrow \left( 1 \right)\Leftrightarrow $có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow {{t}_{1}}{{t}_{2}}<0\Leftrightarrow -m-3<0\Leftrightarrow m>-3\,\,\,\left( 2 \right)$
Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}
{t_1} = \frac{{3 + \sqrt {21 + 4m} }}{2}\\
{t_2} = \frac{{3 - \sqrt {21 + 4m} }}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_A} = \sqrt {{t_1}} \\
{x_B} = - \sqrt {{t_1}}
\end{array} \right.$
Suy ra tọa độ hai điểm A,B là $A\left( {\sqrt {{t_1}} ;m + 1} \right),B\left( { - \sqrt {{t_1}} ;m + 1} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {OA} = \left( {\sqrt {{t_1}} ;m + 1} \right)\\
\overrightarrow {OB} = \left( { - \sqrt {{t_1}} ;m + 1} \right)
\end{array} \right.$
Tam giác OAB vuông tại O $\Rightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow -{{t}_{1}}+{{\left( m+1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow -\frac{3+\sqrt{21+4m}}{2}+{{\left( m+1 \right)}^{2}}=0$
Giải PT kết hợp với điều kiện $\left( 2 \right)\Rightarrow m=1\Rightarrow m\in \left( \frac{3}{4};\frac{5}{4} \right)$
Câu 47: Đáp án B
Xét các số lẻ có 4 chữ số được lập từ các số trên có: $3.4.4.3=144$số
Xét các số lẻ có 4 chữ số được lập từ 4 số trên và không có mặt chữ số 3 có: $2.3.3.2=36$ số
Do đó có $144-36=108$ thỏa mãn.
Câu 48: Đáp án B
Gọi $M\left( a;b;c \right)$suy ra $\overrightarrow{AM}=\left( a;b-2;c+4 \right),\overrightarrow{BM}=\left( a+3;b-5;c-2 \right)$
Khi đó $M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{\left( c+4 \right)}^{2}}+2\left[ {{\left( a+3 \right)}^{2}}+{{\left( b-5 \right)}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}} \right]$
$=3{{a}^{2}}+12a+3{{b}^{2}}-24b+3{{c}^{2}}+96=3{{\left( a+2 \right)}^{2}}+3{{\left( b-4 \right)}^{2}}+3{{c}^{2}}+36\ge 36$
Vậy ${{\left\{ M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}} \right\}}_{\min }}=36.$ Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \left( a;b;c \right)=\left( -2;4;0 \right).$
Câu 49: Đáp án C
Đặt $t={{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}\to PT\Leftrightarrow 4t+\frac{1}{t}-m=0\Leftrightarrow 4{{t}^{2}}-m.t+1=0\,\left( 1 \right)$.
PT ban đầu có 2 nghiệm âm phân biệt $\Leftrightarrow \left( 1 \right)$có hai nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}<1.$
Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}
\Delta \left( 1 \right) > 0\\
{t_1} + {t_2} < 2\\
\left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_2} - 1} \right) < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - 16 > 0\\
\frac{m}{4} < 2\\
{t_1}{t_2} - \left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 1 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 4\\
m < - 4
\end{array} \right.\\
\frac{1}{4} - \frac{m}{4} + 1 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4 < m < 8\\
m < 5
\end{array} \right. \Rightarrow 4 < m < 5$
Câu 50: Đáp án C
Dựng hình vuông $ABCD\Rightarrow SD\bot mp\,\left( ABCD \right).$
Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC chính là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Kẻ $DH\bot SC\,\,\left( H\in SC \right)$mà $BC\bot \left( SCD \right)\Rightarrow DH\bot \left( SBC \right).$
Mặt khác $AD//BC\Rightarrow D\left( A;\left( SBC \right) \right)=d\left( D;\left( SBC \right) \right)=DH=a\sqrt{2}$
Tam giác SCD vuông tại D, có $\frac{1}{D{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{D}^{2}}}+\frac{1}{C{{D}^{2}}}\Rightarrow SD=a\sqrt{6}$
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là $R=\sqrt{{{R}^{2}}_{ABCD}+\frac{S{{D}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{6}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{6}}{4} \right)}^{2}}}=a\sqrt{3}$
Vậy diện tích mặt cầu cần tính là $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi {{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}=12\pi {{a}^{2}}.$
