Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

Dạng 1: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $l e f t (H r i g h t$ ) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f l e f t (x r i g h t$ ), trục $O x$ và hai đường thẳng $x = a, x = b l e f t (a < b r i g h t$ ) quanh trục $O x$

Công thức tính:

Dạng 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $l e f t (H r i g h t$ ) giới hạn bởi đồ thị hàm số $x = f l e f t (y r i g h t$ ), trục $O y$ và hai đường thẳng $y = a, y = b l e f t (a < b r i g h t$ ) quanh trục $O y$ .

Công thức tính:

Dạng 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $l e f t (H r i g h t$ ) giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = f l e f t (x r i g h t$ ,y = gleft $x r i g h t$ ) liên tục trên $l e f t [a; b r i g h t], 0 l e f l e f t (x r i g h t$ le gleft $x r i g h t$ ,forall x in left $a; b r i g h t$ ) quay quanh trục $O x$

Công thức tính:

Dạng 4: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng $x = a, x = b$ biết diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc trục $Ox$ là $S = S l e f t (x r i g h t$ ).

Công thức tính:

Khi miền $D$ giới hạn bởi nhiều đồ thị hàm số thì ta nên vẽ hình, sau đó từ hình vẽ suy ra cách tính.

Ví dụ: Cho đường cong $y = - x^{2} + 1$ và đường thẳng $y = 0$ . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường trên quanh $O x$ .

Ta có: $- x^{2} + 1 = 0 L e f t r i g h t a r r o w l e f t [b e g i n a r r a y l x = - 1 \x = 1 e n d a r r a y r i g h t .$

Thể tích: $V = p i i n t l i m i t s_{- 1}^{1} {l e f t (- x^{2} + 1 r i g h t)}^{2} d x = p i i n t l i m i t s_{- 1}^{1} l e f t (x^{4} - 2 x^{2} + 1 r i g h t) d x$