Dạng 1: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (left( H right)) giới hạn bởi đồ thị hàm số (y = fleft( x right)), trục (Ox) và hai đường thẳng (x = a,x = bleft( {a < b} right)) quanh trục (Ox)
Công thức tính:
Dạng 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (left( H right)) giới hạn bởi đồ thị hàm số (x = fleft( y right)), trục (Oy) và hai đường thẳng (y = a,y = bleft( {a < b} right)) quanh trục (Oy).
Công thức tính:
Dạng 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (left( H right)) giới hạn bởi các đồ thị hàm số (y = fleft( x right),y = gleft( x right)) liên tục trên (left[ {a;b} right],0 le fleft( x right) le gleft( x right),forall x in left[ {a;b} right]) quay quanh trục (Ox)
Công thức tính:
Dạng 4: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng (x = a,x = b) biết diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc trục $Ox$ là (S = Sleft( x right)).
Công thức tính:
Khi miền (D) giới hạn bởi nhiều đồ thị hàm số thì ta nên vẽ hình, sau đó từ hình vẽ suy ra cách tính.
Ví dụ: Cho đường cong (y = – {x^2} + 1) và đường thẳng (y = 0). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường trên quanh (Ox).
Ta có: ( – {x^2} + 1 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = – 1\x = 1end{array} right.)
Thể tích: (V = pi intlimits_{ – 1}^1 {{{left( { – {x^2} + 1} right)}^2}dx} = pi intlimits_{ – 1}^1 {left( {{x^4} – 2{x^2} + 1} right)dx} )
$= pi left. {left( {dfrac{{{x^5}}}{5} – dfrac{{2{x^3}}}{3} + x} right)} right|_{ – 1}^1 = dfrac{{16pi }}{{15}}$.
