1. Tích có hướng của hai véc tơ
– Định nghĩa: Cho các véc tơ (overrightarrow {{u_1}} = left( {{x_1};{y_1};{z_1}} right)) và (overrightarrow {{u_2}} = left( {{x_2};{y_2};{z_2}} right)). Tích có hướng của hai véc tơ (overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} ) là véc tơ (overrightarrow u ), kí hiệu (overrightarrow u = left[ {overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} } right]) hoặc $overrightarrow u = overrightarrow {{u_1}} wedge overrightarrow {{u_2}} $ và được xác định bằng tọa độ như sau:
Véc tơ (overrightarrow u ) vuông góc với cả hai véc tơ (overrightarrow {{u_1}} ) và (overrightarrow {{u_2}} )
– Tính chất:
+) (left[ {overrightarrow {{u_1}} ;overrightarrow {{u_2}} } right] = – left[ {overrightarrow {{u_2}} ;overrightarrow {{u_1}} } right])
+) (left[ {overrightarrow {{u_1}} ;overrightarrow {{u_2}} } right] = overrightarrow 0 Leftrightarrow overrightarrow {{u_1}} ) cùng phương (overrightarrow {{u_2}} )
+) (left[ {overrightarrow {{u_1}} ;overrightarrow {{u_2}} } right] bot overrightarrow {{u_1}} ;left[ {overrightarrow {{u_1}} ;overrightarrow {{u_2}} } right] bot overrightarrow {{u_2}} )
+) (left[ {overrightarrow {{u_1}} ;overrightarrow {{u_2}} } right].overrightarrow {{u_3}} = 0 Leftrightarrow ) ba véc tơ (overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} ,overrightarrow {{u_3}} ) đồng phẳng.
+) (left| {left[ {overrightarrow {{u_1}} ;overrightarrow {{u_2}} } right]} right| = left| {overrightarrow {{u_1}} } right|.left| {overrightarrow {{u_2}} } right|sin left( {overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} } right))
2. Ứng dụng tích có hướng
– Diện tích tam giác:
– Diện tích hình bình hành:
– Thể tích tứ diện:
– Thể tích khối hộp:
Chú ý: Khi thực hành tính toán, các em có thể tính tích có hướng ở ngoài nháp như sau:
+B1: Viết tọa độ mỗi véc tơ hai lần liền nhau, các tọa độ tương ứng của hai véc tơ thẳng cột.
(begin{array}{*{20}{r}}{{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}&{{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}\{{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}&{{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}end{array})
+ B2: Xóa bỏ hai cột ngoài cùng.
+ B3: Tính toán theo quy luật: Nhân chéo rồi trừ.
Ví dụ: Cho hai véc tơ (overrightarrow u = left( {1;5;3} right)) và (overrightarrow v = left( {2; – 1;0} right)). Tính tích có hướng của hai véc tơ trên.
Giải:
Ta sẽ sử dụng phương pháp thực hành ở trên như sau: (chỉ viết ngoài nháp)
Vậy (left[ {overrightarrow u ,overrightarrow v } right] = left( {3;6; – 11} right)).
