1. Kiến thức cần nhớ
– Vi phân:
(begin{array}{l}t = uleft( x right) Rightarrow dt = u’left( x right)dx\uleft( t right) = vleft( x right) Rightarrow u’left( t right)dt = v’left( x right)dxend{array})
– Công thức đổi biến:
(int {fleft[ {uleft( x right)} right]u’left( x right)dx} = int {fleft( t right)dt} ) ( = Fleft( t right) + C = Fleft( {tleft( x right)} right) + C)
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến (t = uleft( x right)).
– Bước 1: Đặt (t = uleft( x right)), trong đó (uleft( x right)) là hàm được chọn thích hợp.
– Bước 2: Tính vi phân (dt = u’left( x right)dx).
– Bước 3: Biến đổi (fleft( x right)dx) thành (gleft( t right)dt).
– Bước 4: Tính nguyên hàm: (int {fleft( x right)dx} = int {gleft( t right)dt} ) ( = Gleft( t right) + C = Gleft( {uleft( x right)} right) + C).
Ví dụ: Tính nguyên hàm (int {2xsqrt {{x^2} + 1} dx} ).
Giải:
Đặt (t = sqrt {{x^2} + 1} Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 ) ( Rightarrow 2tdt = 2xdx).
Do đó: (int {2xsqrt {{x^2} + 1} dx} = int {sqrt {{x^2} + 1} .2xdx} ) (= int {t.2tdt} = int {2{t^2}dt} = dfrac{2}{3}{t^3} + C ) (= dfrac{2}{3}sqrt {{{left( {{x^2} + 1} right)}^3}} + C).
Dạng 2: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến (x = uleft( t right)).
– Bước 1: Đặt (x = uleft( t right)), trong đó (uleft( t right)) là hàm số ta chọn thích hợp.
– Bước 2: Lấy vi phân 2 vế (dx = u’left( t right)dt).
– Bước 3: Biến đổi (fleft( x right)dx = fleft( {uleft( t right)} right).u’left( t right)dt = gleft( t right)dt).
– Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức (int {fleft( x right)dx} = int {gleft( t right)dt} = Gleft( t right) + C)
