1. Kiến thức cần nhớ
- Phương trình của mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\) là:
\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) (1)
hoặc \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) (2)
Phương trình (2) có tâm \(I\left( { a; b; c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).
Do đó điều kiện cần và đủ để (2) là phương trình mặt cầu là \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Nhận biết các yếu tố từ phương trình mặt cầu.
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa tâm và bán kính mặt cầu:
- Mặt cầu có phương trình dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\).
- Mặt cầu có phương trình dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( { - a; - b; - c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).
Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu.
Phương pháp chung:
Cách 1: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng tổng quát.
- Tìm tâm và bán kính mặt cầu, từ đó viết phương trình theo các dạng vừa nêu ở trên.
Cách 2: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng khai triển.
- Gọi mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\)
- Sử dụng điều kiện bài cho để tìm \(a,b,c,d\).
Một số bài toán hay gặp:
- Viết phương trình mặt cầu tâm và bán kính đã cho.
- Mặt cầu có đường kính \(AB\): tâm là trung điểm của \(AB\) và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2}\).
- Mặt cầu đi qua \(4\) điểm \(A,B,C,D\):
+) Gọi mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\)
+) Thay tọa độ các điểm bài cho vào phương trình và tìm \(a,b,c,d\).
Dạng 3: Tìm tham số để mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước.
- Mặt cầu đi qua một điểm nếu tọa độ điểm đó thỏa mãn phương trình mặt cầu.
