1. Kiến thức cần nhớ
– Phương trình của mặt cầu tâm (Ileft( {a;b;c} right)) và bán kính (R) là:
({left( {x – a} right)^2} + {left( {y – b} right)^2} + {left( {z – c} right)^2} = {R^2}) (1)
hoặc ({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0) (2)
Phương trình (2) có tâm (Ileft( { a; b; c} right)) và bán kính (R = sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} – d} ).
Do đó điều kiện cần và đủ để (2) là phương trình mặt cầu là ({a^2} + {b^2} + {c^2} – d > 0)
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Nhận biết các yếu tố từ phương trình mặt cầu.
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa tâm và bán kính mặt cầu:
– Mặt cầu có phương trình dạng ({left( {x – a} right)^2} + {left( {y – b} right)^2} + {left( {z – c} right)^2} = {R^2}) có tâm (left( {a;b;c} right)) và bán kính (R).
– Mặt cầu có phương trình dạng ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0) có tâm (Ileft( { – a; – b; – c} right)) và bán kính (R = sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} – d} ).
Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu.
Phương pháp chung:
Cách 1: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng tổng quát.
– Tìm tâm và bán kính mặt cầu, từ đó viết phương trình theo các dạng vừa nêu ở trên.
Cách 2: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng khai triển.
– Gọi mặt cầu có phương trình ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0)
– Sử dụng điều kiện bài cho để tìm (a,b,c,d).
Một số bài toán hay gặp:
– Viết phương trình mặt cầu tâm và bán kính đã cho.
– Mặt cầu có đường kính (AB): tâm là trung điểm của (AB) và bán kính (R = dfrac{{AB}}{2}).
– Mặt cầu đi qua (4) điểm (A,B,C,D):
+) Gọi mặt cầu có phương trình ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0)
+) Thay tọa độ các điểm bài cho vào phương trình và tìm (a,b,c,d).
Dạng 3: Tìm tham số để mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước.
– Mặt cầu đi qua một điểm nếu tọa độ điểm đó thỏa mãn phương trình mặt cầu.
