Phương pháp giải một số bài toán cực trị có tham số đối với một số hàm số cơ bản

Phương pháp:

– Bước 1: Tính $y^{\prime }$.

– Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số bậc ba có cực trị:

+ Hàm số có cực trị$Leftrightarrow{y}^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt $LeftrightarrowDelta>0$.

+ Hàm số không có cực trị $Leftrightarrow{y}^{\prime }=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $LeftrightarrowDeltale0$.

– Bước 3: Kết luận.

Phương pháp:

– Bước 1: Tính $y^{\prime }$.

– Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số có cực trị:

+ Hàm số có $1$ cực trị nếu phương trình $y^{\prime }=0$ có nghiệm duy nhất.

+ Hàm số có $3$ cực trị nếu phương trình $y^{\prime }=0$ có ba nghiệm phân biệt.

– Bước 3: Kết luận.

Phương pháp:

– Bước 1: Tính $y^{\prime },y”$.

– Bước 2: Nêu điều kiện để $x=x_0$ là cực trị của hàm số:

+ $x=x_0$ là điểm cực đại nếu (left{ begin{array}{l}f’left$x_{0}right$ = 0\f”left$x_{0}right$ < 0end{array} right.)

+ $x=x_0$ là điểm cực tiểu nếu (left{ begin{array}{l}f’left$x_{0}right$ = 0\f”left$x_{0}right$ > 0end{array} right.)

– Bước 3: Kết luận.

Phương pháp:

– Bước 1: Tính $y^{\prime }$.

– Bước 2: Nêu điều kiện để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thỏa mãn điều kiện:

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về hai phía trục tung

$Leftrightarrow{y}^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu$Leftrightarrowac<0$

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục tung

$Leftrightarrow{y}^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta  > 0\P > 0end{array} right.)

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về bên phải trục tung

$Leftrightarrow{y}^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dương ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta  > 0\S > 0\P > 0end{array} right.)

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về bên trái trục tung

$Leftrightarrow{y}^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt cùng âm ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta  > 0\S < 0\P > 0end{array} right.)

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị $Aleft(x_1;y_{1}right$,Bleft$x_2;y_{2}right$) thỏa mãn đẳng thức liên hệ giữa $x_1,x_2$ thì ta biến đổi đẳng thức đã cho làm xuất hiện $x_1+x_2,x_1.x_2$ rồi sử dụng hệ thức Vi-et để thay $leftbeginarrayl{x}_1+x_2=S\{x_1{x}_2=Pendarrayright.$ và tìm $m$.

Phương pháp:

– Bước 1: Tính $y^{\prime }$.

– Bước 2: Nêu điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thỏa mãn điều kiện:

+ Ba điểm cực trị $A,B,C$ trong đó $Aleft(0;cright$) lập thành một tam giác vuông $vuôngcân$

$LeftrightarrowDeltaABC$ vuông tại $ALeftrightarrowoverrightarrowAB.overrightarrowAC=0$ .

+ Ba điểm cực trị $A,B,C$ trong đó $Aleft(0;cright$) tạo thành tam giác đều $LeftrightarrowAB=BC=CA$.

+ Ba điểm cực trị $A,B,C$ trong đó $Aleft(0;cright$) tạo thành tam giác có diện tích $S_0$ cho trước

$Leftrightarrow{S}_0=dfrac12AH.BC$ với $H$ là trung điểm của $BC$.

+ Ba điểm cực trị $A,B,C$ trong đó $Aleft(0;cright$) tạo thành tam giác có diện tích $S_0$ lớn nhất

$Leftrightarrow$ Tìm $max{S}_0$ với $S_0=dfrac12AH.BC,H$ là trung điểm của $BC$.

+ Ba điểm cực trị $A,B,C$ trong đó $Aleft(0;cright$) tạo thành tam giác cân có góc ở đỉnh bằng $alpha$ cho trước

$LeftrightarrowdfracoverrightarrowAB.overrightarrowACleft|overrightarrowABright|.left|overrightarrowACright|=cosalpha$

+ Ba điểm cực trị $A,B,C$ trong đó $Aleft(0;cright$) tạo thành tam giác có ba góc nhọn

$Leftrightarrowalpha$ là góc ở đỉnh phải nhọn $Leftrightarrowcosalpha=dfracoverrightarrowAB.overrightarrowACleft|overrightarrowABright|.left|overrightarrowACright|>0$

– Bước 3: Kết luận.

Phương pháp:

– Bước 1: Tính $y^{\prime }$.

– Bước 2: Lấy $y$ chia $y^{\prime }$ ta được đa thức dư $gleft(xright$ = mx + n).

– Bước 3: Kết luận: $y=mx+n$ là đường thẳng cần tìm.