Phương pháp giải các bài toán về hàm số bậc hai

Dưới đây là một số dạng toán thường gặp liên quan đến hàm số bậc hai

Dạng 1: Tìm điều kiện tham số để đồ thị hàm số đi qua điểm cho trước.

Phương pháp:

Điểm $Mleft(x_0;y_{0}right$) thuộc đồ thị hàm số nếu tọa độ của nó thỏa mãn phương trình hàm số.

Ví dụ 1: Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y=x^2–mx+1$ đi qua điểm $Mleft(1;2right$).

Giải:

Đồ thị hàm số đi qua $Mleft(1;2right$)$Rightarrow$ thay $x=1;y=2$ ta được:

$2=1^2–m.1+1Leftrightarrow2=2–mLeftrightarrowm=0$

Vậy $m=0$ là giá trị cần tìm.

Dạng 2: Viết phương trình parabol đi qua ba điểm.

Phương pháp:

– Bước 1: Gọi phương trình parabol: $y=a{x}^2+bx+cleft(ane0right$).

– Bước 2: Thay tọa độ ba điểm vào phương trình parabol.

– Bước 3: Giải hệ phương trình tìm $a,b,c$.

Ví dụ 2: Lập phương trình parabol đi qua các điểm $Aleft(0;0right$,Bleft$1;1right$,Cleft$–1;1right$).

Giải:

Gọi phương trình parabol $left(Pright$:y = a{x^2} + bx + cleft$ane0right$).

Do $left(Pright$) đi qua các điểm $Aleft(0;0right$,Bleft$1;1right$,Cleft$–1;1right$) nên:

(left{ begin{array}{l}0 = a{.0^2} + b.0 + c\1 = a{.1^2} + b.1 + c\1 = a.{left$–1right$^2} + b.left$–1right$ + cend{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}c = 0\a + b = 1\a – b = 1end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a = 1\b = 0\c = 0end{array} right.)

Vậy phương trình parabol là $y=x^2$.

Dạng 3: Viết phương trình parabol biết đỉnh và đi qua một điểm.

Phương pháp:

– Bước 1: Gọi phương trình parabol: $y=a{x}^2+bx+cleft(ane0right$).

– Bước 2: Lập hệ phương trình ẩn $a,b,c$ từ các dữ kiện bài cho.

– Bước 3: Giải hệ phương trình tìm $a,b,c$.

Ví dụ 3: Lập phương trình parabol có đỉnh $left(–1;3right$) và đi qua điểm $left(0;4right$).

Giải:

Gọi phương trình parabol $left(Pright$:y = a{x^2} + bx + cleft$ane0right$)

Do $left(Pright$) đi qua điểm $left(0;4right$) và đỉnh $left(–1;3right$) nên:

(left{ begin{array}{l}4 = a{.0^2} + b.0 + c\ – dfrac{b}{{2a}} =  – 1\a.{left$–1right$^2} + b.left$–1right$ + c = 3end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}c = 4\b = 2a\a – b + c = 3end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}c = 4\a = 1\b = 2end{array} right.)

Vậy phương trình parabol là $y=x^2+2x+4$.

Dạng 4: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc hai theo tham số.

$Ápdụngchobàitoáncôlậpđược(m$ từ phương trình).

Phương pháp:

– Bước 1: Rút $m$ từ phương trình, đưa về dạng $fleft(xright$ = gleft$mright$).

– Bước 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=fleft(xright$).

– Bước 3: Biện luận số nghiệm dựa vào số giao điểm của đồ thị hàm số $y=fleft(xright$) và đường thẳng $y=gleft(mright$).

Ví dụ 4: Biện luận số nghiệm của phương trình $x^2–x+m–1=0$.

Giải:

Ta có: $x^2–x+m–1=0Leftrightarrowm=–x^2+x+1$

Số nghiệm của phương trình đã cho chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=–x^2+x+1$ với đường thẳng $y=m$.

Xét hàm số $y=–x^2+x+1$ có đồ thị là parabol như hình vẽ:

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy:

+ Khi $m<dfrac54$ thì đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số tại đúng $2$ điểm phân biệt.

Do đó phương trình đã cho có $2$ nghiệm phân biệt.

+ Khi $m=dfrac54$ thì đường thẳng $y=m$ tiếp xúc với đồ thị hàm số hay chỉ có $1$ điểm chung với đồ thị hàm số.

Do đó phương trình đã cho có $1$ nghiệm duy nhất.

+ Khi $m>dfrac54$ thì đường thẳng không cắt đồ thị hàm số hay không có điểm chung với đồ thị hàm số.

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.

Kết luận:

+ Nếu $m<dfrac54$ thì phương trình đã cho có $2$ nghiệm phân biệt.

+ Nếu $m=dfrac54$ thì phương trình đã cho có $1$ nghiệm duy nhất.

+ Nếu $m>dfrac54$ thì phương trình đã cho vô nghiệm.