Dưới đây là một số dạng toán thường gặp liên quan đến hàm số bậc hai
Dạng 1: Tìm điều kiện tham số để đồ thị hàm số đi qua điểm cho trước.
Phương pháp:
Điểm (Mleft( {{x_0};{y_0}} right)) thuộc đồ thị hàm số nếu tọa độ của nó thỏa mãn phương trình hàm số.
Ví dụ 1: Tìm (m) để đồ thị hàm số (y = {x^2} – mx + 1) đi qua điểm (Mleft( {1;2} right)).
Giải:
Đồ thị hàm số đi qua (Mleft( {1;2} right))( Rightarrow ) thay (x = 1;y = 2) ta được:
(2 = {1^2} – m.1 + 1 Leftrightarrow 2 = 2 – m Leftrightarrow m = 0)
Vậy (m = 0) là giá trị cần tìm.
Dạng 2: Viết phương trình parabol đi qua ba điểm.
Phương pháp:
– Bước 1: Gọi phương trình parabol: (y = a{x^2} + bx + cleft( {a ne 0} right)).
– Bước 2: Thay tọa độ ba điểm vào phương trình parabol.
– Bước 3: Giải hệ phương trình tìm (a,b,c).
Ví dụ 2: Lập phương trình parabol đi qua các điểm (Aleft( {0;0} right),Bleft( {1;1} right),Cleft( { – 1;1} right)).
Giải:
Gọi phương trình parabol (left( P right):y = a{x^2} + bx + cleft( {a ne 0} right)).
Do (left( P right)) đi qua các điểm (Aleft( {0;0} right),Bleft( {1;1} right),Cleft( { – 1;1} right)) nên:
(left{ begin{array}{l}0 = a{.0^2} + b.0 + c\1 = a{.1^2} + b.1 + c\1 = a.{left( { – 1} right)^2} + b.left( { – 1} right) + cend{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}c = 0\a + b = 1\a – b = 1end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a = 1\b = 0\c = 0end{array} right.)
Vậy phương trình parabol là (y = {x^2}).
Dạng 3: Viết phương trình parabol biết đỉnh và đi qua một điểm.
Phương pháp:
– Bước 1: Gọi phương trình parabol: (y = a{x^2} + bx + cleft( {a ne 0} right)).
– Bước 2: Lập hệ phương trình ẩn (a,b,c) từ các dữ kiện bài cho.
– Bước 3: Giải hệ phương trình tìm (a,b,c).
Ví dụ 3: Lập phương trình parabol có đỉnh (left( { – 1;3} right)) và đi qua điểm (left( {0;4} right)).
Giải:
Gọi phương trình parabol (left( P right):y = a{x^2} + bx + cleft( {a ne 0} right))
Do (left( P right)) đi qua điểm (left( {0;4} right)) và đỉnh (left( { – 1;3} right)) nên:
(left{ begin{array}{l}4 = a{.0^2} + b.0 + c\ – dfrac{b}{{2a}} = – 1\a.{left( { – 1} right)^2} + b.left( { – 1} right) + c = 3end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}c = 4\b = 2a\a – b + c = 3end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}c = 4\a = 1\b = 2end{array} right.)
Vậy phương trình parabol là (y = {x^2} + 2x + 4).
Dạng 4: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc hai theo tham số.
(Áp dụng cho bài toán cô lập được (m) từ phương trình).
Phương pháp:
– Bước 1: Rút (m) từ phương trình, đưa về dạng (fleft( x right) = gleft( m right)).
– Bước 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (y = fleft( x right)).
– Bước 3: Biện luận số nghiệm dựa vào số giao điểm của đồ thị hàm số (y = fleft( x right)) và đường thẳng (y = gleft( m right)).
Ví dụ 4: Biện luận số nghiệm của phương trình ({x^2} – x + m – 1 = 0).
Giải:
Ta có: ({x^2} – x + m – 1 = 0 Leftrightarrow m = – {x^2} + x + 1)
Số nghiệm của phương trình đã cho chính là số giao điểm của đồ thị hàm số (y = – {x^2} + x + 1) với đường thẳng (y = m).
Xét hàm số (y = – {x^2} + x + 1) có đồ thị là parabol như hình vẽ:
Quan sát đồ thị hàm số ta thấy:
+ Khi (m < dfrac{5}{4}) thì đường thẳng (y = m) cắt đồ thị hàm số tại đúng (2) điểm phân biệt.
Do đó phương trình đã cho có (2) nghiệm phân biệt.
+ Khi (m = dfrac{5}{4}) thì đường thẳng (y = m) tiếp xúc với đồ thị hàm số hay chỉ có (1) điểm chung với đồ thị hàm số.
Do đó phương trình đã cho có (1) nghiệm duy nhất.
+ Khi (m > dfrac{5}{4}) thì đường thẳng không cắt đồ thị hàm số hay không có điểm chung với đồ thị hàm số.
Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.
Kết luận:
+ Nếu (m < dfrac{5}{4}) thì phương trình đã cho có (2) nghiệm phân biệt.
+ Nếu (m = dfrac{5}{4}) thì phương trình đã cho có (1) nghiệm duy nhất.
+ Nếu (m > dfrac{5}{4}) thì phương trình đã cho vô nghiệm.
