1. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số
Cho hàm số (y = fleft( x right)) có đồ thị (left( C right)), viết phương trình tiếp tuyến của (left( C right)) tại điểm (Mleft( {{x_0};fleft( {{x_0}} right)} right) in left( C right)).
Phương pháp:
– Bước 1: Tính (y’ = f’left( x right) Rightarrow f’left( {{x_0}} right)).
– Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến (y = f’left( {{x_0}} right)left( {x – {x_0}} right) + fleft( {{x_0}} right))
– Bước 3: Kết luận.
Cho hàm số (y = fleft( x right)) có đồ thị (left( C right)), viết phương trình tiếp tuyến của (left( C right)) biết tiếp tuyến đi qua điểm (Mleft( {{x_M};{y_M}} right)).
Phương pháp:
– Bước 1: Tính (y’ = f’left( x right)).
– Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ ({x_0}) của (left( C right)): (y = f’left( {{x_0}} right)left( {x – {x_0}} right) + fleft( {{x_0}} right)).
– Bước 3: Thay tọa độ (left( {{x_M};{y_M}} right)) vào phương trình trên, giải phương trình tìm ({x_0}).
– Bước 4: Thay mỗi giá trị ({x_0}) tìm được vào phương trình tiếp tuyến ta được phương trình cần tìm.
Cho hàm số (y = fleft( x right)) có đồ thị (left( C right)). Viết phương trình tiếp tuyến của (left( C right)) biết nó có hệ số góc (k).
Phương pháp:
– Bước 1: Tính (y’ = f’left( x right)).
– Bước 2: Giải phương trình (f’left( x right) = k) tìm nghiệm ({x_1},{x_2},…).
– Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các điểm (left( {{x_1};fleft( {{x_1}} right)} right),left( {{x_2};fleft( {{x_2}} right)} right),…)
Cho hàm số (y = fleft( x right)) có đồ thị (left( C right)). Viết phương trình tiếp tuyến của (left( C right)) biết nó có hệ số góc nhỏ nhất, lớn nhất.
Phương pháp:
– Bước 1: Tính (y’ = f’left( x right)).
– Bước 2: Tìm GTNN (hoặc GTLN) của (f’left( x right)) suy ra hệ số góc của tiếp tuyến và hoành độ tiếp điểm (là giá trị mà (f’left( x right)) đạt GTNN, GTLN).
– Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm vừa tìm được.
a) Tiếp tuyến tại các điểm cực trị của đồ thị (left( C right)) có phương song song hoặc trùng với trục hoành.
b) Cho hàm số bậc ba (y = a{x^3} + b{x^2} + cx + dleft( {a ne 0} right)).
+) Khi (a > 0) thì tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (left( C right)) có hệ số góc nhỏ nhất.
+) Khi (a < 0) thì tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (left( C right)) có hệ số góc lớn nhất.
Cho hàm số (y = fleft( x right)) có đồ thị (left( C right)).
Phương pháp:
– Bước 1: Tính (y’ = f’left( x right)).
– Bước 2: Nêu điều kiện về mối quan hệ giữa tiếp tuyến có hệ số góc (k = f’left( x right)) với đường thẳng (d) có hệ số góc (k’).
+ Tiếp tuyến vuông góc (d Leftrightarrow k.k’ = – 1).
+ Tiếp tuyến song song với (d Leftrightarrow k = k’).
+ Góc tạo bởi tiếp tuyến của (d) bằng (alpha Leftrightarrow tan alpha = left| {dfrac{{{k_1} – {k_2}}}{{1 + {k_1}{k_2}}}} right|)
– Bước 3: Giải phương trình ở trên tìm nghiệm ({x_1},{x_2},…) và tọa độ các tiếp điểm.
– Bước 4: Viết phương trình các tiếp tuyến tại các tiếp điểm vừa tìm được.
Cho hàm số (y = fleft( x right)) có đồ thị (left( C right)). Tìm (m) để tiếp tuyến với (left( C right)) đi qua điểm (Mleft( {{x_M};{y_M}} right)) cho trước.
Phương pháp:
– Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (left( C right)) tại điểm có hoành độ ({x_0}) thuộc (left( C right)): (y = f’left( {{x_0}} right)left( {x – {x_0}} right) + fleft( {{x_0}} right))
– Bước 2: Nêu điều kiện để tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện đề bài:
Tiếp tuyến đi qua điểm (Mleft( {{x_M};{y_M}} right) Leftrightarrow pt{rm{ }}{y_M} = f’left( {{x_0}} right)left( {{x_M} – {x_0}} right) + fleft( {{x_0}} right)) có nghiệm.
– Bước 3: Tìm điều kiện của (m) dựa vào điều kiện ở trên và kết luận.
2. Sự tiếp xúc của các đồ thị hàm số
Cho (left( C right):y = fleft( x right)) và (left( {C’} right):y = gleft( x right)).
Phương pháp:
– Bước 1: Tính (f’left( x right),g’left( x right)).
– Bước 2: Giải hệ phương trình (left{ begin{array}{l}f’left( x right) = g’left( x right)\fleft( x right) = gleft( x right)end{array} right.).
– Bước 3: Kết luận:
+ Nếu hệ có nghiệm thì (left( C right)) và (left( {C’} right)) tiếp xúc.
+ Nếu hệ vô nghiệm thì (left( C right)) và (left( {C’} right)) không tiếp xúc.
Phương pháp:
– Bước 1: Tính (f’left( x right),g’left( x right)).
– Bước 2: Nêu điều kiện để hai đồ thị hàm số tiếp xúc:
(left( C right)) và (left( {C’} right)) tiếp xúc nếu và chỉ nếu hệ phương trình (left{ begin{array}{l}f’left( x right) = g’left( x right)\fleft( x right) = gleft( x right)end{array} right.) có nghiệm.
– Bước 3: Tìm (m) từ điều kiện trên và kết luận.
