1. Kiến thức cần nhớ
– Công thức nhị thức Niu-tơn:
– Quy ước: ({a^0} = {b^0} = 1)
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm hệ số của ({x^k}) trong khai triển
Phương pháp chung:
– Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn.
– Tìm số hạng có chứa ({x^k}) và tìm hệ số tương ứng.
Ví dụ 1: Tìm hệ số của ({x^3}) trong khai triển ({left( {2 + x} right)^5})
Giải:
Ta có: ({left( {2 + x} right)^5} = sumlimits_{k = 0}^5 {C_5^k{2^{5 – k}}{x^k}} )
Cho (k = 3) ta được hệ số của ({x^3}) là (C_5^3{.2^{5 – 3}} = 40)
Dạng 2: Tính tổng, chứng minh đẳng thức.
Phương pháp chung:
({left( {a + b} right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + C_n^2{a^{n – 2}}{b^2} + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n})
– Bằng cách thay (a,b,n) bằng các giá trị thích hợp ta sẽ được các đẳng thức.
Ví dụ 2: Chứng minh (C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + … + C_n^n = {2^n})
Giải:
Ta có: ({left( {a + b} right)^n} = sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n – k}}{b^k}} )
Quan sát tổng vế trái ta thấy chỉ xuất hiện các (C_n^k) nên cho (a = 1,b = 1) ta được:
({left( {1 + 1} right)^n} = sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k{1^{n – k}}{1^k}} = sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k} )( = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + … + C_n^n)
Suy ra điều phải chứng minh.
