Nhị thức Niu - tơn | Cộng đồng toán học

1. Kiến thức cần nhớ

– Công thức nhị thức Niu-tơn:

– Quy ước: $a^{0} = b^{0} = 1$

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm hệ số của $x^{k}$ trong khai triển

Phương pháp chung:

– Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn.

– Tìm số hạng có chứa $x^{k}$ và tìm hệ số tương ứng.

Ví dụ 1: Tìm hệ số của $x^{3}$ trong khai triển $l e f t (2 + x r i g h t)^{5}$

Giải:

Ta có: $l e f t (2 + x r i g h t)^{5} = s u m l i m i t s_{k = 0}^{5} C_{5}^{k} 2^{5 - k} x^{k}$

Cho $k = 3$ ta được hệ số của $x^{3}$ là $C_{5}^{3} {.2}^{5 - 3} = 40$

Dạng 2: Tính tổng, chứng minh đẳng thức.

Phương pháp chung:

– Sử dụng khai triển

$l e f t (a + b r i g h t)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} + \dots + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$

– Bằng cách thay $a, b, n$ bằng các giá trị thích hợp ta sẽ được các đẳng thức.

Ví dụ 2: Chứng minh $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}$

Giải:

Ta có: $l e f t (a + b r i g h t)^{n} = s u m l i m i t s_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$

Quan sát tổng vế trái ta thấy chỉ xuất hiện các $C_{n}^{k}$ nên cho $a = 1, b = 1$ ta được:

$l e f t (1 + 1 r i g h t)^{n} = s u m l i m i t s_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} 1^{n - k} 1^{k} = s u m l i m i t s_{k = 0}^{n} C_{n}^{k}$ $= C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n}$