1. Lũy thừa với số mũ nguyên
a) Định nghĩa:
– Lũy thừa với số mũ nguyên dương (a in R:{a^n} = a.a…a) (n thừa số a).
– Lũy thừa với số mũ nguyên âm: (a ne 0:{a^{ – n}} = dfrac{1}{{{a^n}}};{a^0} = 1)
– Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: (a > 0:{a^{dfrac{m}{n}}} = sqrt[n]{{{a^m}}}left( {m,n in Z,n ge 2} right))
b) Tính chất:
Cho (a ne 0,b ne 0) và (m,n) là các số nguyên, ta có:
1/ ({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}})
2/ ({a^m}:{a^n} = {a^{m – n}})
3/ ({left( {{a^m}} right)^n} = {a^{mn}})
4/ ({left( {ab} right)^n} = {a^n}{b^n})
5/ ({left( {dfrac{a}{b}} right)^n} = dfrac{{{a^n}}}{{{b^n}}})
6/ Với (a > 1) thì ({a^m} > {a^n} Leftrightarrow m > n)
7/ Với (0 < a < 1) thì ({a^m} > {a^n} Leftrightarrow m < n)
Hệ quả:
1/ Với (0 < a < b) và (m) nguyên dương thì ({a^m} < {b^m}).
2/ Với (0 < a < b) và (m) nguyên âm thì ({a^m} > {b^m})
3/ Với (a < b,n) là số tự nhiên lẻ thì ({a^n} < {b^n})
4/ Với (a > 0,b > 0,n) là số nguyên khác (0) thì ({a^n} = {b^n} Leftrightarrow a = b).
2. Căn bậc n
a) Định nghĩa: Cho số thực (b) và số nguyên dương (nleft( {n ge 2} right)). Số (a) được gọi là căn bậc (n) của số (b) nếu ({a^n} = b).
Từ định nghĩa suy ra:
– Với (n) lẻ và (b in R) có duy nhất một căn bậc (n) của (b), kí hiệu là (sqrt[n]{b}).
– Với (n) chẵn và:
+ (b < 0) thì không tồn tại căn bậc (n) của (b).
+ (b = 0) thì có một căn bậc (n) của (b) là (0).
+ (b > 0) thì có hai căn trái dấu là ( pm sqrt[n]{b})
– Căn bậc (1) của số (a) chính là (a).
– Căn bậc (n) của số (0) là (0).
– Nếu (n) lẻ thì (sqrt[n]{{{a^n}}} = a) ; nếu (n) chẵn thì (sqrt[n]{{{a^n}}} = left| a right|) khi (n) chẵn.
b) Tính chất:
Với (a ge 0,b ge 0,m,n) nguyên dương, ta có:
1/ (sqrt[n]{{ab}} = sqrt[n]{a}sqrt[n]{b})
2/ (sqrt[n]{{dfrac{a}{b}}} = dfrac{{sqrt[n]{a}}}{{sqrt[n]{b}}}left( {b > 0} right))
3/ (sqrt[n]{{{a^p}}} = {left( {sqrt[n]{a}} right)^p}left( {a > 0} right))
4/ (sqrt[m]{{sqrt[n]{a}}} = sqrt[{mn}]{a})
5/ (sqrt[n]{a} = sqrt[{mn}]{{{a^m}}} (a>0) )
