Lũy thừa với số mũ hữu tỉ – Định nghĩa và tính chất

a) Định nghĩa:

– Lũy thừa với số mũ nguyên dương $ainR:a^n=a.a\dots a$ $nthừasốa$.

– Lũy thừa với số mũ nguyên âm: $ane0:a^{–n}=dfrac1a^n;a^0=1$

– Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: $a>0:a^{dfracmn}=sqrt[n]a^{m}left(m,ninZ,nge2right$)

b) Tính chất:

Cho $ane0,bne0$ và $m,n$ là các số nguyên, ta có:

1/ $a^m.a^n=a^{m+n}$

2/ $a^m:a^n=a^{m–n}$

3/ $left(a^{m}right{)}^n=a^{mn}$

4/ $left(abright{)}^n=a^n{b}^n$

5/ $left(dfracabright{)}^n=dfrac{a}^n{b}^n$

6/ Với $a>1$ thì $a^m>a^{n}Leftrightarrowm>n$

7/ Với $0<a<1$ thì $a^m>a^{n}Leftrightarrowm<n$

Hệ quả:

1/ Với $0<a<b$ và $m$ nguyên dương thì $a^m<b^m$.

2/ Với $0<a<b$ và $m$ nguyên âm thì $a^m>b^m$

3/ Với $a<b,n$ là số tự nhiên lẻ thì $a^n<b^n$

4/ Với $a>0,b>0,n$ là số nguyên khác $0$ thì $a^n=b^{n}Leftrightarrowa=b$.

a) Định nghĩa: Cho số thực $b$ và số nguyên dương $nleft(nge2right$). Số $a$ được gọi là căn bậc $n$ của số $b$ nếu $a^n=b$.

Từ định nghĩa suy ra:

– Với $n$ lẻ và $binR$ có duy nhất một căn bậc $n$ của $b$, kí hiệu là $sqrt[n]b$.

– Với $n$ chẵn và:    

+ $b<0$ thì không tồn tại căn bậc $n$ của $b$.

+ $b=0$ thì có một căn bậc $n$ của $b$ là $0$.

+ $b>0$ thì có hai căn trái dấu là $pmsqrt[n]b$

– Căn bậc $1$ của số $a$ chính là $a$.

– Căn bậc $n$ của số $0$ là $0$.

– Nếu $n$ lẻ thì $sqrt[n]a^n=a$ ; nếu $n$ chẵn thì $sqrt[n]a^n=left|aright|$ khi $n$ chẵn.

b) Tính chất:

Với $age0,bge0,m,n$ nguyên dương, ta có:

1/ $sqrt[n]ab=sqrt[n]asqrt[n]b$

2/ $sqrt[n]dfracab=dfracsqrt[n]asqrt[n]bleft(b>0right$)

3/ $sqrt[n]a^p=left(sqrt[n]aright{)}^{p}left(a>0right$)

4/ $sqrt[m]sqrt[n]a=sqrt[mn]a$

5/ $sqrt[n]a=sqrt[mn]a^m(a>0$ )