1. Định nghĩa
Với (a > 0;a ne 1,b > 0) thì ({log _a}b = N Leftrightarrow b = {a^N}). Số ({log _a}b) được gọi là lôgarit cơ số (a) của (b).
– Không có logarit của số âm, nghĩa là (b > 0).
– Cơ số phải dương và khác (1), nghĩa là (0 < a ne 1).
– Theo định nghĩa logarit ta có:
(begin{array}{l} + ){log _a}1 = 0;{log _a}a = 1\ + ){log _a}{a^b} = b,forall b in R\ + ){a^{{{log }_a}b}} = b,forall b > 0end{array})
2. Tính chất
1/ Nếu (a > 1;b,c > 0) thì ({log _a}b > {log _a}c Leftrightarrow b > c).
2/ Nếu (0 < a < 1;b,c > 0) thì ({log _a}b > {log _a}c Leftrightarrow b < c).
3/ ({log _a}left( {bc} right) = {log _a}b + {log _a}c) ( left( {0 < a ne 1;b,c > 0} right))
4/ ({log _a}left( {dfrac{b}{c}} right) = {log _a}b – {log _a}c) ( left( {0 < a ne 1;b,c > 0} right))
5/ ({log _a}{b^n} = n{log _a}bleft( {0 < a ne 1;b > 0} right))
6/ ({log _a}dfrac{1}{b} = – {log _a}bleft( {0 < a ne 1;b > 0} right))
7/ ({log _a}sqrt[n]{b} = {log _a}{b^{frac{1}{n}}} = dfrac{1}{n}{log _a}b) ( left( {0 < a ne 1;b > 0;n > 0;n in {N^*}} right))
8/ ({log _a}b.{log _b}c = {log _a}c Leftrightarrow {log _b}c = dfrac{{{{log }_a}c}}{{{{log }_a}b}}) (left( {0 < a,b ne 1;c > 0} right))
9/ ({log _a}b = dfrac{1}{{{{log }_b}a}} Leftrightarrow {log _a}b.{log _b}a = 1) (left( {0 < a,b ne 1} right))
10/ ({log _{{a^n}}}b = dfrac{1}{n}{log _a}b) (left( {0 < a ne 1;b > 0;n ne 0} right))
Hệ quả:
a) Nếu (a > 1;b > 0) thì ({log _a}b > 0 Leftrightarrow b > 1;) ({log _a}b < 0 Leftrightarrow 0 < b < 1).
b) Nếu (0 < a < 1;b > 0) thì ({log _a}b < 0 Leftrightarrow b > 1;) ({log _a}b > 0 Leftrightarrow 0 < b < 1).
c) Nếu (0 < a ne 1;b,c > 0) thì ({log _a}b = {log _a}c Leftrightarrow b = c).
Logarit thập phân ({log _{10}}b = log bleft( { = lg b} right)) có đầy đủ tính chất của logarit cơ số (a).
