1. Kiến thức cần nhớ
– Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Kí hiệu: (dleft( {a,b} right) = MN) trong đó (M in a,N in b) và (MN bot a,MN bot b).
2. Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
Phương pháp:
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau:
+) Phương pháp 1: Dựng đoạn vuông góc chung $MN$ của $a$ và $b$, khi đó $dleft( {a,b} right) = MN$.
Một số trường hợp hay gặp khi dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:
Trường hợp 1: $Delta $ và $Delta ‘$ vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau
– Bước 1: Chọn mặt phẳng $(alpha )$ chứa $Delta ‘$ và vuông góc với $Delta $ tại $I$.
– Bước 2: Trong mặt phẳng $(alpha )$ kẻ $IJ bot Delta ‘$.
Khi đó $IJ$ là đoạn vuông góc chung và $d(Delta ,Delta ‘) = IJ$.
Trường hợp 2: $Delta $ và $Delta ‘$ chéo nhau mà không vuông góc với nhau
– Bước 1: Chọn mặt phẳng $(alpha )$ chứa $Delta ‘$ và song song với $Delta $.
– Bước 2: Dựng $d$ là hình chiếu vuông góc của $Delta $ xuống $(alpha )$ bằng cách lấy điểm $M in Delta $ dựng đoạn $MN bot left( alpha right)$, lúc đó $d$ là đường thẳng đi qua $N$ và song song với $Delta $.
– Bước 3: Gọi $H = d cap Delta ‘$, dựng $HK//MN$
Khi đó $HK$ là đoạn vuông góc chung và $d(Delta ,Delta ‘) = HK = MN$.
Hoặc
– Bước 1: Chọn mặt phẳng $(alpha ) bot Delta $ tại $I$.
– Bước 2: Tìm hình chiếu $d$ của $Delta ‘$ xuống mặt phẳng $(alpha )$.
– Bước 3: Trong mặt phẳng $(alpha )$, dựng $IJ bot d$, từ $J$ dựng đường thẳng song song với $Delta $ cắt $Delta ‘$ tại $H$, từ $H$ dựng $HM//IJ$.
Khi đó $HM$ là đoạn vuông góc chung và $d(Delta ,Delta ‘) = HM = IJ$.
+) Phương pháp 2: Chọn mặt phẳng $(alpha )$ chứa đường thẳng $Delta $ và song song với $Delta ‘$. Khi đó $d(Delta ,Delta ‘) = d(Delta ‘,(alpha ))$
+) Phương pháp 3: Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm.
+) Phương pháp 4: Sử dụng phương pháp vec tơ
a) $MN$ là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $CD$ khi và chỉ khi $left{ begin{array}{l}overrightarrow {AM} = xoverrightarrow {AB} \overrightarrow {CN} = yoverrightarrow {CD} \overrightarrow {MN} .overrightarrow {AB} = 0\overrightarrow {MN} .overrightarrow {CD} = 0end{array} right.$
b) Nếu trong $left( alpha right)$ có hai vec tơ không cùng phương $overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} $ thì $OH = dleft( {O,left( alpha right)} right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}overrightarrow {OH} bot overrightarrow {{u_1}} \overrightarrow {OH} bot overrightarrow {{u_2}} \H in left( alpha right)end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}overrightarrow {OH} .overrightarrow {{u_1}} = 0\overrightarrow {OH} .overrightarrow {{u_2}} = 0\H in left( alpha right)end{array} right.$
