Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

1. Kiến thức cần nhớ

– Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Kí hiệu: $d l e f t (a, b r i g h t$ = MN) trong đó $M i n a, N i n b$ và $M N b o t a, M N b o t b$ .

2. Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

Phương pháp:

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau:

+) Phương pháp 1: Dựng đoạn vuông góc chung $MN$ của $a$ và $b$, khi đó $dleft $a, b r i g h t$ = MN$.

Một số trường hợp hay gặp khi dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:

Trường hợp 1: $Delta $ và $Delta ‘$ vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau

– Bước 1: Chọn mặt phẳng $ $a l p h a$ $ chứa $Delta ‘$ và vuông góc với $Delta $ tại $I$.

– Bước 2: Trong mặt phẳng $ $a l p h a$ $ kẻ $IJ bot Delta ‘$.

Khi đó $IJ$ là đoạn vuông góc chung và $d $D e l t a, D e l t a ‘$ = IJ$.

Trường hợp 2: $Delta $ và $Delta ‘$ chéo nhau mà không vuông góc với nhau

– Bước 1: Chọn mặt phẳng $ $a l p h a$ $ chứa $Delta ‘$ và song song với $Delta $.

– Bước 2: Dựng $d$ là hình chiếu vuông góc của $Delta $ xuống $ $a l p h a$ $ bằng cách lấy điểm $M in Delta $ dựng đoạn $MN bot left $a l p h a r i g h t$ $, lúc đó $d$ là đường thẳng đi qua $N$ và song song với $Delta $.

– Bước 3: Gọi $H = d cap Delta ‘$, dựng $HK//MN$

Khi đó $HK$ là đoạn vuông góc chung và $d $D e l t a, D e l t a ‘$ = HK = MN$.

Hoặc

– Bước 1: Chọn mặt phẳng $ $a l p h a$ bot Delta $ tại $I$.

– Bước 2: Tìm hình chiếu $d$ của $Delta ‘$ xuống mặt phẳng $ $a l p h a$ $.

– Bước 3: Trong mặt phẳng $ $a l p h a$ $, dựng $IJ bot d$, từ $J$ dựng đường thẳng song song với $Delta $ cắt $Delta ‘$ tại $H$, từ $H$ dựng $HM//IJ$.

Khi đó $HM$ là đoạn vuông góc chung và $d $D e l t a, D e l t a ‘$ = HM = IJ$.

+) Phương pháp 2: Chọn mặt phẳng $ $a l p h a$ $ chứa đường thẳng $Delta $ và song song với $Delta ‘$. Khi đó $d $D e l t a, D e l t a ‘$ = d $D e l t a ‘, (a l p h a$ )$

+) Phương pháp 3: Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm.

+) Phương pháp 4: Sử dụng phương pháp vec tơ

a) $MN$ là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $CD$ khi và chỉ khi $left{ begin{array}{l}overrightarrow {AM} = xoverrightarrow {AB} \overrightarrow {CN} = yoverrightarrow {CD} \overrightarrow {MN} .overrightarrow {AB} = 0\overrightarrow {MN} .overrightarrow {CD} = 0end{array} right.$

b) Nếu trong $left $a l p h a r i g h t$ $ có hai vec tơ không cùng phương $overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} $ thì $OH = dleft $O, l e f t (a l p h a r i g h t) r i g h t$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}overrightarrow {OH} bot overrightarrow {{u_1}} \overrightarrow {OH} bot overrightarrow {{u_2}} \H in left $a l p h a r i g h t$ end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}overrightarrow {OH} .overrightarrow {{u_1}} = 0\overrightarrow {OH} .overrightarrow {{u_2}} = 0\H in left $a l p h a r i g h t$ end{array} right.$