1. Các kiến thức cần nhớ
Hệ thức Vi-ét
Cho phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0,(a ne 0).$
Nếu ({x_1},{x_2}) là hai nghiệm của phương trình thì (left{ begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = dfrac{{ – b}}{a}\{x_1} cdot {x_2} = dfrac{c}{a}end{array} right..)
Ứng dụng của hệ thức Vi-ét
+) Xét phương trình bậc hai: $a{x^2} + bx + c = 0,(a ne 0).$
Nếu phương trình có (a + b + c = 0) thì phương trình có một nghiệm là ({x_1} = 1,) nghiệm kia là ({x_2} = dfrac{c}{a}.)
Nếu phương trình có (a – b + c = 0) thì phương trình có một nghiệm là ({x_1} = – 1,) nghiệm kia là ({x_2} = – dfrac{c}{a}.)
+) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng : Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình ${X^2} – SX + P = 0$ (ĐK: ${S^2} ge 4P$)
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức liên quan giữa các nghiệm.
Phương pháp:
Bước 1 : Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm : $left{ begin{array}{l}a ne 0\Delta ge 0end{array} right.$. Từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : $S = {x_1} + {x_2} = – dfrac{b}{a}$ và $P = {x_1}{x_2} = dfrac{c}{a}$.
Bước 2 : Biến đổi biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của đề bài theo tổng ${x_1} + {x_2}$ và tích ${x_1}{x_2}$, sau đó áp dụng bước 1.
Dạng 2 : Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm
Phương pháp :
Xét phương trình bậc hai : $a{x^2} + bx + c = 0{rm{ }}left( {a ne 0} right)$.
+) Nếu phương trình có $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm kia là ${x_2} = dfrac{c}{a}.$
+ ) Nếu phương trình có $a – b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = – 1$, nghiệm kia là ${x_2} = – dfrac{c}{a}.$
+) Nếu ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình thì $left{ begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = – dfrac{b}{a}\P = {x_1}{x_2} = dfrac{c}{a}end{array} right.$.
Dạng 3 : Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử
Phương pháp :
Nếu tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c{rm{ }}left( {a ne 0} right)$ có hai nghiệm ${x_1}$ và ${x_2}$ thì nó được phân tích thành nhân tử: $a{x^2} + bx + c = aleft( {x – {x_1}} right)left( {x – {x_2}} right)$.
Dạng 4 : Tìm hai số khi biết tổng và tích
Phương pháp :
Để tìm hai số $x,y$ khi biết tổng $S = x + y$ và tích $P = xy$, ta làm như sau:
Bước 1: Xét điều kiện ${S^2} ge 4P$. Giải phương trình ${X^2} – SX + P = 0$ để tìm các nghiệm ${X_1},{X_2}$.
Bước 2: Khi đó các số cần tìm $x,y$ là $x = {X_1},y = {X_2}$ hoặc $x = {X_2},y = {X_1}$.
Dạng 5 : Bài toán liên quan đến dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Phương pháp :
Xét phương trình (a{x^2} + bx + c = 0left( {a ne 0} right)). Khi đó:
1. Phương trình có hai nghiệm trái dấu ( Leftrightarrow ac < 0).
2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta > 0\P > 0end{array} right.).
3. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta > 0\P > 0\S > 0end{array} right.).
4. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta > 0\P > 0\S < 0end{array} right.).
5. Phương trình có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}ac < 0\S < 0end{array} right.).
Dạng 6 : Xác định điều kiện của tham số để nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp :
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (left{ begin{array}{l}a ne 0\Delta ge 0end{array} right.).
Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.
Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.
Dạng 2 : Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm
Phương pháp :
Xét phương trình bậc hai : $a{x^2} + bx + c = 0{rm{ }}left( {a ne 0} right)$.
+) Nếu phương trình có $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm kia là ${x_2} = dfrac{c}{a}.$
+ ) Nếu phương trình có $a – b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = – 1$, nghiệm kia là ${x_2} = – dfrac{c}{a}.$
+) Nếu ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình thì $left{ begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = – dfrac{b}{a}\P = {x_1}{x_2} = dfrac{c}{a}end{array} right.$.
Dạng 3 : Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử
Phương pháp :
Nếu tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c{rm{ }}left( {a ne 0} right)$ có hai nghiệm ${x_1}$ và ${x_2}$ thì nó được phân tích thành nhân tử: $a{x^2} + bx + c = aleft( {x – {x_1}} right)left( {x – {x_2}} right)$.
Dạng 4 : Tìm hai số khi biết tổng và tích
Phương pháp :
Để tìm hai số $x,y$ khi biết tổng $S = x + y$ và tích $P = xy$, ta làm như sau:
Bước 1: Xét điều kiện ${S^2} ge 4P$. Giải phương trình ${X^2} – SX + P = 0$ để tìm các nghiệm ${X_1},{X_2}$.
Bước 2: Khi đó các số cần tìm $x,y$ là $x = {X_1},y = {X_2}$ hoặc $x = {X_2},y = {X_1}$.
Dạng 5 : Bài toán liên quan đến dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Phương pháp :
Xét phương trình (a{x^2} + bx + c = 0left( {a ne 0} right)). Khi đó:
1. Phương trình có hai nghiệm trái dấu ( Leftrightarrow ac < 0).
2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta > 0\P > 0end{array} right.).
3. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta > 0\P > 0\S > 0end{array} right.).
4. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta > 0\P > 0\S < 0end{array} right.).
5. Phương trình có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}ac < 0\S < 0end{array} right.).
