1. Các kiến thức cần nhớ
a. Hệ phương trình đối xứng loại $1$
+ Một hệ phương trình ẩn $x,y$ được gọi là hệ phương trình đối xứng loại $1$ nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của $x,y$ cho nhau thì phương trình đó không đổi .
+ Tính chất: Nếu $left( {{x_0},{y_0}} right)$ là một nghiệm thì hệ $left( {{y_0},{x_0}} right)$ cũng là nghiệm.
+ Cách giải:
Đặt (left{ begin{array}{l}S = x + y\P = x.yend{array} right.) điều kiện ({S^2} ge 4P) quy hệ phương trình về $2$ ẩn (S,P).
b. Phương trình đối xứng loại $2$
Một hệ phương trình $2$ ẩn (x,y) được gọi là đối xứng loại $2$ nếu trong hệ phương trình ta đổi vai trò (x,y)cho nhau thì phương trình trở thành phương trình kia.
+ Tính chất.: Nếu (left( {{x_0};{y_0}} right)) là 1 nghiệm của hệ thì (left( {{y_0};{x_0}} right)) cũng là nghiệm
+ Cách giải:
Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình có dạng
(left( {x – y} right)left[ {fleft( {x;y} right)} right] = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x – y = 0\fleft( {x;y} right) = 0end{array} right.).
c. Hệ có yếu tố đẳng cấp
+ Là những hệ chứa các phương trình đẳng cấp
+ Hoặc các phương trình của hệ khi nhân hoặc chia cho nhau thì tạo ra phương trình đẳng cấp.
Ta thường gặp dạng hệ này ở các hình thức như:
+ (left{ begin{array}{l}{rm{a}}{{rm{x}}^2} + bxy + c{y^2} = d\{rm{e}}{{rm{x}}^2} + gxy + h{y^2} = kend{array} right.) ,
+ (left{ begin{array}{l}{rm{a}}{{rm{x}}^2} + bxy + c{y^2} = dx + ey\{rm{g}}{{rm{x}}^2} + hxy + k{y^2} = lx + myend{array} right.,)
+ (left{ begin{array}{l}{rm{a}}{{rm{x}}^2} + bxy + c{y^2} = d\{rm{g}}{{rm{x}}^3} + h{x^2}y + kx{y^2} + l{y^3} = mx + nyend{array} right.)…
Một số hệ phương trình tính đẳng cấp được giấu trong các biểu thức chứa căn đòi hỏi người giải cần tinh ý để phát hiện:
+ Cách giải :
Từ các phương trình của hệ ta nhân hoặc chia cho nhau để tạo ra phương trình đẳng cấp bậc (n): ({a_1}{x^n} + {a_k}{x^{n – k}}.{y^k}…. + {a_n}{y^n} = 0)
Từ đó ta xét hai trường hợp:
+ (y = 0) thay vào để tìm (x)
+ (y ne 0) ta đặt (x = ty) thì thu được phương trình: ({a_1}{t^n} + {a_k}{t^{n – k}}…. + {a_n} = 0)
+ Giải phương trình tìm (t) sau đó thế vào hệ ban đầu để tìm (x,y).
Chú ý: Ta cũng có thể đặt (y = tx).
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Giải hệ phương trình
Phương pháp:
Ta dùng các cách giải của hệ phương trình đối xứng loại 1, hệ đối xứng loại 2 và hệ phương trình có yếu tố đẳng cấp
Dạng 2: Xét xem cặp số (left( {{x_0};{y_0}} right)) có là nghiệm của hệ phương trình (left{ begin{array}{l}y = fleft( x right)\y = gleft( x right)end{array} right.) hay không?
Phương pháp:
(left( {{x_0};{y_0}} right)) là nghiệm của hệ (left{ begin{array}{l}y = fleft( x right)\y = gleft( x right)end{array} right.)khi (left{ begin{array}{l}{y_0} = fleft( {{x_0}} right)\{y_0} = gleft( {{x_0}} right)end{array} right.)
Dạng 3: Tìm tham số (m) để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp:
Ta sử dụng linh hoạt các phương pháp giải hệ phương tình đã học để giải bài toán.
