Hàm số mũ

– Hàm số mũ là hàm số dạng $y=a^{x}left(0<ane1right$).

– Giới hạn liên quan $mathoplimlimit{s}_{xto0}dfrac{e}^x–1x=1$.

– Đạo hàm: $y=a^{x}Rightarrow{y}^{\prime }=a^{x}lna;y=a^{uleft(xright)}Rightarrow{y}^{\prime }=u^{\prime }left(xright$.{a^{uleft$xright$}}ln a,x in R)

$Đặcbiệt\$left(e^{x}right$’ = {e^x};{e^{uleft$xright$}} = u’left$xright${e^{uleft$xright$}}$ )

Khảo sát $y=a^x$:

– TXĐ: $D=R$

– Chiều biến thiên:

+ Nếu $a>1$ thì hàm đồng biến trên $R$.

+ Nếu $0<a<1$ thì hàm nghịch biến trên $R$.

– Đồ thị:

+ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=0$.

+ Đồ thị hàm số luôn đi qua các điểm $left(0;1right$) và $left(1;aright$).

+ Đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục hoành vì $a^x>0,forallxinR$.

+ Dáng đồ thị:

Dạng 1: Tìm hàm số có đồ thị cho trước và ngược lại.

Phương pháp:

– Bước 1: Quan sát dáng đồ thị, tính đơn điệu,…của các đồ thị bài cho.

– Bước 2: Đối chiếu với hàm số bài cho và chọn kết luận.

Dạng 2: Tìm mối quan hệ giữa các cơ số khi biết đồ thị.

Phương pháp:

– Bước 1: Quan sát các đồ thị, nhận xét về tính đơn điệu để nhận xét các cơ số.

+ Hàm số đồng biến thì cơ số lớn hơn $1$.

+ Hàm số nghịch biến thì cơ số lớn hơn $0$ và nhỏ hơn $1$.

– Bước 2: So sánh các cơ số dựa vào phần đồ thị của hàm số.

– Bước 3: Kết hợp các điều kiện ở trên ta được mối quan hệ cần tìm.

Dạng 3: Tính đạo hàm các hàm số.

Phương pháp:

– Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.

$left(upmvright$’ = u’ pm v’;left$uvright$’ = u’v + uv’;left$dfracuvright$’ = dfrac{{u’v – uv’}}{{{v^2}}})

– Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…

– Bước 3: Tính toán và kết luận.

Dạng 4: Tính giới hạn các hàm số.

Phương pháp:

Áp dụng các công thức tính giới hạn đặc biệt để tính toán:

$mathoplimlimit{s}_{xto0}dfrac{e}^x–1x=1$;      $mathoplimlimit{s}_{xto0}dfrac{a}^x–1x=lna$; $mathoplimlimit{s}_{xto+infty}left(1+dfrac1xright{)}^x=e$; $mathoplimlimit{s}_{xto0}left(x+1right{)}^{dfrac1x}=e$.

Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số mũ trên một đoạn.

Phương pháp:

– Bước 1: Tính $y^{\prime }$, tìm các nghiệm $x_1,x_2,\dots ,x_{n}inleft[a;bright]$ của phương trình $y^{\prime }=0$.

– Bước 2: Tính $fleft(aright$,fleft$bright$,fleft$x_{1}right$,…,fleft$x_{n}right$).

– Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính ở trên và kết luận GTLN, GTNN của hàm số.

+ GTNN $m$ là số nhỏ nhất trong các giá trị tính được.

+ GTLN $M$ là số lớn nhất trong các giá trị tính được.