1. Hàm số mũ
– Hàm số mũ là hàm số dạng (y = {a^x}left( {0 < a ne 1} right)).
– Giới hạn liên quan (mathop {lim }limits_{x to 0} dfrac{{{e^x} – 1}}{x} = 1).
– Đạo hàm: (y = {a^x} Rightarrow y’ = {a^x}ln a;y = {a^{uleft( x right)}} Rightarrow y’ = u’left( x right).{a^{uleft( x right)}}ln a,x in R)
(Đặc biệt $left( {{e^x}} right)’ = {e^x};{e^{uleft( x right)}} = u’left( x right){e^{uleft( x right)}}$ )
Khảo sát (y = {a^x}):
– TXĐ: (D = R)
– Chiều biến thiên:
+ Nếu (a > 1) thì hàm đồng biến trên (R).
+ Nếu (0 < a < 1) thì hàm nghịch biến trên (R).
– Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang (y = 0).
+ Đồ thị hàm số luôn đi qua các điểm (left( {0;1} right)) và (left( {1;a} right)).
+ Đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục hoành vì ({a^x} > 0,forall x in R).
+ Dáng đồ thị:
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm hàm số có đồ thị cho trước và ngược lại.
Phương pháp:
– Bước 1: Quan sát dáng đồ thị, tính đơn điệu,…của các đồ thị bài cho.
– Bước 2: Đối chiếu với hàm số bài cho và chọn kết luận.
Dạng 2: Tìm mối quan hệ giữa các cơ số khi biết đồ thị.
Phương pháp:
– Bước 1: Quan sát các đồ thị, nhận xét về tính đơn điệu để nhận xét các cơ số.
+ Hàm số đồng biến thì cơ số lớn hơn (1).
+ Hàm số nghịch biến thì cơ số lớn hơn (0) và nhỏ hơn (1).
– Bước 2: So sánh các cơ số dựa vào phần đồ thị của hàm số.
– Bước 3: Kết hợp các điều kiện ở trên ta được mối quan hệ cần tìm.
Đối với một số bài toán phức tạp hơn thì ta cần chú ý thêm đến một số yếu tố khác như điểm đi qua, tính đối xứng,…
Dạng 3: Tính đạo hàm các hàm số.
Phương pháp:
– Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.
(left( {u pm v} right)’ = u’ pm v’;left( {uv} right)’ = u’v + uv’;left( {dfrac{u}{v}} right)’ = dfrac{{u’v – uv’}}{{{v^2}}})
– Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…
– Bước 3: Tính toán và kết luận.
Dạng 4: Tính giới hạn các hàm số.
Phương pháp:
Áp dụng các công thức tính giới hạn đặc biệt để tính toán:
(mathop {lim }limits_{x to 0} dfrac{{{e^x} – 1}}{x} = 1); (mathop {lim }limits_{x to 0} dfrac{{{a^x} – 1}}{x} = ln a); (mathop {lim }limits_{x to + infty } {left( {1 + dfrac{1}{x}} right)^x} = e); (mathop {lim }limits_{x to 0} {left( {x + 1} right)^{dfrac{1}{x}}} = e).
Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số mũ trên một đoạn.
Phương pháp:
– Bước 1: Tính (y’), tìm các nghiệm ({x_1},{x_2},…,{x_n} in left[ {a;b} right]) của phương trình (y’ = 0).
– Bước 2: Tính (fleft( a right),fleft( b right),fleft( {{x_1}} right),…,fleft( {{x_n}} right)).
– Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính ở trên và kết luận GTLN, GTNN của hàm số.
+ GTNN (m) là số nhỏ nhất trong các giá trị tính được.
+ GTLN (M) là số lớn nhất trong các giá trị tính được.
