1. Các kiến thức cần nhớ
Định nghĩa:
– Hàm số lũy thừa là hàm số có dạng (y = {x^alpha }left( {alpha in R} right)).
– Tập xác định:
+ (alpha ) nguyên dương: (D = R).
+ (alpha ) nguyên âm hoặc (alpha = 0): (D = Rbackslash left{ 0 right}).
+ (alpha ) không nguyên: (D = left( {0; + infty } right)).
Chú ý:
Đạo hàm:
(left( {{x^alpha }} right)’ = alpha {x^{alpha – 1}};{u^alpha }left( x right)’ = alpha u’left( x right){u^{alpha – 1}}left( x right))
(left( {sqrt[n]{x}} right)’ = dfrac{1}{{nsqrt[n]{{{x^{n – 1}}}}}};left( {sqrt[n]{{uleft( x right)}}} right)’ = dfrac{{u’left( x right)}}{{nsqrt[n]{{{u^{n – 1}}left( x right)}}}})
Khảo sát hàm số (y = {x^alpha }left( {alpha ne 0} right)) trên tập (left( {0; + infty } right)).
– Đồ thị:
Luôn đi qua điểm (left( {1;1} right))
– Trên đây ta chỉ xét chung các hàm số trên tập (left( {0; + infty } right)). Thực tế tập xác định của mỗi hàm số là khác nhau phụ thuộc vào điều kiện của (alpha ).
– Tránh nhầm lẫn tập (left( {0; + infty } right)) là tập xác định cho mọi hàm số lũy thừa.
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Phương pháp:
– Bước 1: Xác định số mũ (alpha ) của hàm số.
– Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số xác định.
+ (alpha ) nguyên dương: (D = R).
+ (alpha ) nguyên âm hoặc (alpha = 0): (D = Rbackslash left{ 0 right}).
+ (alpha ) không nguyên: (D = left( {0; + infty } right)).
– Bước 3: Giải các bất phương trình ở trên để tìm tập xác định của hàm số.
Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số.
Phương pháp:
– Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.
(left( {u pm v} right)’ = u’ pm v’;left( {uv} right)’ = u’v + uv’;left( {dfrac{u}{v}} right)’ = dfrac{{u’v – uv’}}{{{v^2}}})
– Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…
– Bước 3: Tính toán và kết luận.
Dạng 3: Tìm mỗi quan hệ của các số mũ của các hàm số lũy thừa khi biết đồ thị của chúng.
Phương pháp:
Quan sát đồ thị hàm số và nhận xét tính đồng biến, nghịch biến và các điểm đi qua để suy ra tính chất của các số mũ.
